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重庆八中2014届高三上学期第一次月考试题 数学文试题 Word版含答案


重庆八中 2013—2014 学年度(上) 高三年级第一次月考

数 学 试 题 (文史类)
数学试题(文史类)共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只有 一项是符合题目要求的 (1)已知集合 U ? {1, 2,3, 4} ,集合 A={1,2} , B ={2,3} ,则 CU ( A ? B) ? (A) {1,3, 4} (A) 2 (A) 0 (4)函数 f ( x) ? (A) (?3, 2) (5)函数 f ( x) ? ? (A) - 1 (B) {3, 4} (B) 4 (B) 1 (C) {3} (C) 8 (C) 2 (D) {4} (D) 16 (D) ? 2 (2)等差数列 {an } 中, a2 ? a6 ? 8 ,则 a4 ? (3)设 x, y ? R ,向量 a ? ( x,1),b ? (1, y),c ? (2,?4) 且 a ? c, b // c ,则 x ? y ?

lg(2 ? x) 12 ? x ? x 2

的定义域为 (C) (??, ?3) (D) (??, ?3]

(B) [?3, 2)

?x ? a

x ?3

,(?1 ? x ? 0)

(C) 1 (D) 2 ? (6)设命题 p :函数 y ? sin 2 x 的最小正周期为 ;命题 q :函数 y ? cos x 的图象关于直线 2 ? x ? 对称.则下列判断正确的是 2 (A) p 为真 (B) ?q 为假 (C) p ? q 为假 (D) p ? q 为真 (7)如图是函数 y ? A sin(?x ? ? ) 在一个周期内的图像,此函数的解析式可为

?bx ? 1,(0 ? x ? 1) (B) 0

(a ? 0, 且a ? 1) ,若 f (?1) ? f (1) ,则 loga b ?

3 x ? ? (C) y ? 2 sin( ? ) (D) y ? 2 sin( 2 x ? ) 2 3 3 (8) 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? cos2x( x ? R) ,则将 f ( x)
的图象向右平移

(A) y ? 2 sin( 2 x ?

?

)

(B) y ? 2 sin( 2 x ?

2? ) 3

? 个单位所得曲线的一条对称轴的方程是 3 ? ? ? (A) x ? (B) x ? (C) x ? (D) x ? ?
6 4 2
? 1 2

(9)设 a ? log3 2, b ? ln 2, c ? 5 (A) a ? b ? c

,则 (C) c ? a ? b (D) c ? b ? a

(B) b ? c ? a

( 10 ) 对 于 任 意 实 数 a , b , 定 义 min{ b } ? a, ?

? a, a ? b 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f ( x) 满 足 . ?b, a ? b

且当 0 ? x ? 2 时,f ( x) ? min{2x ?1, 2 ? x} .若方程 f ( x) ? m x ? 0 恰有 4 f ( x ? 4) ? f ( x) , 个零点,则 m 的取值范围是 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (A) (? , ) (B) (? ,? ) (C) ( , ) (D) (? ,? ) ? ( , ) 3 3 3 5 5 3 3 5 5 3

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题卡相应的位置上 (11)复数 z ?

(2 ? i) 2 (i为虚数单位) ,则 | z |? ________. i
?
2 )? 4 ,则 cos 2? ? ________. 5

(12)已知 cos(? ?

(13)已知向量 a, b 夹角为 45? ,且 | a |? 1, | b |? 3 2 ,则 | 2a ? b |? ________. (14) 在数列 {an } 中,a1 ? 1, an ?1 ? an ?
2

1 (n ? N * ) , an ? _______. 则 n(n ? 1)
2

(15)如图,已知圆 M : ? x ? 3? ? ? y ? 3? ? 4 ,四边形 ABCD 为圆 M 的 内接正方形,E、F 分别为边 AB , AD 的中点, 当正方形 ABCD 绕圆心 M 转动时, ME ? OF 的最大值是________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤 (16) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分)
2 已知数列 {an } 是公差大于 0 的等差数列, a1 ? 2,a2 ? a4 ? 8 .

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

(Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足 bn ? an ? 2n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n .

(17) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分)

1 2 x . 2 (Ⅰ)求函数 f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f (x) 的单调区间和极值.
已知函数 f ( x ) ? 4 ln x ?

(18) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且 3a ? 2c sin A ? 0 . (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 c ? 7 , c ? a ,且 ?ABC 的面积为
3 3 ,求 a ? b 的值. 2

(19) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 6 分) 已知函数 f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) cos 2 x ?

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (Ⅱ) 将函数 f ? x ? 的图象向右平移

1 . 2

? 个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵 8 ? ?? 坐标不变),得到函数 y ? g ? x ? 的图象,若关于 x 的方程 g ( x) ? k ? 0 在区间 ? 0, ? 上有解, ? 2?
求实数 k 的取值范围.

(20) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 6 分) 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱

64? 立方米.假设该容器的建造费用 3 仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元,半球形部分每平方米建造费 用为 4 千元.设该容器的总建造费用为 y 千元. (Ⅰ)将 y 表示成 r 的函数 f (r ) ,并求该函数的定义域; (Ⅱ)讨论函数 f (r ) 的单调性,并确定 r 和 l 为何值时,该容器的建造费用最小,并求出最
形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为 小建造费用.
2 (参考公式:球的表面积公式 S ? 4?r ,球的体积公式 V ?

4 3 ?r ,圆柱体的侧面积公式 3

S ? 2?rl ,圆柱体的体积公式 V ? ?r 2l )

(20)题图

(21) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 3 分, (Ⅱ)小问 9 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C 的中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,短轴长为 2 , 离心率为

2 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)A, B 为椭圆 C 上满足 ?AOB 的面积为

交椭圆 C 于点 P ,设 OP ? tOE ,求实数 t 的值.

??? ?

??? ?

6 的任意两点,E 为线段 AB 的中点, 射线 OE 4

重庆八中 2013—2014 学年度(上) 高三年级第一次月考

数 学 试 题 (文史类)参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只有 一项是符合题目要求的 题号 答案 题号 答案 1 D 2 B 11 3 A 4 A 12 5 D 6 C 13 7 B 14 8 A 9 C 15 10 D

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题卡相应的位置上

5

-

7 25

10

2?

1 n

6

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (16) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分) 【解】 (Ⅰ)设等差数列的公差为 d , d ? 0

(2 ? d ) 2 ? 2 ? 3d ? 8, d 2 ? d ? 6 ? (d ? 3)(d ? 2) ? 0 , 得: d ? 2 代入: an ? a1 ? (n ? 1)?d ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ,得: an ? 2n
(Ⅱ) bn ? an ? 2 ? 2n ? 2
n n

Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? (2 ? 21 ) ? (4 ? 22 ) ? ? 2n ? 2n) (

? (2 ? 4 ? ? ? 2n) ? (21 ? 22 ? ? ? 2n ) ?

(2 ? 2n)n 2 ? (1 ? 2n ) ? ? n(n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 2 1? 2

(17) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分)

1 4 ' , f ( x) ? ? x , f ' (1) ? 3 2 x 1 7 所以函数在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? (? ) ? 3( x ? 1) ,即 y ? 3 x ? 2 2 ' (II)令 f ( x) ? 0 得 x1 ? 2, x2 ? ?2 (舍)
【解】 (I)由题意函数的定义域为 (0, ??) ,且 f (1) ? ? 列表:

x
f ( x) f ( x)
'

(0, 2)

?

2 0

(2, ??) ?

增 极大值 负 综上所述:函数 f (x) 的单调增区间为 (0,2) ,单调减区间为 (2,??) ,函数 f ( x ) 的极大值为

f (2) ? 4ln 2 ? 2 ,无极小值. (18) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分) 【解】 (I)由 3a ? 2c sin A ? 0 及正弦定理,得 3 sin A ? 2sin C sin A ? 0 ( sin A ? 0 ) , 2 3 ? ∴ sin C ? ,∴ C ? 或 ? . 2 3 3 1 ? 3 3 ? (II)∵ c ? 7 , c ? a ,∴ C ? ,∴ ?ABC 的面积 S?ABC ? ab sin ? ,∴ ab ? 6 .① 2 3 2 3
由余弦定理, a2 ? b2 ? 2ab cos

?

3 由①×3+②,得 (a ? b)2 ? 25 ,故 a ? b ? 5 . (19) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 6 分)

? 7 ,即 a 2 ? b2 ? ab ? 7 .②

【解】 (I) f ( x) ?

3 sin 2 x cos 2 x ? cos 2 2 x ?

1 2

3 cos4 x ? 1 1 3 1 ? sin 4 x ? ? ? sin 4 x ? cos4 x ? sin(4 x ? ) 2 2 2 2 2 6 2? ? ? 由题意知 f (x) 的最小正周期 T ? 4 2 ? ? (II)将 f ( x) 的图象向右平移个 个单位后,得到 y ? sin( 4 x ? ) 的图象,再将所得图象所 8 3 ? 有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到 y ? sin( 2 x ? ) 的图象. 3 ? ? ? ? 2? 所以 g ( x) ? sin( 2 x ? ) ,因为 0 ? x ? ,所以 ? ? 2 x ? ? . 3 3 3 2 3 ? ?? ? ?? g ( x) ? k ? 0 在区间 ?0, ? 上有且只有一个实数解,即函数 y ? g ( x) 与 y ? k 在区间 ?0, ? ? 2? ? 2? ?
上有且只有一个交点,由正弦函数的图象可知 ? 综上所述: ?

3 ? k ?1 2

3 ? k ?1 2

(20) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 6 分)

64? 64 4 4? r 3 64 ? ? r 2l ? ? ,解得 l ? 2 ? r 立方米,所以 3 3r 3 3 3 2 64 4 128? 8? r ? 所以圆柱的侧面积为 2? rl ? 2? r ( 2 ? r ) ? , 3r 3 3r 3 2 两端两个半球的表面积之和为 4? r 128? 8? r 2 128? ? ) ? 3 ? 4? r 2 ? 4 ? ? 8? r 2 所以 y ? ( 3r 3 r 4 4 64 4 3 又 l ? 2 ? r ? 0 ? r ? 2 ,所以定义域为 (0, 2 3 ) 3r 3 128? 16? (r 3 ? 8) ' (Ⅱ)因为 y ? ? 2 ? 16? r ? r r2
【解】 (Ⅰ)因为容器的体积为 所以令 y ' ? 0, 得 2 ? r ? 2 3 ;令 y ' ? 0, 得 0 ? r ? 2 所以当 r ? 2 时,该容器的建造费用最小为 96? 千元,此时: l ? (21) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 3 分, (Ⅱ)小问 9 分)
4

8 3

x2 y 2 【解】(I)设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b 2 2 2 ?a ? b ? c ? c 2 ? 由题意可得: ?e ? ? ,解得: a ? 2, b ? c ? 1 a 2 ? ?2b ? 2 ? x2 ? y2 ? 1 因此:椭圆 C 的方程为 2 (II)(1)当 A, B 两点关于 x 轴对称时,设直线 AB 的方程为 x ? m ,
由题意可得: m ? (? 2,0) ? (0, 2 ) 将 x ? m 代入椭圆方程 所以: S?AOB ?| m |

x2 ? y 2 ? 1 ,得 | y |? 2

2 ? m2 2

3 1 2 ? m2 6 2 2 ,解得: m ? 或 m ? ① ? 2 2 2 4 1 1 又 OP ? t OE ? t (OA ? OB ) ? t (2m,0) ? (mt ,0) 2 2 (m t)2 ?1② 因为 P 为椭圆 C 上一点,所以 2 4 2 2 2 3 由①②得: t ? 4 或 t ? ,又知 t ? 0 ,于是 t ? 2 或 t ? 3 3 (2)当 A, B 两点关于 x 轴不对称时,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? h ,

? x2 ? ? y2 ? 1 2 2 2 由? 2 得: (1 ? 2k ) x ? 4khx ? 2h ? 1 ? 0 ? y ? kx ? h ? 2 2 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,由判别式 ? ? 0 可得: 1 ? 2k ? h

此时: x1 ? x2 ? ?

4kh 2h 2 ? 2 2h , x1x2 ? , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2h ? , 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 2
2

所以 | AB |? 1 ? k

( x1 ? x2 ) ? 4 x1x2 ? 2 2 1 ? k
2

2

1 ? 2k 2 ? h2 1 ? 2k 2

因为点 O 到直线 AB 的距离 d ? 所以: S ?AOB ?

|h| 1? k 2

1 1 1 ? 2k 2 ? h 2 |h| | AB | d ? ? 2 2 ? 1 ? k 2 ? ? 2 2 2 1 ? 2k 1? k 2

1 ? 2k 2 ? h 2 6 ③ | h |? 2 4 1 ? 2k 2 2 2 4 令 n ? 1 ? 2k ,代入③整理得: 3n ? 16h n ? 16h ? 0 4 2 4 2 2 2 2 2 解得: n ? 4h 或 n ? h ,即: 1 ? 2k ? 4h 或 1 ? 2k ? h ④ 3 3 1 1 2kht ht , ) 又 OP ? t OE ? t (OA ? OB ) ? t ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? (? 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 1 2kh 2 h h2 P 为椭圆 C 上一点,所以 t 2 [ (? ) ?( ) 2 ] ? 1 ,即 t2 ? 1 ⑤ 因为 2 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 4 2 2 2 3 ,经检验,符合题意 将④代入⑤得: t ? 4 或 t ? ,又知 t ? 0 ,于是 t ? 2 或 t ? 3 3 2 3 综上所述: t ? 2 或 t ? 3 ? 2


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