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高一 函数的概念及其表示


个性化教学辅导教案
学科:数 学 教学 课题 教学 目标 教学 年级:高一 任课教师: 授课时间:2017 年 秋季班 第 04 周

函数的概念及其表示
1.熟悉函数的概念及三要素; 2.熟悉函数的表示方法及相关特点。

重点:函数的三要素及其表示; 重难点 难点:值域的求法。

教学过程
(1) 函数的定义: ①传统定义:在某一个变化过程中有两个变量 x 和 y,如果对于在某一个范围内的任一个 x 的值, 都有唯一的 y 值与它对应,则称 y 是 x 的函数,x 叫自变量,y 叫因变量。 ②现代定义:设 A、B 是非空的数集,如果按某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个 函数,记作 y=f(x),x∈A,其中 x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值 相对应的 y 的值叫做函数值,函数值的集合 {f(x)|x∈A}叫做函数的值域。 (2) 映射的定义: 一般地,设 A、B 是两个集合,如果按照某种对应关系 f,对于集合 A 中的任何一个元素,在集合 B 中都有唯一的元素和它对应,那么,这样的对应(包括集合 A、B,以及集合 A 到集合 B 的对应关系 f)叫做集合 A 到集合 B 的映射,记作 f:A→B。如果集合 A 中的元素 a 对应到集合 B 中的元素 b, 那么其中集合 B 中的元素 b 是集合 A 中元素 a 对应的“象”;b 是 a 的“原象”。 由映射和函数的定义可知,函数是一类特殊的映射,它要求 A、B 非空且皆为数集。 总结:①根据映射的定义知“一对多”不是映射;②A 中每一个元素都有象; ③B 中每一个元素不一定都有原象,不一定只一个原象;④A 中每一个元素的象唯一。 (3) 函数的定义域: 函数的定义域是自变量 x 的取值范围 ,它是构成函数的重要组成部分,如果没有标明定义域,则认 为定义域是使函数解析式有意义的或使实际问题有意义的 x 的取值范围,但要注意,在实际问题中, 定义域要受实际意义的制约。 如: y ?

x 的定义域是非负实数;圆半径 R 与面积 S 的函数关系 S ? ?R 2 的定义域为正数; y ?

1 x

的定义域是非零实数?? 注:求函数的定义域的常见类型 1.当 f ( x) 为整 式时,定义域为R;
1

2.当 f ( x) 为 分式时,定义域为使 分母不为0的 x 的集合; 3.当 f ( x) 为二次根式时,定义域为使被开方式非负的 x 的集合; 4.当 f ( x) 是由几个式子组成时,定义域是使得各个式子都有意义的 x 的值的集合。 (4) 函数的对应法则: 对应关系 f 是函数关系的本质特征,y=f(x)的意义是:y 就是 x 在关系到 f 下的对应值,而 f 是 “对应”得以实现的方法和途径。 如:f(x)=3x+5,f 表示自变量的 3 倍加上 5。 (5) 函数的值域: 自变量 x 在定义于内取值时相应的函数值的集合。[来源:学科网 ZXXK] (6) 求函数的值域的常用方法: 1.观察法求函数值域 【例 1】求下列函数值域: (1) y ? ?3x ? 2 , x ? [?1, 2] (2) y ? 1 ? x2 ,

x ?{?2, ?1,0,1, 2}

3 (3) y ? ? 1 x
[来 Com] 2.配方法求二次函数值域

?1, x ? 0 ? (4) y ? ?0, x ? 0 ? ?1, x ? 0 ?

【例 2】已知函数 y ? x ? 2x ? 3 ,分别求它在下列区间上的值域。
2

(1) x ? R ;

(2) x ? [0, ??) ;

(3) x ? [?2, 2] ;

(4) x ? [1, 2] .

提示:(1)函数的定义域不同,值域也不同; (2)二次函数的区间值域的求法:①配方;②作图;③求值域。

3.部分分式法求分式函数的值域(分离常数法) 【例 3】求函数 y ?

5x ? 4 的值域。 x ?1

4.利用“已知函数的值域”求值域

2

【例 4】求下列函数的值域: (1) y ? 1 ? 3x ; (3) y ? 25 ? x2 ; (2) y ? (4) y ?
2

x2 ? 2 x ? 3 ;
1 . x ? 2x ? 3

5.换元法求函数值域 【例 5】求函数 y ? x ? 1 ? 2x 的值域。

[来源:学科网] 6.判别式法求函数值域 【例 6】 求函数 y ? 1 ? 2x ? x 的值域。

(7) 两个函数相等的定义:函数的定义含有三个要素,即定义域、值域和对应 法则。当函数的定 义域及从定义域到值域的对应法则确定之后,函数的值域也就随之确定。因此,定义域和对应法则 为函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同 一个函数。 【例 7】试判断以下各组函数是否表示同一函数? (1)f(x)= x 2 ,g(x)= 3 x 3 ; (2)f(x)=

x ? 0, ?1 |x| ,g(x)= ? x ?? 1 x ? 0;

3

( 3)f(x)= x
2

x ? 1 ,g(x)= x 2 ? x ;
2

(4)f(x)=x -2x-1,g(t)=t -2t-1。 提示:对于两个函数来讲,只要函数的三要素中有一要素不相同,则这两个函数就不可能是同一函 数

(8) 区间的概念:设 a、b 是两个实数,且 a<b,我们规定: ① 满足不等式 a≤x≤b 的实数 x 的集合叫做闭区间,表示为[a ,b]; ② 满足不等式 a<x<b 的实数 x 的集合叫做闭区间,表示为(a,b); ③ 满足不等式 a≤x<b 和 a<x≤b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间, 分别表示为[a , b)、 (a, b];

? ?) ,“ ? ”读作“无穷大”,“ ? ? ”读作“负无穷 ④ 实数集合 R 可以用区间表示为 (??,
大”。我们可以把满足不等式 x ? a,x ? a,x ? b,x ? b 的实数 x 的集合分别表示成

[a, ? ?), (a, ? ?), (??,b), (??, b] 。
(9) 复合函数的定义域及其求法:若 y=f(u),u=g(x),x?(a,b),u?(m,n),那么 y ? f [ g ( x)] 称为复 合函数,u 称为中间变量,它的取值范围是 g(x)的值域。[来源:学。科。网 Z。X。X。K] ①已知 f ( x) 的定义域,求 f [? ( x)] 的定义域,其实质是由 ? ( x) 的取值范围求 x 的范围。 ②已知 f [? ( x)] 的定义域,求 f ( x) 的定义域,其实质是由 x 的取值范围求 ? ( x) 的范围。

2] ,求下列各函数的定义域: 【例 8】已知 y ? f ( x) 的定义域是 (0,
① y ? f (x ) ;
2

② y ? f ( 2x ? 1) ;

③ y ? f ( x ? 2)

(10) 函数的表示法: 解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。优点:简明;给自变量求函数值。 图像法:用图像表示两个变量之间的对应关系。优点:直观形象,反应变化趋势。 列表法:列出表格来表示两个变量之间的对应关系。优点:不需计算就可看出函数值。 具体实例如:二次函数等;股市走势图; 列车时刻表;银行利率表。 【例 9】某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个,?,一直分裂下去.
4

①用列表表示 1 个细胞分裂 1、2、3、4、5、6、7、8 次后,得到的细胞个数; ②用图像表示 1 个细胞分裂的次数 n(n?N+)与得到的细胞个数 y 之间的关系。

(11) 分段函数:有些函数在其定义域中,对于自变量 x 的不同取值范围,对应关系也不同,这样 的函数通常称为分段函数。分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的不同表达式,所 以它的图像也由几部分构成。但是分段函数虽然由几部分构成,但它代表的是一个函数。 求分段函数的有 关函数值的关键是“分段归类”,即自变量的取值属于哪一段,就用哪一段的 解析式。 作分段函数的图像时,则应分段分别作出其图像,在作每一段图像时,无不管定义域的限制, 用虚线作出其图像,再用实线保留定义域内的一段图像即可。

【例 10】某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定: ⑴乘坐公共汽车 5 公里以内,票价 2 元; ⑵5 公里以上,每增加 5 公里,票价增加 1 元(不足 5 公里按 5 公里计算)。 已知两个相邻的公共汽车站间相距为 1 公里, 如果沿途 (包括起点站和终点站) 设 20 个汽车站, 请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象。 设票价为 y,里程为 x,则根据题意,如果某空调汽车运行路线中设 20 个汽车站,那么汽车行驶的 里程约为 20 公里,所以自变量 x 的取值范围是 ?0,2? 。 由空调汽车票价制定的规定,可得到以下函数解析式:

(0 ? x ? 5) ? 2, ? 3, ? (5 ? x ? 10) y= ? (10 ? x ? 15) ?4, ? (15 ? x ? 20) ?5,
根据这个函数解析式,可画出函数图象(如 图) 像上面那样表示的函数称为分段函数 注意: 1.表示函数的式式可以不止一个,对于分几个式子表示的函数,不是几个函数而是一个分段函数 2.函数的图象不一定是一条式几条无限长的平滑曲线,也可以是一些孤立的点,一些线段,曲线。

(12) 函数图像的作法:①描点法;②变换作图法(平移、对称、其它)

5

【例 11】作出下列函数的图像: ①y??

?( x ? 1) 2 , ( x ? 0) ( x ? 0) ?2 x,



2 ② y ? x ? 2x ? 1 ;

③y?

1? x2 x x2 ?1

(13) 用代入法和 待定系数法求函数的解析式: ①代入法:如已知 f ( x) ? x 2 ? 1 , 求 f ( x ? x 2 ) 时有: f ( x ? x 2 ) ? ( x ? x 2 ) 2 ? 1 ; ②待定系数法:已知 f ( x) 的函数类型,要示 f ( x) 的解析式时,可根据类型设解析式,从而确定其 系数即可。 【例 12】已知 f ( x) 是一次函数,且 f [ f ( x)] ? 4 x ? 3 ,求 f ( x) 。

③换元法:已经函数 f [ g ( x)] 求 f ( x) 时,令 t ? g ( x) ,再求 f (t ) ,然后用 x 代替 t 即可。 除上述方法以外,还有“拼凑法”、“方程组法”等。 【例 13】求下列函数的解析式:
2 1.已知 f ( x) ? x ? 2 x, 求 f (2 x ? 1); (代入法)

2.已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x, 求 f ( x) ;(换元法,拼凑法)

3.已知 f ( x) ? 2 f ( ) ? 3 x ? 2 ,求 f ( x) 。(方程组法)

1 x

6

【例 14】已知函数 f ? x ? ? ?

? x x ? 0,
2 ? x x ? 0,

试求 f { f [ f (?2)]}的值。

课后练习 1.函数 y= x+1+ 1 ? x 的定义域是( A.(-1,1) B.[0,1] ) C.[-1,1] ) D.可能两个以上 ) D. [ 0, ) D. (- ? , -1)? (1, +?)

2.函数 y ? f ( x) 的图象与直线 x ? a 的交点个数有( A.必有一个 3.函数 f ( x) ?
2

B.一个或两个

C.至多一个

1 的定义域为 R,则实数 a 的取值范围是( ax ? 4ax ? 3
B. [ 0, ]

A.

R

3 4

C. [ , ?? )

3 4

3 4

4.已知 f ( x ) 是一次函数,若 2 f (2) ? 3 f (1) ? 5 , 2 f (0) ? f (?1) ? 1 ,则 f ( x ) 的解析式为 A. f ( x) ? 3x ? 2 B. f ( x) ? 3x ? 2 C. f ( x ) ? 2 x ? 3 ) D.30 D. f ( x ) ? 2 x ? 3

1 1? x2 5.若 g ( x) ? 1 ? 2 x , f ( g ( x)) ? ,则 f ( ) 的值是( 2 2 x
A.1 B.15 C.4

1 6.函数 y= x+1+ 的定义域是(用区间表示) 2-x 7.已知 f ( x ) 满足 2 f ( x) ? f (? x) ? 3x ? 2 ,且 f (?2) ? ? 8.已知函数 f ( x) ?

16 ,则 f (2) ? 3

x2 , 1? x2
1 2 1 3 1 4 1 ) =________ 2011

则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ... ? f (2011) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? ... ? f (

7

9.已知 f ? A.

2 ? 1? x ? 1? x ,则 f ?x ? 的解析式为( ? ? 2 ?1? x ? 1? x



x 1? x2

B.

? 2x 1? x2

C.

2x 1? x2

D.

?x 1? x2

10.求下列函数的值域:

y?

2x ? 4 x?3

(2) y ? x 2 ? 4 x ? 6, x ?[1,5) (3) y ? 1 ? x 2 , x ?{?2,?1,0,1,2} (4)y = 2 x +1 + x - 1

11.若函数 y ?

ax2 ? ax ?

1 的定义域是 R,求实数 a 的取值范围 (定义域的逆向问题) a

8


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