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2009年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷及答案


科目:数学
(试题卷)

注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名,准考证号写在答题卡和本试题卷 的封面上,并认真核对答题卡条形码上的姓名,准考证号和科目. 2.选择题和非选择题均须在答题卡上作答,在本试题卷和草稿纸上作 答无效.考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题. 3.本试题卷共 7 页.如缺页,考生须及时报告监考老师,否则后果自 负. 4.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回. 姓 名____________________________

准考证号____________________________

祝你考试顺利!

年湖南省普通高中学业水平考试试卷 2009 年湖南省普通高中学业水平考试 试卷





本试题卷包括选择题,填空题和解答题三部分,共 5 页.时量 120 分钟.满分 100 分. 小题, 在每小题给出的四个选项中, 一,选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 选择题: 要求的. 要求的. 1. 已知集合 A = {1, 0,1, 2} , B = {2,1, 2} ,则 A ∩ B = ( ) . A. {1} C. {1, 2} B. {2} D. {2, 0,1, 2} B. 13 D. 22 A=9 A= A+13 PRINT A END

2. 若运行右图的程序,则输出的结果是( ). A. 4 C. 9

(第 2 题图) 3. 将一枚质地均匀的骰子抛掷一次,出现"正面向上的点数为 6"的概率是( ). A. 4. sin

1 3

B.

1 4

C.

1 5

D.

1 6

π
4 1 2

cos

π
4

的值为( ).

2 D. 2 4 5. 已知直线 l 过点(0,7) ,且与直线 y = 4 x + 2 平行,则直线 l 的方程为( ). A. y = 4 x 7 B. y = 4 x 7 D. y = 4 x + 7 C. y = 4 x + 7 6. 已知向量 a = (1, 2) , b = ( x, 1) ,若 a ⊥ b ,则实数 x 的值为( ).
A. B. C. A. 2 B. 2 C. 1 2 3 1 4 4 ). D. (4,5) ). D. 1 5 7 7. 已知函数 f ( x ) 的图象是连续不断的,且有如下对应值表:

2 2

x
f ( x)
A.(1,2)

1

4

2
B. (2,3)

在下列区间中,函数 f ( x ) 必有零点的区间为(

C.(3,4)

8. 已知直线 l : y = x + 1 和圆 C: x 2 + y 2 = 1 ,则直线 l 和圆 C 的位置关系为(

A.相交

B. 相切

C.相离 ).

D. 不能确定

9. 下列函数中,在区间 (0, +∞ ) 上为增函数的是( A. y = ( )

1 3

x

B. y = log 3 x

C. y =

1 x

D. y = cos x

x + y ≤ 1 10. 已知实数 x,y 满足约束条件 x ≥ 0 ,则 z = y x 的最大值为( y≥0
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2

).

小题, 二,填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 填空题: 11. 已知函数 f ( x) =

x 2 x ( x ≥ 0) ,则 f (2) = x + 1 ( x < 0)
.

.

12. 把二进制数 101(2)化成十进制数为

13. 在△ ABC 中,角 A,B 的对边分别为 a,b , A = 60°, a = 14. 如图是一个几何体的三视图,该几何体的体积为 2 2 .

3, B = 30°, 则 b =

.

3

3

正视图 2

侧视图 C M A (第 15 题图) B

俯视图 (第 14 题图)

15. 如图,在△ ABC 中,M 是 BC 的中点,若 AB + AC = λ AM ,则实数 λ = 小题, 解答应写出文字说明, 三,解答题:本大题共 5 小题,共 40 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 解答题: 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 6 分) 已知函数 f ( x ) = 2 sin( x

.

π
3

) ,x∈ R .

(1)写出函数 f ( x ) 的周期;

(2)将函数 f ( x ) 图象上的所有的点向左平行移动 达式,并判断函数 g ( x ) 的奇偶性.

π
3

个单位,得到函数 g ( x ) 的图象,写出函数 g ( x ) 的表

17. (本小题满分 8 分) 某市为节约用水, 计划在本市试行居民生活用水定额管理, 为了较为合理地 确定居民日常用水量的标准, 通过抽样获得了 100 位居民某年的月均用水量 (单 位: , 吨) 右表是 100 位居民月均用水量的频率分布表, 根据右表解答下列问题: (1)求右表中 a 和 b 的值; (2) 请将频率分布直方图补充完整, 并根据直方图估计该市每位居民月均用 水量的众数. 分组 [0,1) [1,2) [2,3) [3,4) [4,5) [5,6] 合计 频数 10 频率 0.10 0.20 0.30

a
30 20 10 10 100

b
0.10 0.10 1.00

(第 17 题图) 18. (本小题满分 8 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, PA ⊥ 底面 ABCD ,且 PA=AB. (1)求证:BD ⊥ 平面 PAC; (2)求异面直线 BC 与 PD 所成的角. P

A

D

B

(第 18 题图)

C

19. (本小题满分 8 分) 如图,某动物园要建造两间完全相同的矩形熊猫居室,其总面积为 24 平方米,设熊猫居室的一面墙 AD 的长为 x 米 (2 ≤ x ≤ 6) . (1)用 x 表示墙 AB 的长; (2)假设所建熊猫居室的墙壁造价(在墙壁高度一定的前提下)为每米 1000 元,请将墙壁的总造价 y(元) 表示为 x(米)的函数; (3)当 x 为何值时,墙壁的总造价最低? D x F C

A

E (第 19 题图)

B

20. (本小题满分 10 分) 在正项等比数列{an } 中, a1 = 4 , a3 = 64 . (1) 求数列{an } 的通项公式 an ; (2) 记 bn = log 4 an ,求数列{bn } 的前 n 项和 Sn ; (3) 记 y = λ 2 + 4λ m, 对于(2)中的 Sn ,不等式 y ≤ S n 对一切正整数 n 及任意实数 λ 恒成立,求

实数 m 的取值范围.

湖南省普通高中学业水平考试数学测试卷参考答案 湖南省普通高中学业水平考试数学测试卷参考答案
一,选择题(每小题 4 分,共 40 分) 选择题( 题号 答案 1 C 2 D 3 D 4 A 5 C 6 B 7 B 8 A 9 B 10 A

二,填空题(每小题 4 分,共 20 分) 填空题( 11.2; 12. 5; 13.1 ;14. 3π ;15. 2 三,解答题 16.解:(1)周期为 2π ………………………3 分 (2) g ( x ) = 2 sin x ,………………………5 分

∵ g ( x) = 2sin( x) = 2sin x ∴ g ( x) = g ( x)
所以 g(x)为奇函数……………………6 分 17.解:(1) (2)

a =20; ………2 分 b =0.20.………4 分

(第 16 题图) 根据直方图估计该市每位居民月均用水量的众数为 2.5 ………………8 分 (说明:第二问中补充直方图与求众数只要做对一个得 2 分,两个全对的 4 分.) P 18.(1)证明:∵ PA ⊥ 平面ABCD ,

BD 平面ABCD , ∴ PA ⊥ BD ,……………………1 分 又 ABCD 为正方形,∴ BD ⊥ AC ,……………2 分 而 PA, AC 是平面 PAC 内的两条相交直线,

∴ BD ⊥ 平面PAC ……………………4 分 (2)解: ∵ ABCD 为正方形,∴ BC ‖ AD , C B (第 17 题图) ∴∠PDA 为异面直线 BC 与 AD 所成的角,…6 分 由已知可知,△ PDA 为直角三角形,又 PA = AB , ∵ PA = AD , ∴∠PDA = 45° , ∴ 异面直线 BC 与 AD 所成的角为 45.……………………8 分
19.解: (1)∵ AB AD = 24, AD = x (2) y = 3000( x + (3)由 3000( x +

A

D

∴ AB =

24 …………………2 分 x

16 )(2 ≤ x ≤ 6) ………………5 分(没写出定义域不扣分) x

16 16 ) ≥ 3000 × 2 × x = 24000 x x

当且仅当 x =

16 ,即 x = 4 时取等号 x

∴ x = 4 (米)时,墙壁的总造价最低为 24000 元. 答:当 x 为 4 米时,墙壁的总造价最低.……………8 分 a 2 20.解:(1). ∵ q = 3 = 16 ,解得 q = 4 或 q = 4 (舍去) a1

∴ q = 4 ……2 分

∴ an = a1q n 1 = 4 × 4n 1 = 4n ……………3 分 ( q = 4 没有舍去的得 2 分)
(2)∵ bn = log 4 an = n ,………5 分

∴ 数列{bn } 是首项 b1 = 1, 公差 d = 1 的等差数列 ∴ Sn = n(n + 1) 2
………7 分

(3)解法 1:由(2)知, S n =

n2 + n , 2

当 n=1 时, Sn 取得最小值 S min = 1 ………8 分 要使对一切正整数 n 及任意实数 λ 有 y ≤ S n 恒成立, 即 λ + 4λ m ≤ 1
2

即对任意实数 λ , m ≥ λ + 4λ 1 恒成立,
2

∵ λ 2 + 4λ 1 = (λ 2)2 + 3 ≤ 3 ,
所以 m ≥ 3 , 故 m 得取值范围是[3, +∞). ……………10 分 解法 2:由题意得: m ≥ λ + 4λ
2

1 2 1 n n 对一切正整数 n 及任意实数 λ 恒成立, 2 2

即 m ≥ (λ 2)
2

1 1 33 (n + ) 2 + , 2 2 8
2

因为 λ = 2, n = 1 时, (λ 2) 所以 m ≥ 3 ,

1 1 33 (n + )2 + 有最小值 3, 2 2 8

故 m 得取值范围是[3, +∞). ……………10 分


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