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2014-2015学年浙江省杭州市下城区八年级(上)期末数学试卷

2014-2015 学年浙江省杭州市下城区八年级(上)期末数学试卷
一、仔细选一选(本题有 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分)每小题给出的四个选项中, 只有一个是正确的.注意可以用多种不同的方法来选取正确答案. 1. (3 分) (2014 秋?下城区期末)下列各点中,在第二象限的是( ) A. (1,2) B. (1,﹣2) C. (0,2) D. (﹣1,2) 2. (3 分) (2014 秋?下城区期末)下列各组数中不可能是一个三角形的边长的是( A.5,12,13 B.5,7,7 C.5,7,12 D.101,102,103 3. (3 分) (2014 秋?下城区期末) 已知 a 为非负数, 比较 2a 与 a 的大小关系, 正确的是 ( A.2a≥a B.2a≤a C.2a<a D.2a>a 4. (3 分) (2014 秋?下城区期末)下列命题中,真命题的是( A.若 2x>﹣1,则 x>﹣2 B.在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C.一个锐角与一个钝角的和等于一个平角 D.任何一个角都比它的补角小 ) )



5. (3 分) (2014 秋?下城区期末)如图,等边△ ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示, 其中顶点 A(﹣1,﹣1) ,B(3,﹣1) ,则顶点 C 的坐标为( )

A. (1,2



B. (0,2



C. (1,2

﹣1)

D. (1,2

﹣2)

6. (3 分) (2014?南充) 如图, 在△ ABC 中, AB=AC, 且 D 为 BC 上一点, CD=AD, AB=BD, 则∠B 的度数为( )

A.30° B.36° C.40° D.45°

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7. (3 分) (2014 秋?下城区期末)如图,在△ ABC 中,∠BAC<90°,AB=AC,AF⊥BC 于 点 F,D 为 CA 延长线上一点,DE⊥BC 于 E,交 AB 边于点 G,则图中与∠D 相等的角的 个数为( )

A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 8. (3 分) (2014 秋?下城区期末)如图,点 B,C,D 在同一条直线上,∠ACB=∠ECD=60°, ∠E=∠D=40°,EC=DC.连结 BE,AD,分别交 AC,CE 于点 M,N,下列结论中,错误的 是( ) A.∠A=∠B B.△ CME≌△CND C.CM=CN D.∠BMC=∠DNC

9. (3 分) (2014 秋?下城区期末)如图,在△ ABC 中,AB=AC,BD= BC,等边△ BEF 的 顶点 F 在 BC 上,边 EF 交 AD 于点 P,若 BE=10,BC=14,则 PE 的长为( )

A.1 B.2 C.3 D.4 10. (3 分) (2014 秋?下城区期末)如图(1) ,一架长为 20 米云梯 AB 斜靠在竖直的墙 ON 上,这时云梯下端 B 到墙底端 O 的距离 BO=12 米,在下列结论中,正确的是( )

A.当消防员爬到距离地面

米时,他到墙面与地面的距离相等

B.如图(2) ,当梯子顶端 A 沿墙下滑 3 米时,底端 B 向外移动 3 米 C.如图(2) ,在梯子下滑过程中,梯子 AB 与墙 ON,地面 OM 构成的三角形面积存在最 2 大值,最大值为 100 米 D.若在射线 ON 上存在一点 G,使得△ ABG 为等腰三角形,则 AG=
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二、认真填一填(本题有 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分)要注意认真看清楚题目的条件 和要填写的内容,尽量完整地填写答案. 11. (4 分) (2014 秋?下城区期末)直线 y=﹣x+1 不经过第 象限. 12. (4 分) (2014 秋?下城区期末)命题“对顶角相等”的条件是 是 . ,结论

13. (4 分) (2014 秋?下城区期末)如图,在△ ABC 中,AB=AC=17,BC=16,AD 为中线, BE⊥AC,垂足为 E,则 AD= ,BE= .

14. (4 分) (2014 秋?下城区期末)把点 A(a,﹣3)向左移动 3 个单位得点 B,点 B 关于 x 轴的对称点为点 C;若点 A,C 到原点的距离相等,则 a= . 15. (4 分) (2014 秋?下城区期末)若不等式组 是 . 有解,则 a 的取值范围

16. (4 分) (2014 秋?下城区期末)在△ ABC 中,AB=AC,点 D 在 BC 边上,连接 AD,若 AD=BD,且△ ADC 为等腰三角形,则∠BAC 的度数为 .

三、 全面答一答 (本题有 7 个小题, 共 66 分) 解答应写出文字说明、 证明过程或推演步骤. 如 果觉得有的题目有点困难,那么把自己能写出的解答写出一部分也可以. 17. (6 分) (2014 秋?下城区期末)解下列不等式(组) : (1)3x﹣1<2x+4 (2) .

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18. (8 分) (2014 秋?下城区期末)已知,如图,四边形 ABCD,∠A=∠B=Rt∠ (1)用直尺和圆规,在线段 AB 上找一点 E,使得 EC=ED,连接 EC,ED(不写作法,保 留作图痕迹) ; (2)在(1)的图形中,若∠ADE=∠BEC,且 CE=3,BC= ,求 AD 的长.

19. (8 分) (2014 秋?下城区期末)某业主贷款 2.2 万元购进一台机器,生产某种产品.已 知产品的成本是每个 5 元,售价是每个 8 元,应付的税款和其他费用的和是售价的 10%.若 每个月能生产并销售 2000 个产品. (1)问每个月所获得利润为多少元? (2)问至少几个月后能赚回这台机器的贷款?

20. (10 分) (2014 秋?下城区期末)如图,已知△ ABC 为等腰直角三角形,∠BAC=90°, BE 是∠ABC 的平分线,DE⊥BC,垂足为 D. (1)写出图中所有的等腰三角形,不需证明; (2)请你判断 AD 与 BE 是否垂直,并说明理由; (3)如果 BC=12,求 AB+AE 的长.

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21. (10 分) (2014 秋?下城区期末)在一条笔直的道路上有相距 9 千米的 A,B 两地,甲以 3km/h 的速度从 A 地走向 B 地,出发 0.5h 后,乙从 B 地以 4.5km/h 的速度走向 A 地,甲、 乙两人走到各自终点停止.设甲行走的时间为 t(h) . (1)分别写出甲、乙两人与 A 地的距离 s 与时间 t 的函数表达式,并写出相应的 t 的取值 范围; (2)在同一直角坐标系中画出(1)中的两个函数的图象; (3)当 t 为何值时,甲、乙两人相距不大于 3.75km.

22. (12 分) (2014 秋?下城区期末)在△ ABC 中,AD 是 BC 边上的高线,CE 是 AB 边上 的中线,DG⊥CE 于 G,CD=AE. (1)写出 CG 与 EG 的数量关系,并说明理由. (2)若 AD=12,AB=20,求 CE 的长.

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23. (12 分) (2014 秋?下城区期末)如图,在正方形 ABCD 中,AB=4,点 P 为线段 DC 上 的一个动点.设 DP=x,由点 A,B,C,P 首尾顺次相接形成图形的面积为 y. (1)求 y 关于 x 的函数表达式及 x 的取值范围; (2)设(1)中函数图象的两个端点分别为 M、N,且 P 为第一象限内位于直线 MN 右侧的 一个动点,若△ MNP 正好构成一个等腰直角三角形,请求出满足条件的 P 点坐标; (3)在(2)的条件下,若 l 为经过(﹣1,0)且垂直于 x 轴的直线,Q 为 l 上的一个动点, 使得 S△ MNQ=S△ NMP,请直接写出符合条件的点 Q 的坐标.

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2014-2015 学年浙江省杭州市下城区八年级(上)期末数 学试卷
参考答案与试题解析

一、仔细选一选(本题有 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分)每小题给出的四个选项中, 只有一个是正确的.注意可以用多种不同的方法来选取正确答案. 1. (3 分) (2014 秋?下城区期末)下列各点中,在第二象限的是( ) A. (1,2) B. (1,﹣2) C. (0,2) D. (﹣1,2) 【考点】点的坐标. 【分析】根据第二象限内的点的横坐标小于零,纵坐标大于零,可得答案. 【解答】解:A、点在第一象限,故 A 错误; B、点在第四象限,故 B 错误; C、点在 x 轴正半轴上,故 C 错误; D、横坐标小于零,纵坐标大于零,点在第二象限,故 D 正确; 故选:D. 【点评】本题考查了点的坐标,记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键,四个象限的符 号特点分别是:第一象限(+,+) ;第二象限(﹣,+) ;第三象限(﹣,﹣) ;第四象限(+, ﹣) .
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2. (3 分) (2014 秋?下城区期末)下列各组数中不可能是一个三角形的边长的是( ) A.5,12,13 B.5,7,7 C.5,7,12 D.101,102,103 【考点】三角形三边关系. 【分析】看哪个选项中两条较小的边的和不大于最大的边即可. 【解答】解:A、5+12>13,能构成三角形; B、5+7>7,能构成三角形; C、5+7=12,不能构成三角形; D、101+102>103,能构成三角形. 故选 C. 【点评】本题主要考查了三角形的三边关系定理:任意两边之和大于第三边,只要满足两短 边的和大于最长的边,就可以构成三角形.
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3. (3 分) (2014 秋?下城区期末) 已知 a 为非负数, 比较 2a 与 a 的大小关系, 正确的是 ( ) A.2a≥a B.2a≤a C.2a<a D.2a>a 【考点】不等式的性质. 【分析】根据非负数,可得 a 的取值范围,根据不等式的性质 1,可得答案. 【解答】解:由 a 为非负数,得 a≥0. 不等式的两边都加 a,得 2a≥a,故 A 符合题意; 故选:A. 【点评】本题考查了不等式的性质,利用了非负数的定义,不等式的性质 1,不等式的两边 都加或减同一个数或同一个整式,不等号的方向不变.
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4. (3 分) (2014 秋?下城区期末)下列命题中,真命题的是( ) A.若 2x>﹣1,则 x>﹣2 B.在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C.一个锐角与一个钝角的和等于一个平角 D.任何一个角都比它的补角小 【考点】命题与定理. 【分析】利用不等式的性质、直线的位置关系、锐角及钝角的定义及补角的定义分别判断后 即可确定正确的选项. 【解答】解:A、若 2x>﹣1,则 x>﹣2,错误,是假命题; B、在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行,正确,为真命题; C、一个锐角与一个钝角的和等于一个平角,错误,为假命题; D、任何一个角都比它的补角小,错误,为假命题; 故选 B. 【点评】本题考查了命题与定理的知识,不等式的性质、直线的位置关系、锐角及钝角的定 义及补角的定义,难度不大.
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5. (3 分) (2014 秋?下城区期末)如图,等边△ ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示, 其中顶点 A(﹣1,﹣1) ,B(3,﹣1) ,则顶点 C 的坐标为( )

A. (1,2 ) B. (0,2 ) C. (1,2 ﹣1) D. (1,2 ﹣2) 【考点】等边三角形的性质;坐标与图形性质. 【专题】计算题. 【分析】 过 C 点作 CD⊥AB 于 D, 交 x 轴于 E 点, 如图, 由 A 点和 B 点坐标得 AB=4, DE=1,
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再利用等边三角形的性质得到 AD= AB=2, ∠ACD=30°, 则根据含 30 度的直角三角形三边 的关系得到 CD= AD=2 ,则 CE=CD﹣DE=2 ﹣1,然后根据第一象限内点的坐标特 征即可得到 C 点坐标. 【解答】解:过 C 点作 CD⊥AB 于 D,交 x 轴于 E 点,如图, ∵A(﹣1,﹣1) ,B(3,﹣1) , ∴AB=3﹣(﹣1)=4,DE=1, ∵CD⊥AB, ∴AD= AB=2,∠ACD=30°, ∴CD= AD=2 , ∴CE=CD﹣DE=2 ﹣1, 而 OE=2﹣1=1, ∴C 点坐标为(1,2 ﹣1) .
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故选 C.

【点评】本题考查了等边三角形的性质:等边三角形的三个内角都相等,且都等于 60°.也 考查了坐标与图形的性质.通过解直角三角形求得 AD、CD 的长度是关键. 6. (3 分) (2014?南充) 如图, 在△ ABC 中, AB=AC, 且 D 为 BC 上一点, CD=AD, AB=BD, 则∠B 的度数为( )

A.30° B.36° C.40° D.45° 【考点】等腰三角形的性质. 【分析】求出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C 的关系,利用三角形的内角和是 180°,求∠B, 【解答】解:∵AB=AC, ∴∠B=∠C, ∵AB=BD, ∴∠BAD=∠BDA, ∵CD=AD, ∴∠C=∠CAD, ∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°, ∴5∠B=180°, ∴∠B=36°
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故选:B. 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质,解题的关键是运用等腰三角形的性质得出 ∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C 关系. 7. (3 分) (2014 秋?下城区期末)如图,在△ ABC 中,∠BAC<90°,AB=AC,AF⊥BC 于 点 F,D 为 CA 延长线上一点,DE⊥BC 于 E,交 AB 边于点 G,则图中与∠D 相等的角的 个数为( )

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A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 【考点】等腰三角形的判定与性质. 【分析】证明∠BAF=∠CAF;∠BGE=∠AGD=∠BAF,∠CAF=∠D,即可解决问题. 【解答】解:如图,∵AB=AC,AF⊥BC, ∴∠BAF=∠CAF; ∵DE⊥BC, ∴DE∥AF, ∴∠BGE=∠AGD=∠BAF,∠CAF=∠D, ∴图中与∠D 相等的角共有 4 个, 故选 B.
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【点评】 该题主要考查了等腰三角形的判定及其性质的应用问题; 解题的关键是灵活运用平 行线的性质等几何知识点来分析、判断、解答. 8. (3 分) (2014 秋?下城区期末)如图,点 B,C,D 在同一条直线上,∠ACB=∠ECD=60°, ∠E=∠D=40°,EC=DC.连结 BE,AD,分别交 AC,CE 于点 M,N,下列结论中,错误的 是( )

A.∠A=∠B B.△ CME≌△CND C.CM=CN D.∠BMC=∠DNC 【考点】全等三角形的判定与性质. 【分析】求出∠ACD=∠BCE=120°,根据 ASA 推出△ ACD≌△BCE,根据全等三角形的性 质得出∠A=∠B,证△ CME≌△CND,根据全等三角形的性质得出 CM=CN,根据三角形的 内角和定理求出∠CMB 和∠CND 不一定相等,即可得出选项. 【解答】解:∵∠ACB=∠ECD=60°, ∴∠ACE=180°﹣60°﹣60°=60°, ∴∠ACD=∠BCE=120°, 在△ ACD 和△ BCE 中,
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, ∴△ACD≌△BCE(ASA) , ∴∠A=∠B,
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在△ CME 和△ CND 中, , ∴△CME≌△CND(ASA) , ∴CM=CN, ∵∠B+∠BCM+∠BMC=180°,∠D+∠CND+∠DCN=180°,∠BCM=∠DCN,∠B 和∠D 不 一定相等, ∴∠CMB 和∠CND 不一定相等, 即只有选项 D 错误; 故选 D.

【点评】 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用, 解此题的关键是推出△ ACD≌△BCE 和△ CME≌△CND,注意:全等三角形的对应边相等,对应角相等. 9. (3 分) (2014 秋?下城区期末)如图,在△ ABC 中,AB=AC,BD= BC,等边△ BEF 的 顶点 F 在 BC 上,边 EF 交 AD 于点 P,若 BE=10,BC=14,则 PE 的长为( )

A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】等边三角形的性质. 【专题】计算题.
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【分析】根据等腰三角形的性质,由 AB=AC,BD= BC=7 得到 AD⊥BC,再根据等边三角 形的性质得∠BFE=60°,BF=BE=EF=10,则可计算出 DF=BF﹣BD=3,然后在 Rt△ PDF 中 利用含 30 度的直角三角形三边的关系得到 PF=2DF=6,所以 PE=EF﹣PF=4. 【解答】解:∵AB=AC,BD= BC=7, ∴AD⊥BC, ∵△△BEF 为等边三角形, ∴∠BFE=60°,BF=BE=EF=10, ∴DF=BF﹣BD=10﹣7=3,
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在 Rt△ PDF 中,∵∠PFD=60°, ∴∠DPF=30°, ∴PF=2DF=6, ∴PE=EF﹣PF=10﹣6=4. 故选 D. 【点评】本题考查了等边三角形的性质:等边三角形的三个内角都相等,且都等于 60°.等 边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴;它的任意一角的平分线都垂直平分对边,三边的 垂直平分线是对称轴. 10. (3 分) (2014 秋?下城区期末)如图(1) ,一架长为 20 米云梯 AB 斜靠在竖直的墙 ON 上,这时云梯下端 B 到墙底端 O 的距离 BO=12 米,在下列结论中,正确的是( )

A.当消防员爬到距离地面

米时,他到墙面与地面的距离相等

B.如图(2) ,当梯子顶端 A 沿墙下滑 3 米时,底端 B 向外移动 3 米 C.如图(2) ,在梯子下滑过程中,梯子 AB 与墙 ON,地面 OM 构成的三角形面积存在最 大值,最大值为 100 米
2

D.若在射线 ON 上存在一点 G,使得△ ABG 为等腰三角形,则 AG=
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【考点】勾股定理的应用. 【分析】根据勾股定理及相似三角形的性质对各选项进行逐一分析即可. 【解答】解:∵AB=20 米,BO=12 米, ∴OA= =16(米) . 米时,如图 1 所示,过点 H 作 HK⊥OM,

A、当消防员爬到距离地面 ∵AO⊥OM, ∴△BKH∽△BOA, ∴ = ,即 = =

,解得 BK= ≠



∴OK=12﹣

,故本选项错误;

B、如图(2) ,当梯子顶端 A 沿墙下滑 3 米时, ∵OC=OA﹣3=16﹣3=13, ∴OD= ∵OD﹣OB= = = (米) ,

﹣12≠3,故本选项错误;
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C、∵当 AB 移动到 OA=OB 时,△ ABC 的面积最大,此时斜边上的高= AB=10 米, ∴S 最大= ×20×10=100 米 ,故本选项正确; D、∵AB=20,△ ABG 为等腰三角形, ∴AG=AB=20,故本选项错误. 故选 C.
2

【点评】 本题考查的是勾股定理的应用, 在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的 结合是解决实际问题常用的方法, 关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型, 画出准确的 示意图.领会数形结合的思想的应用. 二、认真填一填(本题有 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分)要注意认真看清楚题目的条件 和要填写的内容,尽量完整地填写答案. 11. (4 分) (2014 秋?下城区期末)直线 y=﹣x+1 不经过第 三 象限. 【考点】一次函数图象与系数的关系. 【分析】由 k=﹣1<0,b=1>0,即可判断出图象经过的象限. 【解答】解:∵直线 y=﹣x+1 中, k=﹣1<0,b=1>0, ∴直线的图象经过第一,二,四象限. 故答案为:三. 【点评】 本题考查了一次函数的图象的性质, 同时考查了函数的增减性, 即一次函数 y=kx+b 中,当 k>0 时,y 随 x 的增大而增大;当 k<0 时,y 随 x 的增大而减小.
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12. (4 分) (2014 秋?下城区期末)命题“对顶角相等”的条件是 两个角是对顶角 ,结论 是 这两个角相等 . 【考点】命题与定理. 【分析】命题是判断一件事情,由条件和结论组成,都能写成“如果…那么…”的形式,此命 题可写成:如果是对顶角,那么这两个角相等. 【解答】解:此命题可写成:如果是对顶角,那么这两个角相等.因此条件是“两个角是对 顶角”结论是“这两个角相等” 故答案为:两个角是对顶角;这两个角相等. 【点评】本题考查找命题里面的条件和结论,写成“如果…那么…”的形式可降低难度.
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13. (4 分) (2014 秋?下城区期末)如图,在△ ABC 中,AB=AC=17,BC=16,AD 为中线, BE⊥AC,垂足为 E,则 AD= 15 ,BE= .

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【考点】勾股定理;等腰三角形的性质. 【分析】先根据等腰三角形的性质求出 BD 的长,再根据勾股定理求出 AD 的长即可;根据
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sinC=

=

即可得出 BE 的长.

【解答】解:∵在△ ABC 中,AB=AC=17,BC=16,AD 为中线, ∴AD⊥BC,BD= BC=8, ∴AD= ∵sinC= ∴ = = , . = =15.

,解得 BE= .

故答案为:15,

【点评】本题考查的是勾股定理,熟知在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和 一定等于斜边长的平方是解答此题的关键. 14. (4 分) (2014 秋?下城区期末)把点 A(a,﹣3)向左移动 3 个单位得点 B,点 B 关于 x 轴的对称点为点 C;若点 A,C 到原点的距离相等,则 a= .
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【考点】坐标与图形变化-平移;关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标. 【专题】几何变换. 【分析】先根据点平移的规律得到点 B 的坐标为(a﹣3,﹣3) ,再利用关于 x 轴对称的点 2 2 的坐标特征得到点 C 的坐标为(a﹣3,3) ,然后根据两点间的距离公式得到 a +(﹣3) = 2 2 (a﹣3) +3 ,再解方程即可. 【解答】解:∵点 A(a,﹣3)向左移动 3 个单位得点 B, ∴点 B 的坐标为(a﹣3,﹣3) , ∵点 B 与点 C 关于 x 轴的对称, ∴点 C 的坐标为(a﹣3,3) , ∵点 A,C 到原点的距离相等, ∴a +(﹣3) =(a﹣3) +3 ,解得 a= . 故答案为 . 【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移:在平面直角坐标系内,把一个图形各个点的横 坐标都加上(或减去)一个整数 a,相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移 a 个单
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位长度;如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个整数 a,相应的新图形就是把原图形 向上(或向下)平移 a 个单位长度. (即:横坐标,右移加,左移减;纵坐标,上移加,下 移减) .也考查了关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标. 15. (4 分) (2014 秋?下城区期末) 若不等式组 【考点】解一元一次不等式组. 【分析】不等式组
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有解, 则 a 的取值范围是 a>1 .

有解,即两个不等式的解集有公共部分,据此即可确定 a 的范

围. 【解答】解:a 的取值范围是:a>1. 故答案是:a>1. 【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解,解此类题目常常要结合数轴来判断.还可以 观察不等式的解,若 x>较小的数、<较大的数,那么解集为 x 介于两数之间. 16. (4 分) (2014 秋?下城区期末)在△ ABC 中,AB=AC,点 D 在 BC 边上,连接 AD,若 AD=BD,且△ ADC 为等腰三角形,则∠BAC 的度数为 108°或 90° . 【考点】等腰三角形的性质. 【分析】 由 AD=BD, AB=AC 得∠BAD=∠B=∠C, ①当 AC=DC 时, 设∠BAD=∠B=∠C=x°, 从而可推出∠BAC=3∠DBA=3x,根据三角形的内角和定理即可求得∠DBA 的度数,从而 不难求得∠BAC 的度数;②当 AD=DC 时,则∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=x,得出 ∠B+∠C=∠BAD+∠CAD=∠BAC=2x,根据三角形的内角和定理即可求得∠BAC 的度数. 【解答】解:∵AD=BD,AB=AC ∴∠BAD=∠B=∠C, ∴设∠BAD=∠B=∠C=x°, ∴∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B=2x°, ①当 AC=DC 时, ∴∠CAD=∠CDA=2x°, ∴∠BAC=3x°, ∵∠B+∠BAC+∠C=180°
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∴5x=180°, ∴x=36°, ∴∠B=36° ∴∠BAC=3∠B=108°. ②当 AD=DC 时, ∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=x, ∴∠B+∠C=∠BAD+∠CAD=∠BAC=2x, ∵∠B+∠C+∠BAC=180°, ∴∠BAC=90°. 故答案为 108°或 90°.

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【点评】 此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用能力; 求得 角之间的关系利用内角和求解是正确解答本题的关键. 三、 全面答一答 (本题有 7 个小题, 共 66 分) 解答应写出文字说明、 证明过程或推演步骤. 如 果觉得有的题目有点困难,那么把自己能写出的解答写出一部分也可以. 17. (6 分) (2014 秋?下城区期末)解下列不等式(组) : (1)3x﹣1<2x+4 (2) .

【考点】解一元一次不等式组;解一元一次不等式. 【分析】 (1)移项、合并同类项即可求解; (2)先解不等式,求出解集,确定两个不等式的解集的公共部分即可. 【解答】解: (1)移项,得 3x﹣2x<4+1, 合并同类项,得 x<5;
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(2) 解①得:x> , 解②得:x≤4, 则不等式组的解集是: <x≤4.



【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解,解此类题目常常要结合数轴来判断.还可以 观察不等式的解,若 x>较小的数、<较大的数,那么解集为 x 介于两数之间. 18. (8 分) (2014 秋?下城区期末)已知,如图,四边形 ABCD,∠A=∠B=Rt∠ (1)用直尺和圆规,在线段 AB 上找一点 E,使得 EC=ED,连接 EC,ED(不写作法,保 留作图痕迹) ; (2)在(1)的图形中,若∠ADE=∠BEC,且 CE=3,BC= ,求 AD 的长.

【考点】作图—基本作图;线段垂直平分线的性质;勾股定理. 【分析】 (1)利用作线段垂直平分线的方法,即可确定点 E. (2)先利用勾股定理求出 BE 的长,再利用 RT△ DAE≌RT△ EBC 即可求出 AD 的长. 【解答】解: (1)如图,
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(2)∵△ EBC 是直角三角形,CE=3,BC= ∴BE= = =2,



在 RT△ DAE 和 RT△ EBC 中, , ∴RT△ DAE≌RT△ EBC(AAS) , ∴AD=BE=2. 【点评】本题主要考查了基本作图,线段垂直平分线及勾股定理,解题的关键是熟记作线段 垂直平分线的方法. 19. (8 分) (2014 秋?下城区期末)某业主贷款 2.2 万元购进一台机器,生产某种产品.已 知产品的成本是每个 5 元,售价是每个 8 元,应付的税款和其他费用的和是售价的 10%.若 每个月能生产并销售 2000 个产品. (1)问每个月所获得利润为多少元? (2)问至少几个月后能赚回这台机器的贷款? 【考点】一元一次方程的应用. 【分析】 (1)用总销售额减去成本,再减去应付的税款和其他费用,即可求解; (2)设 x 个月后能赚回这台机器的贷款,可得 4400x=22000,据此求解即可. 【解答】解: (1)售价为:2000×8=16000(元) , 则应付的税款和其他费用为:16000×10%=1600(元) , 利润=16000﹣2000×5﹣1600=4400(元) , 答:每个月所获得利润为 4400 元;
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(2)设 x 个月后能赚回这台机器的贷款, 由题意得,4400x=22000, 解得:x=5. 答:至少 5 个月能赚回这台机器的贷款. 【点评】本题考查了一元一次方程的应用,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出 合适的等量关系,列方程求解. 20. (10 分) (2014 秋?下城区期末)如图,已知△ ABC 为等腰直角三角形,∠BAC=90°, BE 是∠ABC 的平分线,DE⊥BC,垂足为 D. (1)写出图中所有的等腰三角形,不需证明;
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(2)请你判断 AD 与 BE 是否垂直,并说明理由; (3)如果 BC=12,求 AB+AE 的长.

【考点】全等三角形的判定与性质;角平分线的性质;等腰三角形的判定与性质. 【分析】 (1)易证 BE 是 AD 的垂直平分线,根据线段的垂直平分线以及等腰直角三角形的 定义即可作出判断; (2)证明△ ABE≌△DBE,则 AE=DE,AB=BD,即可得到 BE 是线段 AD 的中垂线; (3)根据 AE=ED,以及△ EDC 是等腰直角三角形,即可得到 AB+AE=BC,从而求解. 【解答】解: (1)△ ABC、△ ABD、△ AED、△ EDC; (2)AD⊥BE. 理由:在△ ABE 和△ DBE 中,
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, ∴△ABE≌△DBE(ASA) . ∴AE=DE,AB=BD, ∴B 和 E 在 AD 的中垂线上. ∴AD⊥BE; (3)∵△ABC 为等腰直角三角形, ∴∠C=45°, ∴直角△ EDC 是等腰直角三角形, ∴DE=AE. ∴AB+AE=BD+DE=BD+DC=BC=12(cm) .

【点评】本题考查了线段的垂直平分线的判定与性质,以及全等三角形的判定与性质,理解 线段的垂直平分线的性质:线段的垂直平分线上的点到线段的两端的距离相等,是关键. 21. (10 分) (2014 秋?下城区期末)在一条笔直的道路上有相距 9 千米的 A,B 两地,甲以 3km/h 的速度从 A 地走向 B 地,出发 0.5h 后,乙从 B 地以 4.5km/h 的速度走向 A 地,甲、 乙两人走到各自终点停止.设甲行走的时间为 t(h) . (1)分别写出甲、乙两人与 A 地的距离 s 与时间 t 的函数表达式,并写出相应的 t 的取值 范围; (2)在同一直角坐标系中画出(1)中的两个函数的图象; (3)当 t 为何值时,甲、乙两人相距不大于 3.75km.
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【考点】一次函数的应用. 【分析】 (1)由行程问题的数量关系路程=速度×时间就可以得出 s 与 t 的关系式; (2)由列表法通过列表、描点及连线的过程就可以画出函数图象; (3)由相遇问题的数量关系建立不等式组求出其解即可. 【解答】解: (1)由题意,得
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s 甲=3t(0≤t≤3) , s 乙=9﹣4.5(t﹣0.5) , s 乙=﹣4.5t+ (0≤t≤2.5) .

(2)列表为: t s=3t s=﹣4.5t+

0 0

2.5 0

3 9

描点并连线为: (3)由题意,得 , 解得:1≤t≤2. 答:当 1≤t≤2 时甲、乙两人相距不大于 3.75km.
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【点评】本题考查了行程问题的数量关系的运用,一次函数的解析式的运用,列表法画函数 图象的运用,一元一次不等式组的运用,解答时求出函数的解析式是关键. 22. (12 分) (2014 秋?下城区期末)在△ ABC 中,AD 是 BC 边上的高线,CE 是 AB 边上 的中线,DG⊥CE 于 G,CD=AE. (1)写出 CG 与 EG 的数量关系,并说明理由. (2)若 AD=12,AB=20,求 CE 的长.

【考点】勾股定理;等腰三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线;三角形中位线定 理. 【分析】 (1)利用直角三角形的性质以及等腰三角形的性质得出即可;
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(2)首先得出 EF

AD,进而得出 ED,AD 的长,再利用勾股定理得出 EC 的长.

【解答】解: (1)CG=EG, 理由:连接 ED,∵AD⊥BC ∴∠ADB=90° ∵CE 是 AB 边上的中线 ∴E 是 AB 的中点 ∴DE= AB(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半) 又∵AE= AB ∴AE=DE ∵AE=CD ∴DE=CD 即△ DCE 是等腰三角形, ∵DG⊥EC, ∴CG=EG; (2)过点 E 作 EF⊥BC 于点 F, ∵AD⊥BC,E 为 AB 的中点, ∴EF AD,

∴EF=6, ∵∠ADB=90°,AD=12,AB=20, ∴BD=16, ∴FD=BF=8, ∴ED= =10,
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∴DC=10, ∴EC= = =6 .

【点评】 此题主要考查了勾股定理以及三角形中位线的性质和等腰三角形的性质等知识, 得 出 ED 的长是解题关键. 23. (12 分) (2014 秋?下城区期末)如图,在正方形 ABCD 中,AB=4,点 P 为线段 DC 上 的一个动点.设 DP=x,由点 A,B,C,P 首尾顺次相接形成图形的面积为 y. (1)求 y 关于 x 的函数表达式及 x 的取值范围; (2)设(1)中函数图象的两个端点分别为 M、N,且 P 为第一象限内位于直线 MN 右侧的 一个动点,若△ MNP 正好构成一个等腰直角三角形,请求出满足条件的 P 点坐标; (3)在(2)的条件下,若 l 为经过(﹣1,0)且垂直于 x 轴的直线,Q 为 l 上的一个动点, 使得 S△ MNQ=S△ NMP,请直接写出符合条件的点 Q 的坐标.

【考点】一次函数综合题. 【分析】 (1) 根据梯形的面积公式,可得函数解析式, 根据线段的和差,可得 x 的取值范围; (2)根据等腰直角三角形的关系,可得方程组,根据解方程组,可得答案; (3)根据等底等高的三角形面积相等,可得 CD 的长,根据勾股定理,可得方程组,根据 解方程组,可得 C 点坐标. 【解答】解: (1)由线段的和差,得 PC=(4﹣x) , 由梯形的面积公式,得 y=﹣2x+16 x 的取值范围是 0<x<4; (2)设 P 点坐标是(a,b) ,M(0,16) ,N(4,8) , 以 MN 为边,在 MN 右侧做正方形,MNAB,正方形中心为 H,则易知 A,B,H 即为所求 P 的坐标;示意图如下
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求得 A(12,12) ,B(8,20) ,O(6,14) 故 P 点可能的坐标为(12,12)或(8,20)或(6,14) (3)由 S△ MNQ=S△ NMP,得 CD=PN=4 . 过点 C 作 CD⊥MN 与 D 点,

设点 C 的坐标为(﹣1,b) ,设 ND=x,MD=4 由勾股定理,得
2 2 2 2 2

+x,
2

NC ﹣CD =ND ,即(﹣1﹣4) +(b﹣8) ﹣80=x ①, 2 2 2 2 2 2 MC ﹣CD =MD ,即(﹣1) +(b﹣16) ﹣80=(4 +x) ②, ②﹣①,得 x= 把 x=
2



代入①,得

b ﹣36b﹣76=0.解得 b=38,b=﹣2, C 点坐标是(﹣1,﹣2) , (﹣1,38) . 【点评】本题考查了一次函数综合题, (1)利用了梯形的面积公式, (2)利用等腰直角三角 形的性质得出方程组是解题关键, (3)利用等底等高的三角形面积相等得出 CD 的长是解题 关键.

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