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第二章 章末检测(人教A版必修5)


第二章 章末检测
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.在如图的表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每一纵列成等比 数列,则 a+b+c 的值为( ) 1 2 1 1 2 a b c A.1 B.2 C.3 D.4 2 2.等差数列{an}满足 a2 + a + 2 a a = 9 ,则其前 10 项之和为 ( ) 4 7 4 7 A.-9 B.-15 C.15 D .± 15 3.等比数列{an}中,a2,a6 是方程 x2-34x+64=0 的两根,则 a4 等于( ) A.8 B.-8 C.± 8 D.以上都不对 4.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S10∶S5=1∶2,则 S15∶S5 等于( ) A.3∶4 B.2∶3 C.1∶2 D.1∶3 5.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99, 以 Sn 表示{an}的前 n 项和, 则使得 Sn 达到最大值的 n 是( ) A.21 B.20 C.19 D.18 1 6.已知数列{an}为等比数列,a2=2,a5= ,则 a1a2+a2a3+…+anan+1 等于( ) 4 -n n A.16(1-4 ) B.16(1-2 ) 32 32 -n - C. (1-4 ) D. (1-2 n) 3 3 7. 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 S21=42, 记 A=2a2 则 A 的值为( ) 11-a9-a13, A.2 B.1 C.16 D.32 8.若{an}是等比数列,其公比是 q,且-a5,a4,a6 成等差数列,则 q 等于( ) A.1 或 2 B.1 或-2 C.-1 或 2 D.-1 或-2 a1+a3+a9 9.已知等差数列{an}的公差 d≠0 且 a1,a3,a9 成等比数列,则 等于( ) a2+a4+a10 15 12 13 15 A. B. C. D. 14 13 16 16 10.若等差数列{an}的前 5 项和 S5=30,且 a2=7,则 a7 等于( ) A.0 B.1 C.2 D.3 Sn 7n a5 11. 若两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别是 Sn、 Tn, 已知 = , 则 等于( ) Tn n+3 b5 2 27 21 A.7 B. C. D. 3 8 4 12.在各项均为正数的等比数列{an}中,若 a5· a6=27,则 log3a1+log3a2+…+log3a10 等于( ) A.12 B.10 C.15 D.27log35 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 号 答 案 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

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13.已知在等差数列{an}中,首项为 23,公差是整数,从第七项开始为负项,则公差为 ______. 8 27 14 .在 和 之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为 3 2 ________. 1 15.数列{an}中,Sn 是其前 n 项和,若 a1=1,an+1= Sn (n≥1),则 an=____________. 3 16.等差数列{an}中,a10<0,且 a11>|a10|,Sn 为数列{an}的前 n 项和,则使 Sn>0 的 n 的 最小值为________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,设 S3=12,且 2a1,a2,a3+1 成等比数列, 求 Sn.

18.(12 分)已知数列{an}为等差数列,且 a1=2,a1+a2+a3=12. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=3an,求证:数列{bn}是等比数列.

1 19.(12 分)已知正项数列{bn}的前 n 项和 Bn= (bn+1)2,求{bn}的通项公式. 4

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20.(12 分)某市 2009 年共有 1 万辆燃油型公交车.有关部门计划于 2010 年投入 128 辆 电力型公交车,随后电力型公交车每年的投入比上一年增加 50%,试问: (1)该市在 2016 年应该投入多少辆电力型公交车? 1 (2)到哪一年底,电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的 ? 3

21.(12 分)设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正数的等比数列,且 a1=b1=1,a3+b5 =21,a5+b3=13. (1)求{an}、{bn}的通项公式; ?an? (2)求数列?b ?的前 n 项和 Sn. ? n?

22.(12 分)在数列{an}中,已知 a1=-1,且 an+1=2an+3n-4 (n∈N*).

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(1)求证:数列{an+1-an+3}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式; (3)求和:Sn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an| (n∈N*).

第二章

章末检测

1.A 2.D 3.A 4.A 5.B [∵(a2-a1)+(a4-a3)+(a6-a5)=3d, ∴99-105=3d.∴d=-2. 又∵a1+a3+a5=3a1+6d=105,∴a1=39. n?n-1? ∴Sn=na1+ d 2 d? d = n2+? ?a1-2?n 2 =-n2+40n=-(n-20)2+400. ∴当 n=20 时,Sn 有最大值.] a5 1 6.C [设{an}的公比为 q,则 q3= = . a2 8 1 ∴q= ,a1=4, 2 ∵{anan+1}也是等比数列且首项 a1a2=8, 1 公比为 q2= , 4 ∴a1a2+a2a3+…+anan+1 1? 8? ?1-4n? 32 - = = (1-4 n).] 1 3 1- 4 21?a1+a21? 7.B [由 S21= =21a11=42, 2 ∴a11=2. 2 ∴a2 11-(a9+a13)=a11-2a11=0. 2 ∴A=2a11-a9-a13=20=1.] 8.C [依题意有 2a4=a6-a5, 即 2a4=a4q2-a4q,而 a4≠0, ∴q2-q-2=0,(q-2)(q+1)=0. ∴q=-1 或 q=2.]

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9.C [因为 a2 a9, 3=a1· 2 所以(a1+2d) =a1· (a1+8d).所以 a1=d. a1+a3+a9 3a1+10d 13 所以 = = .] a2+a4+a10 3a1+13d 16 5?a1+a5? 10.C [因为 S5= =5a3=30,所以 a3=6,又因为数列{an}为等差数列,所以 2 d=a3-a2=6-7=-1,所以 a7=a2+5d=2.] a5 a1+a9 S9 7×9 21 11.D [ = = = = .] b5 b1+b9 T9 9+3 4 12.C [log3a1+log3a2+…+log3a10 =log3(a1· a2· a3· …· a10) =log3(a5· a6)5=5log327=15.] 13.-4 ? ?a6=23+5d≥0 解析 由? , ?a7=23+6d<0 ? 23 23 解得- ≤d<- , 5 6 ∵d∈Z,∴d=-4. 14.216 a 8 27 8 27 解析 设插入的三个数为 ,a,aq,则由题意有 ,a, 也为等比数列,所以 a2= × q 3 2 3 2 8 27 a =36,由于 ,a, 都处在奇数位上,所以同号,故 a=6,从而 · a· aq=a3=216. 3 2 q 1, n=1 ? ? 15.?1 ?4?n-2 ,n∈N*. ? ?3? , n≥2 ?3· 1 1 解析 an+1= Sn,an+2= Sn+1, 3 3 1 1 ∴an+2-an+1= (Sn+1-Sn)= an+1 3 3 4 ∴an+2= an+1 (n≥1). 3 1 1 ∵a2= S1= , 3 3 1, ? ? ∴an=?1 ?4?n-2 ?3· ?3? , n≥2 ? 16.20 19?a1+a19? 解析 ∵S19= =19a10<0; 2 20?a1+a20? S20= =10(a10+a11)>0. 2 ∴当 n≤19 时,Sn<0;当 n≥20 时,Sn>0. 故使 Sn>0 的 n 的最小值是 20. 17.解 设数列{an}的公差为 d, 2 ?2a1?a3+1?=a2 , ? 依题设有? ?a1+a2+a3=12, ?
2 2 ? ?a1+2a1d-d +2a1=0, 即? ?a1+d=4. ?

n=1 ,n∈N*.

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? ? ?a1=1, ?a1=8, 解得? 或? ?d=3 ?d=-4. ? ? 1 因此 Sn= n(3n-1)或 Sn=2n(5-n). 2 18.(1)解 设等差数列{an}的公差为 d,由 a1=2,a1+a2+a3=12,得 3a2=12, ∴a2=4. ∴d=2,an=a1+(n-1)d=2+(n-1)· 2=2n. (2)证明 ∵bn=3an=32n=9n, + bn+1 9n 1 ∴ = n =9. bn 9 ∴数列{bn}是以 9 为首项,以 9 为公比的等比数列. 19.解 当 n=1 时,B1=b1, 1 ∴b1= (b1+1)2,解得 b1=1. 4 1 1 1 当 n≥2 时,bn=Bn-Bn-1= (bn+1)2- (bn-1+1)2= (b2 -b2 +2bn-2bn-1), 4 4 4 n n-1 2 整理得 b2 n-bn-1-2bn-2bn-1=0, ∴(bn+bn-1)(bn-bn-1-2)=0. ∵bn+bn-1>0, ∴bn-bn-1-2=0. ∴{bn}为首项 b1=1,公差 d=2 的等差数列. ∴bn=2(n-1)+1=2n-1, 即{bn}的通项 bn=2n-1. 20.解 (1)由题意可知,该市逐年投入的电力型公交车数量组成一个等比数列,其中 a1=128,q=1+50%=1.5,到 2016 年应为 a7,则到 2016 年该市应该投入的电力型公交车 为 a7=a1· q6=128×1.56=1 458(辆). 1 (2)设经过 n 年电力型公交车数量开始超过该市公交车总量的 ,记 Sn=a1+a2+…+an, 3 Sn 1 依题意有 > ,即 Sn>5 000, 10 000+Sn 3 n a1?1-q ? 128?1-1.5n? ∴Sn= = 1-q 1-1.5 n =256(1.5 -1)>5 000, 657 即 1.5n> ,解得 n>7.5,故 n≥8. 32 1 所以到 2017 年底,电力型公交车数量开始超过该市公交车总量的 . 3 21.解 (1)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q, 4 ? ?1+2d+q =21, 则依题意有 q>0 且? 2 ?1+4d+q =13. ? 解得 d=2,q=2. - - 所以 an=1+(n-1)d=2n-1,bn=qn 1=2n 1. an 2n-1 (2)∵ = n-1 . bn 2 2n-3 2n-1 3 5 ∴Sn=1+ 1+ 2+…+ n-2 + n-1 ,① 2 2 2 2 2n-3 2n-1 5 2Sn=2+3+ +…+ n-3 + n-2 .② 2 2 2 2n-1 2 2 2 ②-①得 Sn=2+2+ + 2+…+ n-2- n-1 2 2 2 2

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1 1 1 2n-1 =2+2×?1+2+22+…+2n-2?- n-1 ? ? 2 1 1- n-1 2 2n-1 2n+3 =2+2× - n-1 =6- n-1 . 1 2 2 1- 2 22.(1)证明 令 bn=an+1-an+3, 则 bn+1=an+2-an+1+3 =2an+1+3(n+1)-4-2an-3n+4+3 =2(an+1-an+3)=2bn. ∴数列{bn}为公比为 2 的等比数列. (2)解 ∵a2=2a1-1=-3, b1=a2-a1+3=1, - ∴bn=an+1-an+3=2n 1, - ∴2an+3n-4-an+3=2n 1, - ∴an=2n 1-3n+1 (n∈N*). (3)解 设数列{an}的前 n 项和为 Tn,则 n?2+3n-1? Tn=2n-1- 2 n ? 3 n + 1 ? =2n-1- , 2 Sn=|a1|+|a2|+…+|an|, ∵n≤4 时,an<0,n≥5 时,an>0, n?3n+1? n ∴n≤4 时,Sn=-Tn=1+ -2 ; 2 n?3n+1? n≥5 时,Sn=Tn-2T4=2n+21- . 2

?1+n?3n2+1?-2 ∴S =? n?3n+1? ?2 +21- 2
n n n

?n≤4?, ?n≥5?.

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