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2013届高考数学压轴题练习7


高考数学压轴题练习 7
15. (本小题满分12分) 已知线段 CD ? 2 3 , CD 的中点为 O ,动点 A 满足 AC ? AD ? 2a ( a 为正常数) . (1)建立适当的直角坐标系,求动点 A 所在的曲线方程; (2)若 a ? 2 ,动点 B 满足 BC ? BD ? 4 ,且 OA ? OB ,试求 ?AOB 面积的最大值和最 小值 .
[来源:学.科.网]

解(1)以 O 为圆心, CD 所 在 直线为轴建立平面直角坐标系.若 AC ? AD ? 2a ? 2 3 , 即

0 ? a ? 3 ,动点 A 所在的曲线 不存在;若 AC ? AD ? 2a ? 2 3 ,即 a ? 3 ,动点 A 所在
的曲线方程为 y ? 0(? 3 ? x ? 3) ;若 AC ? AD ? 2a ? 2 3 ,即 a ? 3 ,动点 A 所在的曲 线方程为

x2 y2 ? 2 ? 1 .……4 分 a2 a ? 3

(2)当 a ? 2 时,其曲线方程为 椭圆

x2 x2 ? y 2 ? 1 .由条件知 A, B 两点均在椭圆 ? y 2 ? 1 上, 4 4

且 OA ? OB 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , OA 的斜率为 k (k ? 0) ,则 OA 的方程为 y ? kx , OB 的方程为

? y ? kx 1 ? y ? ? x 解方程组 ? x 2 2 k ? ? y ?1 ?4 4k 2 4 得 x12 ? , y12 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 4k 2 4 2 2 同理可求得 x2 ? 2 , y2 ? 2 k ?4 k ?4 1 1 (1 ? k 2 )2 ?AOB 面积 S ? 1 ? k 2 x1 1 ? 2 x2 = 2 ………………8 分 2 k (1 ? 4k 2 )(k 2 ? 4)
[来源:学.科.网]

令 1 ? k 2 ? t (t ? 1) 则

t2 1 ?2 9 9 4t ? 9t ? 9 ? 2 ? ?4 t t 9 9 1 1 25 25 4 令 g (t ) ? ? 2 ? ? 4 ? ?9( ? )2 ? (t ? 1) 所以 4 ? g (t ) ? ,即 ? S ? 1 5 t t t 2 4 4 4 当 k ? 0 时,可求得 S ? 1 ,故 ? S ? 1 , 5 4 故 S 的最小值为 ,最大值为 1 . ……12 分 5 S ?2
2
[来源:Z_xx_k.Com]


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