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2017届高考数学第三卷模拟仿真理科卷


2017 年全国高考 3 卷仿真卷
理科数学 制题:陈大贵
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4. 考试结束后,交答题卡,试卷不交

第Ⅰ卷
一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1) . (2015· 全国理卷Ⅰ).已知集合 A={x|x=3n+2, n∈N}, B={6,8,10,12,14}, 则集合 A∩B 中元素的个数为( A.5 B.4 C.3 D.2 ) )

2i (2) .(2015· 安徽高考).设 i 是虚数单位,则复数 在复平面内所对应的点位于( 1-i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限 )

(3)(2016· 北师大附中模拟).已知向量 a=(x-1,2),b=(2,1),则 a⊥b 的充要条件是( 1 A.x=- 2 B.x=-1 C.x=5 D.x=0

?0≤x≤2, ? (4).设不等式组? 表示的平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于 2 的 ? ?0≤y≤2

概率是( π A. 4

) π-2 B. 2 ) C.
3

π C. 6

4-π D. 4

sin 2θ (5) .若 tan θ= 3,则 =( 1+cos 2θ A. 3

B.- 3
4

3 3
1

D.-

3 3

(6)(2016 年全国 3 卷).已知 a ? 2 3 , b ? 4 4 , c ? 25 3 ,则 (A) b ? a ? c (B) a ? b ? c (C) b ? c ? a (D) c ? a ? b )

(7) .执行如图所示的程序框图,若输入的实数 x=4,则输出结果为(

A.4 sin A cos B (8).在△ABC 中,若 = ,则 B 的值为( a b A.30° B.45° )

B .3

C.2

1 D. 4

C.60°

D.90° )

(9).(2015· 陕西高考).一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(

A.3π x (10). (2016· 鄂州一模).已知 x>0,则 2 的最大值为( x +4 A.1 B. 1 4 1 C. 2

B.4π ). D.4

C.2π+4

D.3π+4

1 1? y2 (11).(2015· 南昌二模).已知椭圆: +x2=1,过点 P? ?2,2?的直线与椭圆相交于 A,B 两点,且弦 AB 被点 P 平分, 9 则直线 AB 的方程为( A.9x-y-4=0 ) B.9x+y-5=0 C.2x+y-2=0 D.x+y-5=0
x ?1 与 y ? f ? x ? 图像的交点为: x

(12). (2016 全国理 2 卷).已知函数 f ? x ?? x ? R ? 满足 f ? ? x ? ? 2 ? f ? x ? ,若函数 y ?

? x1 ,y1 ? , ? x2 ,y2 ? ,?, ? xm ,ym ? ,则 ? ? xi ? yi ? ? (
i ?1

m

) (D)4m

(A)0

(B)m

(C)2m

第 II 卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 (13). .?

?1 ? x

-2x2?5 的展开式中常数项是_______
?

?

x (14). (2015· 南昌新建二中月考)∫1 0e dx 的值等于_______

(15). (2014· 全国卷理Ⅱ).设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a=______ (16).(2016 年理 3 卷 16 题).已知直线错误!未找到引用源。与圆错误!未找到引用源。交于 A,B 两点,过 A, B 分别做 l 的垂线与 x 轴交于 C,D 两点,若错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。_______

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) (2015· 天津)已知{an}是各项均为正数的等比数列,{bn}是等差数列,且 a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7. (1)求{an}和{bn}的通项公式; . (2)设 cn=anbn,n∈N ,求数列{cn}的前 n 项和.
*

(18) (本小题满分 12 分) 2016 年 10 月下旬,中国大陆智华大型联谊活动在贵州省长顺县智华高级中学举行,为办好本次 活动,该校调查了高一高二两个年级学生是否愿意提供志愿者服务,现用简单随机抽样方法从该校调查了 50 人, 结果如下:

(I)用分层抽样的方法在愿意提供志愿者服务的学生中抽取 6 人,其中男生抽取多少人? (II)在(I)中抽取的 6 人中任选 2 人,求恰有一名女生的概率; (III)你能否有 99%的把握认为该校高中生是否愿意提供志愿者服务与性别有关? 下面的临界值表供参考:

独立性检验统计量 K 2 ?

n?ad ? bc? , 其中 n ? a ? b ? c ? d . ?a ? b??c ? d ??a ? c??b ? d ?
2

(19) (本小题满分 12 分) (理科)如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 为菱形,PA⊥平面 ABCD,PA=AB=2,E、F 分别为 CD、PB 的中 点,AE= . (Ⅰ)求证:平面 AEF⊥平面 PAB. (Ⅱ)求平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角的余弦值.

(20) (2014 年全国 2 卷,本小题满分 12 分)
x2 y2 设 F1 ,F2 分别是椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左,右焦点,M a b

是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N。 3 (I)若直线 MN 的斜率为 ,求 C 的离心率; 4 (II)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2 且|MN|=5|F1N|,求 a,b。

(21) (2014 年全国 2 卷,本小题满分 12 分)
3 2 已知函数 f(x)= x ? 3x ? ax ? 2 ,曲线 y ? f ( x) 在点(0,2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为-2.

(I)求 a; (II)证明:当时,曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? kx ? 2 只有一个交点。

请考生在[22]、[23]题中任选一题作答。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做,则 按所做的第一题计分。 (22).(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 : ?

? x ? t cos ? , ( t 为参数, t ? 0 ) ,其中 0 ? ? ? ? ,在以 O 为极点, x 轴正半轴为 ? y ? t sin ? ,

极轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? ? 2sin ? ,曲线 C3 : ? ? 2 3 cos ? . (Ⅰ).求曲线 C2 直角坐标方程和曲线 C1 普通方程,并求它们交点的直角坐标; (Ⅱ).若 C2 与 C1 相交于点 A , C3 与 C1 相交于点 B ,求 AB 的最大值.

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? a | ? a (I)当 a=2 时,求不等式 f ( x) ? 6 的解集; (II)设函数 g ( x) ?| 2 x ? 1|, 当 x ? R 时,f(x)+g(x)≥3,求 a 的取值范围.

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试题类型:新课标Ⅲ

2016 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学正式答案
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。
(1)D (8)C (2)C (9)B (3)A (4)D (5)A (11)A (6)A (12)C (7)B

(10)B

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 (22)题~第(24)题未选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分
(13)

3 2
?? 3

(14)

(15) y ? ?2 x ? 1 (16)4

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意得 a1 ? S1 ? 1 ? ?a1 ,故 ? ? 1 , a1 ?

1 , a1 ? 0 . 1? ?

由 Sn ? 1 ? ?an , Sn ?1 ? 1 ? ?an ?1 得 an ?1 ? ?an ?1 ? ?an ,即 an ?1 (? ? 1) ? ?an . 由 a1 ? 0 , ? ? 0 得 an ? 0 ,所以

an ?1 ? . ? an ? ?1
因此 {an } 是首项为

1 ? 1 ? n ?1 ( ) . ,公比为 的等比数列,于是 an ? 1? ? ? ?1 1? ? ? ?1

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 S n ? 1 ? ( 解得 ? ? ?1 . (18) (本小题满分 12 分)

? ? ?1

) n ,由 S5 ?

? 5 1 ? 5 31 31 ) ? ) ? 得1 ? ( ,即 ( , 32 ? ?1 32 32 ? ?1

解: (Ⅰ)由折线图这数据和附注中参考数据得

t ? 4 , ? (ti ? t ) 2 ? 28 ,
i ?1

7

? ( y ? y)
i ?1 i
7 i i i ?1 i

7

2

? 0.55 ,

? (t
i ?1

7

i

? t )( yi ? y) ?

?t y ? t? y
i ?1

7

? 40.17 ? 4 ? 9.32 ? 2.89 ,

r?

2.89 ? 0.99 . 0.55 ? 2 ? 2.646

因为 y 与 t 的相关系数近似为 0.99,说明 y 与 t 的线性相关相当高,从而可以用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系.

9.32 ?? ? 1.331 及(Ⅰ)得 b (Ⅱ)由 y ? 7

? (t
i ?1

7

i

? t )( yi ? y )
i

? (t
i ?1

7

?

? t )2

2.89 ? 0.103, 28

?t ? 1.331? 0.103? 4 ? 0.92 . ? ? y ?b a
? ? 0.92 ? 0.10t . 所以, y 关于 t 的回归方程为: y

? ? 0.92 ? 0.10? 9 ? 1.82 . 将 2016 年对应的 t ? 9 代入回归方程得: y
所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约 1.82 亿吨. (19) (本小题满分 12 分) 解: ( Ⅰ ) 由 已 知 得 AM ?

2 AD ? 2 , 取 BP 的 中 点 T , 连 接 AT , TN , 由 N 为 PC 中 点 知 TN // BC , 3

TN ?

1 BC ? 2 . 2

又 AD // BC ,故 TN 平行且等于 AM ,四边形 AMNT 为平行四边形,于是 MN // AT . 因为 AT ? 平面 PAB , MN ? 平面 PAB ,所以 MN // 平面 PAB . ( Ⅱ ) 取 BC 的 中 点 E , 连 结 AE , 由 AB ? AC 得 AE ? BC , 从 而 AE ? AD , 且

AE ? AB2 ? BE2 ? AB2 ? (

BC 2 ) ? 5. 2

以 A 为坐标原点, AE 的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz ,由题意知,

P(0,0,4) , M (0,2,0) , C( 5,2,0) , N (

5 ,1,2) , 2

PM ? (0,2,?4) , PN ? (

5 5 ,1,?2) , AN ? ( ,1,2) . 2 2

?2 x ? 4 z ? 0 ? ?n ? PM ? 0 ? 设 n ? ( x, y, z) 为平面 PMN 的法向量,则 ? ,即 ? 5 ,可取 n ? (0,2,1) , x ? y ? 2z ? 0 ? ? ?n ? PN ? 0 ? 2
于是 | cos ? n, AN ?|?

| n ? AN | 8 5 . ? | n || AN | 25

(20)解:由题设 F ( ,0) .设 l1 : y ? a, l2 : y ? b ,则 ab ? 0 ,且

1 2

A(

a2 b2 1 1 1 a?b ,0), B( , b), P(? , a), Q(? , b), R(? , ). 2 2 2 2 2 2
.....3 分

记过 A, B 两点的直线为 l ,则 l 的方程为 2 x ? (a ? b) y ? ab ? 0 . (Ⅰ)由于 F 在线段 AB 上,故 1 ? ab ? 0 . 记 AR 的斜率为 k1 , FQ 的斜率为 k2 ,则

k1 ?

a ?b a ?b 1 ? ab ? 2 ? ? ? ?b ? k 2 . 2 1? a a ? ab a a
......5 分

所以 AR ∥ FQ .

(Ⅱ)设 l 与 x 轴的交点为 D( x1 ,0) , 则 S ?ABF ?

a ?b 1 1 1 . b ? a FD ? b ? a x1 ? , S ?PQF ? 2 2 2 2
1 1 a ?b ,所以 x1 ? 0 (舍去) , x1 ? 1 . b ? a x1 ? ? 2 2 2

由题设可得

设满足条件的 AB 的中点为 E ( x, y ) . 当 AB 与 x 轴不垂直时,由 k AB ? k DE 可得 而

2 y ? ( x ? 1) . a ? b x ?1

a?b ? y ,所以 y 2 ? x ? 1( x ? 1) . 2
2

当 AB 与 x 轴垂直时, E 与 D 重合.所以,所求轨迹方程为 y ? x ?1 . (21) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? ?2a sin 2x ? (a ?1)sin x .
'

....12 分

(Ⅱ)当 a ? 1 时,

| f ' ( x) |?| a sin 2x ? (a ?1)(cos x ? 1) | ? a ? 2(a ? 1) ? 3a ? 2 ? f (0)
因此, A ? 3a ? 2 . ………4 分
2 当 0 ? a ? 1 时,将 f ( x ) 变形为 f ( x) ? 2a cos x ? (a ?1)cos x ?1 .

令 g (t ) ? 2at 2 ? (a ?1)t ?1 , 则 A 是 | g (t ) | 在 [?1,1] 上的最大值, 且当 t ? g (?1) ? a ,g (1) ? 3a ? 2 ,

1? a 时, g (t ) 4a

取得极小值,极小值为 g ( 令 ?1 ?

1? a (a ? 1)2 a 2 ? 6a ? 1 )?? ?1 ? ? . 4a 8a 8a

1 1 1? a ? 1 ,解得 a ? ? (舍去) ,a ? . 3 5 4a

(ⅰ) 当0 ? a ? (ⅱ)当

1 时,g (t ) 在 (?1,1) 内无极值点, 所以 A ? 2 ? 3a . | g (?1) |? a , | g (1) |? 2 ? 3a , | g (?1) |?| g (1) | , 5

1 1? a ? a ? 1 时,由 g (?1) ? g (1) ? 2(1 ? a) ? 0 ,知 g (?1) ? g (1) ? g ( ). 5 4a

又| g(

1? a (1 ? a)(1 ? 7a) 1? a a 2 ? 6a ? 1 ) | ? | g (?1) |? ? 0 ,所以 A ?| g ( ) |? . 4a 8a 4a 8a

1 ? ? 2 ? 3a, 0 ? a ? 5 ? 2 ? a ? 6a ? 1 1 综上, A ? ? , ? a ?1. 8a 5 ? 3a ? 2, a ? 1 ? ? ?

………9 分

(Ⅲ)由(Ⅰ)得 | f ' ( x) |?| ?2a sin 2 x ? (a ?1)sin x |? 2a? | a ?1| . 当0 ? a ? 当

1 时, | f ' ( x) |? 1 ? a ? 2 ? 4a ? 2(2 ? 3a) ? 2 A . 5

1 a 1 3 ? a ? 1 时, A ? ? ? ? 1 ,所以 | f ' ( x) |? 1 ? a ? 2 A . 5 8 8a 4
' '

当 a ? 1 时, | f ( x) |? 3a ?1 ? 6a ? 4 ? 2 A ,所以 | f ( x) |? 2 A . 请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果 多做,则按所做的第一题计分。 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 解: (Ⅰ)连结 PB, BC ,则 ?BFD ? ?PBA ? ?BPD, ?PCD ? ?PCB ? ?BCD . 因为 AP ? BP ,所以 ?PBA ? ?PCB ,又 ?BPD ? ?BCD ,所以 ?BFD ? ?PCD . 又 ?PFD ? ?BFD ? 180 , ?PFB ? 2?PCD ,所以 3?PCD ? 180 , 因此 ?PCD ? 60 .
?

?

?

? (Ⅱ)因为 ?PCD ? ?BFD ,所以 ?PCD ? ?EFD ? 180 ,由此知 C , D, F , E 四点共圆,其圆心既在 CE 的垂直

平分线上,又在 DF 的垂直平分线上,故 G 就是过 C , D, F , E 四点的圆的圆心,所以 G 在 CD 的垂直平分线上,因 此 OG ? CD .

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (Ⅰ) C1 的普通方程为

x2 ? y 2 ? 1, C2 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 ? 0 . ……5 分 3

(Ⅱ)由题意,可设点 P 的直角坐标为 ( 3 cos ? ,sin ? ) ,因为 C2 是直线,所以 | PQ | 的最小值, 即为 P 到 C2 的距离 d (? ) 的最小值,

d (? ) ?

| 3 cos ? ? sin ? ? 4 | ? ? 2 | sin(? ? ) ? 2 | . ………………8 分 3 2

当 且 仅 当 ? ? 2 k? ?

?
6

(k? Z )时 , d (? ) 取 得 最 小 值 , 最 小 值 为

2 ,此时 P 的直角坐标为

3 1 ( , ). 2 2

………………10 分

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解: (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ?| 2 x ? 2 | ?2 . 解不等式 | 2 x ? 2 | ?2 ? 6 ,得 ?1 ? x ? 3 . 因此, f ( x) ? 6 的解集为 {x | ?1 ? x ? 3} . ………………5 分

(Ⅱ)当 x ? R 时, f ( x) ? g ( x) ?| 2 x ? a | ?a? |1 ? 2 x |

?| 2 x ? a ? 1 ? 2 x | ?a ?|1 ? a | ?a ,
当x?

1 时等号成立, 2
① ……7 分

所以当 x ? R 时, f ( x) ? g ( x) ? 3 等价于 |1 ? a | ?a ? 3 . 当 a ? 1 时,①等价于 1 ? a ? a ? 3 ,无解. 当 a ? 1 时,①等价于 a ? 1 ? a ? 3 ,解得 a ? 2 . 所以 a 的取值范围是 [2, ??) . ………………10 分


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