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历届(1-18)希望杯数学邀请赛高二试题(含答案)(4) 全国通用


第十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试
2000 年 4 月 23 日 上午 8:30—10:30 一、选择题(每小题 6 分,共 60 分) 1、函数 f ( x ) = log 1 ( 2 x 2 + 2 x x 2 ? 1 + 1 ) x 是(
3

) (D)非奇非偶函数 )

(A)偶函数

(B)奇函数

(C)奇且偶函数

2、△ABC 中,BC = 6,BC 上的高为 4,则 AB ? AC 的最小值是( (A)24 3、If l
1

(B)25 :x+3y–7=0,l
1

(C)24 2

(D)26

: k x – y – 2 = 0 and positive x – axis and positive y – axis make a ) (D)6

quadrilateral , which has a circumcircle , then k =( (A)– 6 (B)– 3

(C)3

(英汉小字典:positive 正的;quadrilateral 四边形;circumcircle 外接圆) 4、直线 y = x + 3 和曲线 – (A)0
x|x| 4

+

y

2

= 1 的交点的个数是( (C)2
f (2) f (1)

) (D)3

9

(B)1

5、若 f ( x + y ) = f ( x ) ? f ( y ),且 f ( 1 ) = 2,则 (A)1999 (B)2000

+

f (4) f (3)

+

f (6) f (5)

+ ? +

f (2000) f (1999)

=(



(C)2001
3

(D)2002

6、定义在 R 上的偶函数 f ( x )在[ 0,+ ∞ )上是增函数,且 f ( 1 ) = 0,则不等式 f ( log 1 x ) > 0 的
8

解是(

) (B)( 2,+ ∞ ) (C)( 0, 1 )∪( 2,+ ∞ )
2

(A)( 1 ,1 )
2

(D)( 1 ,1 )∪( 2,+ ∞ )
2

7、将圆 x 2 + ( y – 1 ) 2 = 1 的中心到直线 y = k x 的距离记为 d = f ( k ),给出以下三个判断: ⑴数列{ n f ( n ) }是递增数列;⑵数列{
1 f ( n ? 1)

1 f (n)
2

}的前 n 项和是

n (2 n ? 3 n ? 7)
2



6

⑶ lim (
n ? ??



1 f (n)

) – 1 = 1 其中,正确的个数是( (C)1

) (D)0

(A)3

(B)2

8、设计一条隧道,要使高 3.5 米,宽 3 米的巨型载重车辆能通过,隧道口的纵断面是抛物线状 的拱,拱宽是拱高的 4 倍,那么拱宽的最小整数值是( (A)14 (B)15
x
y

) (D)17

(C)16
z

9、已知 x、y、z∈R+,且 1 + 2 + 3 = 1,则 x + y + z 的最小值是( ) 。
2
3

(A)5

(B)6

(C)8

(D)9

10、从一个半径是 1 分米的圆形铁片中剪去圆心角为 x 弧度的一个扇形,将余下的部分卷成一个 圆锥(不考虑连接处用料) ,当圆锥的容积达到最大时,x 的值是( (A)
?
2

) (D)
6?2 6 3

(B)

?
3

(C)( 3 – 2 )π

π

二、A 组填空题(每题 6 分,共 60 分) 11、空间中与一个位置确定的三角形的三条边距离都相等的点的轨迹是 12、R is the domain of f ( x ) , and “ f ( tan x ) = sin 2 x ” is true when the real number x∈( – then the maximum of f ( sin 2 x ) is .
?
2

。 ,
?
2

),

13、设 f ( x ) = x 2 + b x + 9,g ( x ) = x 2 + d x + e,若 f ( x ) = 0 的根是 r,s,g ( x ) = 0 的根是– r, – s,则 f ( x ) + g ( x ) = 0 的根是 。 。

14、 已知定点 A ( 1, ), ( 3, ), P 在 x 轴上运动, 3 B 3 点 当∠APB 最大时, P 的横坐标是 点

15、已知 A ( – 1, 3 ),O 是坐标原点,线段 OA 在坐标平面内绕原点顺时针旋转,扫过的面积 是
14 ? 3

,这时 A 点到达的位置 A'的坐标是



A B D E

C G F

16、数列{ a n }满足:a n + 1 = ( – 1 ) n + 1 n – 2 a n,n ≥ 1 并且 a 1 = a 2001, 则 a 1 + a 2 + ? + a 2000 = 。

17、已知△ABC 中,∠C = 90° ,CB = a,CA = b,点 P 在△ABC 三边 上运动,则 PA + PB + PC 的最小值是 。

18、如图,三棱台 ABC–DEF 上、下底面边长的比是 1∶2(上底为 ABC) 是侧棱 CF 的中点, ,G 则棱台被截面 AGE 分成的上、下两部分体积的比是 19、圆 x 2 + y 2 = r 2(r > 0)经过椭圆
x a
2 2



+

y b

2 2

= 1(a > b > 0)的两个焦点 F1,F2,且与该椭圆有

四个不同的交点,设 P 是其中的一个交点,若△PF1F2 的面积为 26,椭圆的长轴为 15,则 a + b + c= 。 。

20、当 α 是锐角时,( sin α + tan α ) ( cos α + cot α ) 的值域是 答案:一、A、A、C、D、B、C、A、B、D、D;

二、11、过三角形的内心且垂直于三角形所在平面的一条直线;12、1;13、±3 i;14、 6 ;15、 ( 1, 3 );16、– 简解:4、 (
2 2

1000 3
15 13

;17、a + b;18、2∶5;19、13 +
24 5
4 2 81

26 2

;20、( 2,
2 6

3 2

+ 2 ]。
2 6

24 13


2

)(0,3)( , ,



39 5

) ;10、V = π r 2 1 ? r 2 =
3
6 3

1

π r ? r ? 2 ? 2r 2 ≤

π

(

r ? r ? 2 ? 2r 3

) 3=

π,有 r = 2 ? 2r 2 ,r =

,r = 1 –

x 2?



三、解答题 21、当– 1 ≤ x ≤ 1 时,记函数 f ( x ) = log 1 ( x 2 –
2

2 3

a x + a 2 + 2 )的极大值为 g ( a ),试求 g ( a )的

最大值。 解:由 x 2 –
1 2 3 3

a x + a 2 + 2 = ( x – a ) 2 + a 2 + 2 可知:
3 9 2 3

1

8

当 a ≤ – 1,即 a ≤ – 3 时,g ( a ) = f ( – 1 ) = log 1 ( a 2 +
2

a + 3 ) ≤ g ( – 3 ) = log 1 10;
2

当– 1 < a < 1,即 – 3 < a < 3 时,g ( a ) = log 1 ( a + 2 ) ≤ g ( 0 ) = log 1 2 = – 1;
3
2

1

8 9

2

2

当 a ≥ 1,即 a ≥ 3 时,g ( a ) = f ( 1 ) = log 1 ( a –
3
2

1

2

2 3

a + 3 ) ≤ g ( 3 ) = log 1 10;
2

综上所述,可知 g ( a )的最大值是– 1。 22、 一个棱长为 l 的立方体平放于桌面上, 将它由上而下地沿水平方向切成 n 等份, 依次记为 a 1, a 2,?,a n,然后:从 a 1 切下一个长为
2 切下一个长为

2l n

,宽为

l n

,厚为

l n

的长方体,它的体积记为 V1;从 a
4l n

3l n

,宽为

2l n

,厚为

l n

的长方体,它的体积记为 V2;从 a 3 切下一个长为

,宽



3l n

,厚为

l n

的长方体,它的体积记为 V3;如此继续下去??
n ?1

求: (1)Vk(1 ≤ k < n)(2) ? V k ; ; (3) lim
k ?1

n??

?V
k ?1

n ?1

k



解: (1)Vk =

k ?k
2

n

3

l 3; (2) ? V k =
k ?1

n ?1

n ?n
3

3n

3

l 3; (3) lim

n??

?V
k ?1

n ?1

k

= l 3。
3

1

23、求所有的正实数 a,使得对任意实数 x 都有 a cos 2 x + a 2 sin 2 x ≤ 2。 解:a cos 2 x + a 2 sin 2 x ≤ 2,a cos 2 x +
a a
cos 2 x

≤ 2,( a cos 2 x – 1 ) 2 ≤ 1 – a(*) ,

若 0 ≤ cos 2 x ≤ 1,则 0 < 1 – a cos 2 x ≤ 1 – a ≤ 1, (*)式恒成立; 若– 1 ≤ cos 2 x < 0,则 0 < a cos 2 x – 1 ≤ ∴ a 3 – 2 a + 1 ≤ 0,∴ a ≤ –
5 ?1 2
1 a

– 1,由(*)式得( ≤ a ≤ 1,∴

1 a

– 1 ) 2 ≤ 1 – a, ≤ a ≤ 1。



5 ?1 2

5 ?1 2

第十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试
2001 年 4 月 23 日 上午 8:30—10:30 一、选择题(每小题 6 分,共 60 分) 1、设有 4 个函数,第一个函数是 y = f ( x ),第二个函数是它的反函数,将第二个函数的图象向 左平移 2 个单位, 再向上平移 1 个单位得到第三个函数的图象, 第四个函数的图象与第三个函数

的图象关于直线 x + y = 0 对称,那么第四个函数是( (A)y = – f ( – x – 1 ) – 2 (C)y = – f ( – x – 1 ) + 2



(B)y = – f ( – x + 1 ) – 2 (D)y = – f ( – x + 1 ) + 2

2、定义在 R 上的非常数函数满足:① f ( 10 + x )为偶函数,② f ( 5 – x ) = f ( 5 + x ),则 f ( x )一 定( ) (B)是偶函数,但不是周期函数 (D)是奇函数,但不是周期函数

(A)是偶函数,也是周期函数 (C)是奇函数,也是周期函数

3、正四面体的侧面三角形的高线中,其“垂足”不在同一侧面上的任意两条所成角的余弦值是 ( )
1 3

(A)

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

3 4

4、 已知等差数列{ a n }中, a 3 | = | a 9 |, | 公差 d < 0, 则使前 n 项和 S n 取最大值的 n 的值是 ( (A)5 (B)6 (C)5 和 6 (D)5 和 6 和 7 所确定的图形的面积等于( (D)45 π )



5、在平面直角坐标系 xOy 中,由不等式组 ? (A)75 π 6、若 0 < x < (A)( 0,
1 16 1 2

? x 2 ? x ?2 ? y 2 ? y ?2 ? ? x ? y ? 100 ?
2 2



(B)60 π

(C)50 π

是不等式 x 2 – log a x < 0 成立的必要而非充分条件,则 a 的取值范围是( (B)( 0,
1 16

)

]

(C)(

1 16

,1 )

(D)[

1 16

,1 ) )

7、已知复数 z,w 满足:| z – 1 – i | – | z | = 2 ,| w + 3 i | = 1,则| z – w |的最小值为( (A)2 8、当 0 < θ < (A) 2 – 1
?
2

(B) 17 时,函数 y = (
1 sin ?

(C) –1)(
1 cos ?

3 2 2

–1

(D)不能确定的 ) (D)3 – 2 2

– 1 )的最大值是( (C)2 3 – 3

(B)2 – 2

9、Consider all integers consisting of n digits , each chosen from the set { 1 , 2 , 3 , 4 } , such that no digit 3 appears to the right of a digit 4 . E. g. , when n is 6 , the integers 123314 and 113424 satisfy , while 114234 doesn’t . Let a
n

be the number of such n – digit integers . Which in the following ) (B)a n + 1 = 4 a n + 3 n – 1 (D)a n + 1 = 4 a n – 1

expressions holds for all n∈N is( (A)a n + 2 = 2 a n + 1 + 6 a n (C)a n + 1 = 3 a n + 3 n

(英汉小字典:integer 整数;consist of 由?组成;digit 数字)

10、若实数 a > 0 满足 a 5 – a 3 + a = 2,则( (A)a < 6 3 (B) 6 2 < a < 6 3

) (C) 6 3 < a < 3 2 每件需人员数 A类 B类 1/2 1/3 件,最高产值为
a cos ?

(D)a > 3 2 每件产值(万元/件) 7.5 6 万元。 。

二、填空题: (每小题 6 分,共 60 分) 11、某公司有 20 名技术人员,计划开发 A、B 两类共 50 件电子器件, 每类每件所需人员和预 计产值如下: 今制定开发计划使总产值最高,则 A 类产品安排 12、已知 tan θ = 3
b a

,a,b∈R+,θ∈( 0,

?
2

),则

+

b sin ?

=

13、关于 θ 的函数 y = cos 2 θ – 2 a cos θ + 4 a – 3,当 θ∈[ 0, 围是 。

?
2

]时恒大于 0,则实数 a 的取值范

14、一个四棱柱的一个对角面面积为 S,与该对角面相对的两侧棱间的距离为 d,两对角面构成 的二面角是 60° ,则四棱柱的体积 V = ____ 。
2
n

15、已知数列{ a n }的通项公式是 a n = 2 n ? 1 ,b n = 的前 n 项和 S n = 。

a n ? a n ?1

(= 1,2,3,? ) ,则数列{ b n }

16、已知 a 是正常数且 a ≠ 1,则方程 a x + a – x + 1 = 3 cos 2 y 的解是 17、复数 z 满足等式 z + z ? | z | 3 = 0,则 z =
1





18、Assume that in the sequence { a n } there are a 1 = , a n = – S n S n – 1 ( n ≥ 2 ) where S n is the sum
3

of the first n terms . Then the formula for general term of { a n } is (英汉小字典:sequence 数列;sum 和;term 项)



19、定圆 C 的圆心的坐标为( 0,1 ),半径为 1,动圆 P 与 x 轴相切且平分圆 C 的周长,则动圆 P 的圆心的轨迹方程是 。 ,最小

20、已知 x 2 ? y 2 + ( x ? 8) 2 ? ( y ? 6) 2 = 20,则| 3 x – 4 y – 100 |的最大值为 值为 。

答案:一、C、A、C、C、C、D、C、D、 、C; 二、11、20,330;12、 ( 3 a 2 ? 3 b 2 ) 3 ;13、( 4 – 2 2 ,+ ∞ );14、
3 4

S d;15、 2 n ? 1 ? 1 – 1;

?x ? 0 1 16、 ? ;17、0,±i;18、a n = – ;19、 ? ? ( n ? 1)( n ? 2) (k ? Z) ? y ? k? ? ? 2

;20、100 + 25 3 ,

100 – 25 3 。 简解:3、AB = 1,AE =
3 2

,EG =

3 4

,AG =

7 4



5、原不等式可化为( x + y ) ( x – y ) ( x y + 1 ) ( x y – 1 ) ≥ 0,及 x ≠ 0,y ≠ 0,且 x 2 + y 2 ≤ 100,在 坐标系内可表示为图中的八个部分: ⑴ x < 0,y < 0,x < y,x y > 1,⑵ x < 0,y < 0,x > y,x y < 1, ⑶ x < 0,y > 0,x + y < 0,x y < – 1,⑷ x < 0,y > 0,x + y > 0,x y > – 1, ⑸ x > 0,y > 0,x > y,x y > 1,⑹ x > 0,y > 0,x < y,x y < 1, ⑺ x > 0,y < 0,x + y < 0,x y > – 1,⑻ x > 0,y < 0,x + y > 0,x y < – 1; ,

y
46

A
3 5

F

C G E

Q
1

O
7 28

x

B

P 第3题图

D

第5题图
y P

y B D ?1 A E O1 C x

B O

A Q D

x

3 x ? 4 y = 100

第7题图

第20题图

7、图中| z – w |可表示为射线 OA 上的点与圆 C 上的点间的距离,则其最小值为圆 C 上的点到射 线 OD:x – y = 0(x < 0)的距离,即 ED = CD – CE =
3 2 2

– 1;20、( x,y ) 满足条件在直角坐

标平面内对应的图形是图中的以 O,A( 8,6 )为焦点的椭圆,且 c = 5,a = 10,则 b = 5 3 ,而| 3 x – 4 y – 100 |可表示为椭圆上的点到直线 3 x – 4 y – 100 = 0 的距离的 5 倍,设椭圆的中心为 B, 则 B( 4,3 ) ,BD = 20,PB = QB = 5 3 ,故最大值为 5 PD = 5 ( 20 + 5 3 ) = 100 + 25 3 ,最

小值为 5 QD = 5 ( 20 – 5 3 ) = 100 – 25 3 ; 三、解答题 21、图中由左向右的六个点:1,2,3,4,5,6 的坐标对应数列{ a n,n∈N }的前 12 项: a1 x1 a2 y1 a3 x2 a4 y2 a5 x3 a6 y3 a7 x4 a8 y4 a9 x5 a 10 y5 a 11 x6 a 12 y6

(1)求 a 2001,a 2000,a 1998; (2)求 a n。 解: (1)a 2001 = 1001, a 2000 = – 500,a 1998 = 500;
?k (2)a n = ? k ? ??k ?
( n ? 2k ? 1 ) ( n ? 4k ? 2 。 ) ( n ? 4k )

y
4 3 2 1 1 2 4 6 5 3

?1 ?2 ?3 ?4

O

x

22、 求三次函数 y = x 3 – 3 x 2 + 2 x + 1 在区间( 0, )上的最大值和取得此最大值时自变量 x 的值。 1 解:由 y' = 3 x 2 – 6 x + 2 = 0,得 x = 1 ±
3 3 3 3

,而 y' | 0 = 2,y' | 1 = – 1,

y

当 x= 1 –

时,此函数取得最大值为

2 3 9

+ 1。

P A B
4

23、已知曲线 C 上任意一点到定点 A( 1,0 )与定直线 x = 4 的距离 之和等于 5。对于给定的点 B( b,0 ),在曲线上恰有三对不同的点 关于点 B 对称,求 b 的取值范围。 解:设动点 M( x,y ),则 ( x ? 1) 2 ? y 2 + | x – 4 | = 5, 得 y 2 = 4 x(0 ≤ x ≤ 4)或 y 2 = – 16 x + 80(4 ≤ x ≤ 5) ,

O

1

x Q

第23题图

? y12 ? 4 x1 ? 2 设 P( x 1,y 1 ),Q( x 2,y 2 )关于点 B 对称,且 0 < x 1 < 4,4 < x 2 < 5,则有 ? y 2 ? ? 16 x 2 ? 80 , ? ? y1 ? y 2 ? 0 ? x ? x ? 2b ? 1 2

可得到 x 2 =

20 ? 2 b 3

,∴ 4 <

20 ? 2 b 3

< 5,∴

5 2

< b < 4。

第十三届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试
2000 年 4 月 21 日 上午 8:30—10:30 一、选择题(每小题 6 分,共 60 分) 1、设 x,y 满足 arccos ( y – 2 ) = arcsin ( x – 1 ),则 3 x + y 的取值范围是( )

(A)[ 5 – 10 ,5 + 10 ]

(B)[ 5 – 10 ,6 ]

(C)[ 6,8 ]

(D)[ 6,5 + 10 ] )

2、方程 x 5 + x + 1 = 0 和 x + 5 x + 1 = 0 的实根分别为 α 和 β,则 α + β 等于( (A)– 1 (B)–
sin 2 x 2 ? sin x
2

1 2

(C)

1 2

(D)1

3、函数 y = log 1
2

的值域是(



(A)( – ∞, log 2 6 ](B)( –
2

1

1 2

log 2 6, log 2 6 ](C)[ –
2

1

1 2

log 2 6,+ ∞ )(D)[

1 2

log 2 6,+ ∞ )

4、四面体 ABCD 的各面都是锐角三角形,且 AB = CD = a,AC = BD = b,AD = BC = c,平面 π 分别截棱 AB、BC、CD、DA 于点 P、Q、R、S,则四边形 PQRS 的周长的最小值是( (A)2 a (B)2 b (C)2 c (D)a + b + c ) )

5、从空间一点引三条不共面的射线,则以每条射线为棱的三个二面角的和的取值范围是( (A)( 180° ,270°) 6、已知椭圆
x a
2 2

(B)( 180° ,360°)
2 2

(C)( 180° ,540°)

(D)( 270° ,540°)

+

y

2a

= 1 上有三点 P i ( x i,y i )(i = 1,2,3 ) ,它们到同一个焦点的距离分别 )

是 d 1,d 2,d 3,则 d 1,d 2,d 3 成等差数列的充要条件是( (A)x 1,x 2,x 3 成等差数列 (C)上述(A)、(B)同时成立

(B)y 1,y 2,y 3 成等差数列 (D)(A)、(B)以外的条件 )

7、若不等式 a + b ≤ m 4 a 2 ? b 2 对所有正实数 a,b 都成立,则 m 的最小值是(
3 3

(A)2

(B)2 2

(C)2 4 ) (B)[
3? 2 5? 2 5 5

(D)4

8、不等式 x – 2 – | x 2 – 4 x + 3 | ≥ 0 的解集是( (A)[
3? 2 5


3?

5? 2 5

5

]
5? 2 5

, ,

5? 2 3? 2

5 5

] ]

(C)( – ∞,

]∪[

,+ ∞ )

(D)[

2

9、 3 个半径为 1 的球和一个半径为 2 – 1 的球叠为两层放在桌面上, 将 上层只放一个较小的球, 四个球两两相切,那么上层小球的最高点到桌面的距离是( (A)
3 2? 3 6

) (D)
2 2? 3 6

(B)

3?2 6 3

(C)

2?2 6 3

10、 Given two sequences { a n }、 b n } with positive terms , let { a n } be arithmetic with the common { difference d , let b n be the length of the line segment cut by the parabola y = a n x 2 + 2 a n + 1 x + a n + 2 ( n∈N* ) from the x – axis . Then lim ( b 1 b 2 + b 2 b 3 + ? + b n – 1 b n ) =(
n? ?



(A)

d a1

(B)

2d a1

(C)

3d a1

(D)

4d a1

(英汉小字典:sequence 数列;common difference 公差;parabola 抛物线;x – axis x 轴) 二、填空题: (每小题 6 分,共 60 分) 11、 已知 f ( x )是区间[ – 2, ]上的增函数, f ( 2 ) = 4, f ( x ) ≤ m 2 – 2 a m + 3 对所有的 x∈[ – 2 且 若 2,2 ]和 a∈[ – 1,1 ]恒成立,则实数 m 的取值范围是 。

12、已知方程 a cos x + b sin x = c 在 0 < x < π 上有两个根 α 和 β,则 sin ( α + β ) =________。 13、设 α 和 β 分别是方程 cos ( sin x ) = x 和 sin ( cos x ) = x 在区间( 0, 关系是________。 14、 已知 α, γ 均为锐角, cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ, cot α ? cot β ? cot γ 的最大值等于_____。 β, 且 则 15、已知定直线 l 上有三点 A,B,C,AB = 2,BC = 5,AC = 7,动圆 O 恒与 l 相切于点 B,则 过 A、C 且都与⊙O 相切的直线 l1、l2 的交点 P 的轨迹是____ 16、复数 z 满足条件 arg
2z ?1 z ?1

?
2

)上的解,则它们的大小



=

?
4

,则| z |的取值范围是________。

17、抛物线系 y 2 = m x + 2 m 2 + 1(m∈R)在 x y 平面上不经过的区域是____________,其面积 等于____________。 18、Given the function f ( x ) = 4 x 2 – 2 ( p – 2 ) x – 2 p 2 – p + 1 and – 1 ≤ x ≤ 1 . If there must exist at least one real number c such that f ( c ) > 0 . Then the range of p is ___________. 19、在四面体 ABCD 中, BAC、CAD、 面 DAB 都是以 A 为顶点的等腰直角三角形, 且腰长为 a。 过 D 作截面 DEF 交面 ABC 于 EF,若 EF∥BC,且将四面体的体积二等分,则面 DEF 与面 BCD 的夹角等于___________。 20、长为 l(l < 1)的线段 AB 的两端在抛物线 y = x 2 上滑动,则线段 AB 的中点 M 到 x 轴的最 短距离等于____________。 答案:一、D、A、D、B、C、B、C、A、D、A; 二、11、( – ∞,– 1 – 2 ]∪[ 1 + 2 ,+ ∞ );12、 15、去掉两个顶点的双曲线;16、[ 19、arctan
5 2 ?6 7

2 ab a ?b
2 2

;13、α > β;14、

2 4


3 2

1 2



10 ? 3 2 4

];17、x 2 + 8 y 2 < 8,2 2 π;18、 3, ) (– ;

;20、

l

2


4d
2

4
2d an

简解: b n = | x 2 – x 1 | = 10、

, n–1 b n= b

=4d(

1 a n ?1



1 an

), = lim 4 d ( S
n? ?

1 a n ?1



1 an

)=

4d a1



a n ?1 a n

三、解答题 21、从半径为 l 的圆铁片中去掉一个半径为 l、圆心角为 x 的扇形,将余下的部分卷成无盖圆锥。 (1)用 x 表示圆锥的体积 V; (2)求 V 的最大值。 解: (1)设卷成的无盖圆锥体的底面半径为 r,高为 h,则有 2 π – x = 2 π r,V = π r 2 h,
3 1

r 2 + h 2 = 1,其中 0 < x < 2 π,0 < r < 1,0 < h < 1,∴ x = 2 π ( 1 – r ),r = 1 –
1 1 1 x 2?

x 2?

,h = 1 ? r 2 ,

∴ V = π r 2 h = π r 2 1? r2 = π ( 1 –
3 3
2

) 2 · 1 ? (1 ?

x 2?

2 ) =

(2? ? x ) 24?
2

2

x (4? ? x ) ,

3

∴ V=

(2? ? x ) 24?
2

(0 。 x (4? ? x ) , < x < 2 π)
1

(2)由(1)知,V = π r 2 1 ? r 2 (0 < r < 1)
3

= π
3

1

r ? r ? (2 ? 2 r )
2 2 2

≤ π
3 2 3

1

1 2

2

?(

r ? r ? 2 ? 2r
2 2

2 3 ) =

1 3

π

1

3
6 3

2 3 2 3 π, ?( ) = 2 3 27

其中:当 r 2 = 2 – 2 r 2,即 r 2 = ∴ V 的最大值为
2 3 27

时,也即 x = 2 π ( 1 –

) 时,V 取得最大值,

π。

22、已知抛物线 y 2 = 4 a x ( a > 0 )的焦点为 F,以点 A(a + 4,0)为圆心,| AF |为半径的圆在 x 轴的上方与抛物线交于 M、N 两点。 (1)求证:点 A 在以 M、N 为焦点,且过 F 的椭圆上。 (2) 设点 P 为 MN 的中点, 是否存在这样的 a, 使得| FP |是| FM |与| FN |的等差中项?如果存在, 求 a 的值;如果不存在,说明理由。 解: (1)∵ 抛物线 y 2 = 4 a x ( a > 0 )的焦点为 F(a,0) ,准线为 l :x = – a, 又点 A 的坐标为(a + 4,0) ,∴ | FA | = 4, ∴ 以 A 为圆心,| FA | 为半径的圆在 x 轴的上方的方程为( x – a – 4 ) 2 + y 2 = 16, > 0,y > 0) (x 。 由?
? y 2 ? 4 ax ? ? ( x ? a ? 4 ) ? y ? 16 , ( x ? 0 , y ? 0 ) ?
2 2

,得 x 2 + ( 2 a – 8 ) x + a 2 + 8 a = 0,

设 M(x 1,y 1) ,N(x 2,y 2) (其中:x i,y i(i = 1,2) ,均为正数) ,则有 x 1 + x 1 = 8 – 2 a,x 1 x 2 = 8a,Δ x = ( 2 a – 8 ) 2 – 4 ( a 2 + 8 a ) = – 64 a + 64 > 0, ∴ 0 < a < 1,又 抛物线上的点到焦点与准线的距离相等, ∴ | FM | + | FN | = | x 1 + a | + | x 2 + a | = ( x 1 + a ) + ( x 2 + a ) = ( x 1 + x 2 ) + 2 a ) = 8,

| MN | < | FM | + | FN | = 8,∵ 点 F、M、N 均在⊙A 上,∴ | AM | = | AN | = | AF | = 4, ∴ | AM | + | AN | = 8,∴ 点 A 在以 M、N 为焦点且过 F 的椭圆上。 (2)假设存在满足条件的 a,则有 2 | FP | = | FM | + | FN | = 8,即| FP | = 4,
x1 ? x 2 ? ? 4?a ? x0 ? 2 设点 P 的坐标为(x 0,y 0) ,则有 ? ? ? y ? y1 ? y 2 ? a ( x ? 1 ? 0 ? 2

,由| FP | = 4,得
x2 )

( 4 – a – a ) 2 + a ( x1 + x 2 ) 2 = 16,化简,得 2 a a 2 ? 8 a = 2 a ( 4 – a ), ∴ a = 0 或 a = 1,与 0 < a < 1 矛盾故不存在满足条件的 a ,即不存在 a 值,使得点 P 为 MN 的 中点,且| FP |是| FM |与| FN |的等差中项。 23、用水清洗一堆水果上残存的农药,假定用 1 个单位的水可清洗掉水果上残存农药量的 50%。 用水越多, 清洗越干净, 但总还有极少量农药残存在水果上。 设用 x 个单位的水清洗一次水果后, 残存的农药量与本次清洗前残存的农药量之比记为函数 f ( x )。 (1)请规定 f ( 0 )的值,并说明其实际意义。 (2)写出 f ( x )满足的条件和具有的性质。 (3)设 f ( x ) =
1 1? x
2

,现有 m ( m > 0 )个单位的水,可以清洗一次,也可以把水等分成 2 份后

清洗两次,说明哪种方案能使水果上残存的农药量较少。 解: (1)设 f ( 0 ) = 1,表示未清洗时水果上残留的农药量。 (2)f ( x )满足:f ( 0 ) = 1,f ( 1 ) =
1 2

,0 < f ( x ) ≤ 1,

f ( x )具有的性质:f ( x )在[ 0,+ ∞ )上单调递减,且 f ( 0 ) = 1, lim f ( x ) = 0。
x? ?

(3)方案 1:用 m 个单位的水,仅清洗一次,∵ f ( x ) =

1 1? x
2

,∴ f ( m ) =
1
2

1 1? m
2 2



∴ 用 m 个单位的水,仅清洗一次,则水果上残存的农药量为 1 · 方案 2:把 m 个单位的水等分成 2 份来清洗,∵ f ( x ) =
1 1? x
2

1? m

=

1 1? m





又 f ( x )表示用 x 个单位的水清洗一次后,残存的农药量与本次清洗前残存的农药量之比,所以 用
m 2 m 2

个单位的水清洗以后,水果上残存的农药量为 1 · ( f

m 2

)=

1 , m 2 1? ( ) 2

再用

个单位的水清洗后,水果上残存的农药量为

m 1 1 ·( )=( f ) 2; m 2 m 2 2 1? ( ) 1? ( ) 2 2

两种方案中残存的农药量之差为

1 1? m
2

–(

m ( m ? 8) 1 ) 2= 。 2 2 2 m 2 (1 ? m )(4 ? m ) 1? ( ) 2
2 2

于是可得下面的结论: 当 m > 2 2 时,把水分成 2 等份清洗,水果上残存的农药量较少; 当 m = 2 2 时,两种方案的清洗效果一样; 当 m < 2 2 时,仅清洗一次,水果上残存的农药量较少。

第十四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试
2003 年 4 月 13 日 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1、方程 sin π x = 0.25 x 的解的个数是( (A)5 (B)6 ) (C)7 (D)8 ) 上午 8:30—10:30

2、当 0 < x < 1 时,记 a = x x,b = ( arcsin x ) x,c = x arcsin x,下列不等式中成立的是( (A)a < b < c (B)a < c < b (C)c < a < b (D)c < b < a

3、If 2 | a | < 4 + b , | b | < 4 , then the set of real roots of the equation x 2 + a x + b = 0 is( (A)( – 2,2 ) (B)( – 1,2 ) (C)( – 3,2 ) )



(D)( – 3,3 )

4、正实数 x,y 使 4 x 2 + y 2 – 4 x y – 4 x + 4 y – 4 ≤ 0 成立,则( (A)2 x – y 的最小值为 1 – 5 (C)x – y 的最小值为 – 1

(B)2 x – y 的最大值为 1 + 5 (D)x – y 的最大值为 1 )

5、已知实数 x,y,z 满足条件:arccos x + arccos y + arccos z = π,那么一定成立的等式是( (A)x 2 + y 2 + z 2 – x y z = 1 (C)x 2 + y 2 + z 2 – 2 x y z = 1 (B)x 2 + y 2 + z 2 + x y z = 1 (D)x 2 + y 2 + z 2 + 2 x y z = 1

6、一平面与正方体表面的交线围成的封闭图形称为正方体的“截面图形” 。棱长为 1 的正方体 ABCD – A1B1C1D1 中,E 为 AB 中点,F 为 CC1 中点,过 D1、E、F 三点的截面图形的周长等于 ( )
1 12 1 12

(A) (C)

( 25 + 2 13 + 9 5 ) ( 25 + 2 13 + 6 5 )

(B) (D)

1 12 1 12

( 15 + 4 13 + 9 5 ) ( 15 + 4 13 + 6 5 ) )

7、数列{ a n }定义为:a 1 = cos θ,a n + a n + 1 = n sin θ + cos θ,n ≥ 1,则 S 2 n + 1 等于( (A)n cos θ + n ( n + 1 ) sin θ (B)( n + 1 ) cos θ + n ( n + 1 ) sin θ

(C)( n + 1 ) cos θ + ( n 2 + n – 1 ) sin θ 8、 已知直线 l: = – y
x 2

(D)n cos θ + ( n 2 + n – 1 ) sin θ
1 2

+ m 与曲线 C: = 1 + y

则 ( | 4 ? x | 仅有三个交点, m 的取值范围是
2



(A)( 2 – 1, 2 + 1 )

(B)( 1, 2 )

(C)( 1,1 + 2 ) )

(D)( 2,1 + 2 )

9、若 2 x + y ≥ 1,u = y 2 – 2 y + x 2 + 6 x,则 u 的最小值等于( (A)–
7 5

(B)–

14 5

(C)

7 5

(D) )

14 5

??? ??? ? ? 10、若 A、B、C 是平面内任意三点,则 AB ? AC =(

(A)

1 2

( | AB | 2 + | AC | 2 – | BC | 2 )

(B)

1 2 1 2

( | AB | 2 + | AC | 2 ) – | BC | 2 ( | AB | 2 + | AC | 2 )

(C)| AB | 2 + | AC | 2 – | BC | 2 二、填空题: (每小题 5 分,共 50 分) 11、锐角 α,β,γ 成等差数列,公差为 γ= 。
?
12

(D)

,它们的正切成等比数列,则 α =

,β =



12、不等式| e x – e – x | < e (e 是自然对数的底)的解集是

。 。

13、CaF2(萤石)是正八面体的晶体,其相邻两侧面所成的二面角的平面角等于 14、三个 12 cm × 12 cm 的正方形的纸都被连接两邻边中点的直线分成两 片,把这 6 片粘在一个正六边形的外面,然后折成一个多面体,则这个多 面体的体积等于____ cm 3。

图1

15、设有棱长等于 a 的正四面体 A1,作它的内切球 R1,再作 R1 的内接正 四面体 A2,接着再作 A2 的内切球 R2 和 R2 的内接正四面体 A3,如此继续下去,??,得到无限 多个正四面体,它们的体积之和等于 。 ,最小值是 。 。

16、函数 y = x 2 ? 3 x ? 2 + 2 ? 3x ? x 2 的最大值是

17、与圆 x 2 + y 2 – 4 x – 8 y + 15 = 0 切于点 A( 3,6 )且过点 B( 5,6 )的圆的方程是 18、 point M move along the ellipse Let
x
2

+

y

2

= 1 , and point F be its right focus , then for fixed point , where the coordinate of M is .

9

8

P ( 6,2 ) , then maximum of 3 | MF | – | MP | is

(英汉小字典:ellipse 椭圆;focus 焦点;maximum 最大值;coordinate 坐标) 19、设 x,y,z 都是正数,且 x + y + z = 1,则使 x 2 + y 2 + z 2 + λ xyz ≤ 1 恒成立的实数 λ 的最大 值是 。

20、某水池装有编号为 1,2,3,?,8 的 8 个进出口水管,有的只进水,有的只出水,已知所

开的水管编号与灌满水池的时间如下表: 水管编号 时间(小时) 1,2 3 2,3 6 3,4 9 4,5 18 小时。 5,6 12 6,7 12 7,8 8 8,1 24

若 8 个水管一齐开,灌满水池需

答案:一、C、C、A、C、D、A、B、D、B、A; 二、11、 15、
?
6
16 2 189



?
4



?
3

;12、( ln

e?4 ? 2

e

,ln

e?4 ? 2

e

);13、arccos ( – );14、864;
3
3 2 2

1

a 3;16、2 2 ,2;17、x 2 + y 2 – 8 x – 16 y + 75 = 0;18、3,( ±

,2 );19、 ;

20、2。 简解:5、cos ( α + β ) = cos ( π – γ ),即 x y – 1 ? x 2
2 1 ? y = – z;

P B H A G B1 A1 第6题图
6、AG =
1 4

C D F

y

y
2x+y=1

E

M

C1 D1

O

1

x

O 第9题图

x

第8题图
1

,BH = ,D1F=
3

5 2

,D1G =

5 4

,FH = ,EG =
6

5

5 4

,EH =

13 6



7、a n = ?

? cos ? ? k sin ? n ? 2 k ? 1 ? k sin ?
n ? 2k

;9、解:( x,y ) 满足条件在直角坐标平面内对应的图形是图

中的阴影部分, u = y 2 – 2 y + x 2 + 6 x, x + 3 ) 2 + ( y – 1 ) 2 = u + 10 此方程表示以点 M( – 3, 又 即( 1 )为圆心,以 u ? 10 为半径的圆 M,所以当 u + 10 最大(或最小)时,u 也同时达到最大(或 最小)由图可以看出, , 当圆 M 与直线 2 x + y = 1 相切时, + 10 最小为( u
| 2 ? ( ? 3) ? 1 ? 1 ? 1 | 2 ?1
2 2

) 2=

36 5



u 最小为–

14 5

;15、V1 =

2 12

a 3,q =

1 64

;16、y 2 = 4 + 2 4 ? ( x 2 ? 3 x ) 2 ;

三、解答题(21、22 题各 15 分,23 题 20 分) 21、已知:x,y,z∈R,且 x = 解:x + y =
a?b a?b
a?b a?b

,y =

c?d c?d

,z =

ac ? bd ad ? bc

,求证:x + y + z = x y z。 ,

+

c?d c?d

=

( a ? b )( c ? d ) ? ( a ? b )( c ? d ) ( a ? b )( c ? d )

=

2( ac ? bd ) ( a ? b )( c ? d )

xy–1=

a?b a?b

×

c?d c?d

–1=

( a ? b )( c ? d ) ? ( a ? b )( c ? d ) ( a ? b )( c ? d ) 2( ad ? bc ) ( a ? b )( c ? d )

=

2( ad ? bc ) ( a ? b )( c ? d )

, = 0,

xyz–(x+y+z)=(xy–1)z–(x+y)= ∴ x + y + z = x y z。

×

ac ? bd ad ? bc



2( ac ? bd ) ( a ? b )( c ? d )

22、给定一个三角形纸片(如图 2) ,你能否用它为原料剪拼成一个正三棱柱(正三棱柱的全面 积等于原三角形面积)?说明你的方法。这里“剪拼”的意思是:依直线裁 剪,边对边拼接。 解: 。

图2
23、设函数 f ( x ) = 3 1 ? x – λ x,其中 λ > 0。 (1)求 λ 的取值范围,使函数 f ( x )在区间 [ 0,+ ∞ )上是单调函数; (2)此种单调性能否扩展到整个定义域( – ∞,+ ∞ )上? (3)求解不等式 2 x – 3 1 ? x < 12。 解: (1)f ' ( x ) =
1 3 (1 ? x )
3 2

– λ,由 f ' ( x ) ≤ 0,得( x + 1 ) 2 ≥

1 27 ?
3

,x ≤ –

1 27 ?
3

–1或x≥

1 27 ?
3



1,由

1 27 ?
3

– 1 ≤ 0,得 λ ≥ ,即当 λ ≥ 时,f ( x )在区间 [ 0,+ ∞ )上是单调递减函数;
3 1 27 ?
3

1

1

3

(2)因为无论 λ 取何值,( – ∞,–

– 1 ]∪[

1 27 ?
3

– 1,+ ∞ ) ? ( – ∞,+ ∞ ),所以此种单调

性不能扩展到整个定义域( – ∞,+ ∞ )上; (3)令 t = 3 1 ? x ,则 x = t 3 – 1,不等式可化为 2 t 3 – t – 14 < 0,即 ( t – 2 ) ( 2 t 2 + 4 t + 7 ) < 0, 而 2 t 2 + 4 t + 7 > 0,∴ t – 2 < 0,即 t < 2,∴
3

1 ? x < 2,x < 7。

第十五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试
2004 年 4 月 18 日 一、选择题
? ? ?? 1、如果向量 u = ( 3,– 6 ), v = ( 4,2 ), w = ( – 10,– 5 ),那么下列结论中错误的是( ? ? (A) u ⊥ v ? ? (B) u ∥ v ? ?? (C) u ⊥ w ? ?? (D) v ∥ w

上午

8:30—10:30



2、设 f ( x ) = x 2 + b x + c ( b,c∈R ),A = { x | x = f ( x ),x∈R },B = { x | x = f ( f ( x ) ),x∈R }, 如果 A 中只含一个元素,那么( (A)A ? B (B)A ? B ) (C)A = B (D)A ∩ B = Φ

3、在一次知识竞赛中,甲、乙、丙三名选手一共做出了 100 道试题,若定义只有一人做出的题

为难题,只有二人做出的题为中档题,三人都做出的题为容易题,则下列结论中错误的是( (A)难题比容易题多 20 道 (C)中档题不多于 80 道 4、设 0 < α,β <
?
2



(B)难题至少有 20 道 (D)容易题多于 40 道
?
2

,则 α + β =

是 sin 2 α + sin 2 β = sin 2 ( α + β )成立的(



(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 5、函数 y = x 2 ? 2 x ? 2 – x 2 ? 3 x ? 3 达到最大值时,x 的值是( (A)5 + 9 3 (B)9 + 5 3 (C)5 2 + 3 ) ) (D) 2 + 5 3

6、当 x∈[ 0,π ]时,下列不等式中一定成立的是( (A)sin ( cos x ) < cos ( sin x ) (C)sin ( cos x ) > cos ( sin x ) 7、数列{ a n }中,a 1 = 2,a =
3 ? an 2

(B)cos ( cos x ) < sin ( sin x ) (D)cos ( cos x ) > cos ( sin x ) 且 b n= | a ) (C)0.5 < S n < 0.8 (D)0.5 < S n < 0.9 ) – a n |(n∈N*) ,设 S n 是{ b n }的前 n

n+1

n+1

项和,则下列不等式中一定成立的是( (A)0.3 < S n < 0.4

(B)0.4 < S n < 0.5

8、曲线 4 ? x 2 ? y 2 ? 2 x ? y ? 5 = 0 所围成的区域中包含的最大圆的面积是( (A)
?
4

(B)

5? 4

(C)

7? 4

(D)

9? 4

9、正方体 ABCD – A1B1C1D1 中,E,F 分别是 AB、CC1 的中点,直线 EF 与 AC1 所成角的余弦 值是( (A)
2 3

) (B)
2 2 3
2

(C)

3 4
2

(D)

3 6

10、 the tangent of the parabola y = x at point A ( m, ) is also tangent to the circle x 2 + y 2 – 2 x = If m 0 , then there must be( (A)– 3 < m < – 2 ) (B)– 2 < m < – 1 (C)– 1 < m < 0 (D)– 1 < m < 5

(英汉词典:tangent 切线;parabola 抛物线) 二、填空题 11、方程
tan x ? 1 tan x ? 1

= 3 tan 2 x 的解集是

。 。 。

12、若双曲线 x 2 – y 2 = 1 的右支上有一点 P( a,b )到直线 y = x 的距离为 2 ,则 a + b = 13、当 a > b > 0 时,使不等式
a b



b a

> k ( a – b )恒成立的常数 k 的最大值是

14、 平面直角坐标系内的格点 (横、 纵坐标都是整数的点) 到直线 6 x + 8 y = 15 的最近距离是 15、当 arctan ≤ x ≤ arctan 时,csc x – cot x 的取值范围是
6 3 1 1



。 。

16、 与直线 x – 3 y = 0 和 3 x – y = 0 相切, 且过点 A( 11, 7 )的圆的方程是 –

17、If the function y = log 1 [ a x 2 – 3 x + ( a – 1 ) ] is monotonically decreasing in the interval ( 1,+
2

∞ ) , then the range of the parameter a is



(英汉词典:monotonically 单调地;interval 区间;parameter 参数) 18、设正三棱锥底面的边长为 a,侧面组成直二面角,则该棱锥的体积等于 19、数列{ a n }中,a 1 = 1,a n + 1 =
3an ? 1 an ? 3

。 。

(其中 n∈N*) 2004 = ,a

20、记关于 x 的函数 y = cos 2 x + 3 a sin x 的最大值为 g ( a ),则 g ( a )的解析式是 答案:一、B、C、D、C、B、A、B、D、B、C; 二、11、{ x | x = k π – arctan ( 4 ± 15 ),k∈Z };12、± ;13、3;14、
2 1 1



;15、[ 37 – 6, 10 –
2 24

10

3 ];16、( x – 5 ) 2 + ( y + 5 ) 2 = 40 或( x – 85 ) 2 + ( y + 85 ) 2 = 11560;17、( 2,+ ∞ );18、
? ?a ? ? ? 3a ? 1 ? ? 19、2 + 3 ;20、g ( a ) = ? 9 a 2 ? 1 , ? ? 4 ? ? ?8 ? 3 ?3a ? 1 ? ? ?a ? ? ? 4 3 4。 3

a;

y M
?1 O

?a? 4 3

N P 第5题图

x

简解:3、设三档题为 x、y、z 道,则 x + y + z = 100,x + 2 y + 3 z = 180,x – z = 20,y + 2 z = 80; 5、 函数可化为 y = ( x ? 1) 2 ? 1 – ( x ? ) 2 ?
2
3 2
3 2

3

3 4

, 即可表示为 x 轴上的点 P( x、 )到点 M( – 1, )、 0 1

N( ,

)的距离之差,故当 P、M、N 共线时,差最大为| MN | = 9 + 5 3 ,即为所求最大值;

10、切线方程为 y = 2 x,又与圆相切,故可得方程 f ( m ) = m 4 – 3 m 3 – 1 = 0,而 f ( – 1 ) = 3 > 0, f ( 0 ) = – 1 < 0,所以 – 1 < m < 0; 13、k <
a b

+

b a

> 3;15、 ≤ tan x ≤ ,csc x – cot x = tan ;19、a n = tan [
6 3 2

1

1

x

?
4



?
6

( n – 1 ) ];

三、解答题(每题 10 分,共 30 分)要求:写出推算过程。 21、已知函数 y = f ( x )有反函数 y = f – 1 ( x )。 (1)把 y = f ( x )的图象绕原点顺时针旋转 90° ,求所得曲线的方程(用反函数表示) ;

(2)把曲线 y = ln

x ?1 x ?1

绕原点顺时针旋转 90° ,求所得曲线的方程。

解: (1)设旋转后曲线上任意一点 P( x,y ),则在 y = f ( x )上与之对应的点 Q( – y,x ), 故有 x = f ( – y ),∴ – y = f – 1 ( x ),∴ y = – f – 1 ( x ); (2)y = f – 1 ( x ) =
e ?1
x

e ?1
x

,∴所得曲线的方程为 y = – f – 1 ( x ) =

1? e 1? e

x x



22、 下图是由无限个阻值均为 1Ω 的电 阻按一定规律组成的网络,若从图中 A1B1 处沿虚线将网络截断,A、B 间 电阻为 R1(Ω) ,若从 A2B2 处沿虚线 将网络截断,A、B 间电阻为 R2(Ω) , 依次类推,若从 AnBn 处沿虚线将网络截断,A、B 间电阻为 Rn(Ω) 。 (1)求数列{ R n }的通项; (2)当网络趋于无穷时,求 A、B 间的电阻 R(Ω) 。 23、 (1)求椭圆 (2)求椭圆
x
2

A

A1 r r B1 r r

A2 r r B2 r r

An r Bn r r

B

x

2

+
y
2

y

2

= 1 所围成的图形的面积;

9

4

+

= 1 与直线 x = – 1 及 x = 2 所围成的图形的面积。

9

4

(提示:用伸缩变换可将椭圆转化为圆)

第十六届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试
2005 年 4 月 17 日 一、选择题 1、arccot ( – 3 ) – arcsin ( – (A)0 (B)
?
2
3 2

上午

8:30—10:30

) 的值等于( (C)π

) (D)
7? 6

2、已知关于 x 的不等式 的值等于( (A)3 3、函数 y =
e?e
x

6 x ?1

+ a x + b > 0 ( a,b ∈R)的解集为 ( – 2,– 1 )∪( 1,+ ∞ ),则 a + b

) (B)4 的值域是(
x

(C)5 )

(D)6

1? e

(A)( e,+ ∞ )

(B)[ 2 e ? 1 ,+ ∞ )

(C)[ e,+ ∞ ) )

(D)( 2 e ? 1 ,+ ∞ )

4、已知 m,n 为正数,且 m n 1 + lg m,则 m n 的取值范围是(

(A)( – 2,2 )

(B)( 10 – 2,100 )

(C)( 0,10 – 4 ]∪[ 1,+ ∞ )

(D)( 0,10 – 4 ) )
1 2

5、函数 y = sin a x + cos a x 的最小正周期为 4,则它的对称轴可能是直线( (A)x = –
?
2

(B)x = 0

(C)x =

?
2

(D)x =

6、Given the circle C : x 2 + y 2 = 2 and point P ( 3 , 4 ) , let lines PA and PB be tangent to C at points A and B respectively . Then the equation of line AB is( )

(A)3 x – 4 y – 2 = 0 (B)3 x + 4 y – 2 = 0 (C)4 x – 3 y + 2 = 0 (D)4 x + 3 y + 2 = 0 (英汉词典:be tangent to 与??相切;respectively 分别) 7、设 a,b,c∈R+,若( a + b + c ) ( (A)1 (B)2
1 a

+

1 b?c

) ≥ k 恒成立,则 k 的最大值是( (D)4



(C)3

? x ? 2 y ? 10 ? 8、已知 x,y 满足条件 ? 2 x ? y ? 12 ,则 2 x + 3 y 的最小值是( ? ?x ? 3 ?y ? 2 ?



(A)18

(B)24

(C)

33 2

(D)

52 3

9、椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,椭圆上的一点 P 和两个焦点 F1、F2 连线的夹角∠F1PF2 = 120? ,且点 P 到两准线的距离分别为 2 和 6,则椭圆的方程为( (A)
x
2

) =1 (D)
x
2

+

16 y 39

2

=1

(B)

x

2

+

y

2

=1

(C)

x

2

+

13 y 39

2

+

y

2

=1

13

13

3

8

8

6

10、给定( 0,1 )范围内的任意四个不同的实数 m 1,m 2,m 3,m 4,若 a,b∈{ m 1,m 2,m 3, m 4 }且满足条件 (A)6 二、填空题 11、函数 y = x ? 2 + 5 ? x 的最大值是 ,最小值是
a1 1? q

3 2

< a b + 1 ? a 2 ? 1 ? b 2 < 1,则这样的有序数对( a,b )的个数至少是( (B)4 (C)2 (D)0



。 =
1 2

12、 已知{ a n }为无穷递缩等比数列, a 1 + a 2 + a 3 + ? = 且 则 an = 。

,1 – a3 + a5 – a7 + ? = a

1 4



13、实数 x,y 满足 2 x 2 + 4 x y + 2 y 2 + x 2 y 2 ≤ 20,则 2 2 ( x + y ) + x y 的取值范围是



14、Let triangle ABC be regular , and each side be 1 , let point P be its center of gravity and M 1 , M 2 , M 3 be arbitrary points on each side respectively . Then the minimum of PM1 + M1M2 + M2M3 + M3P ( sum of the length of line segments ) is .

(英汉词典:regular 规则的,正的;center of gravity 重心;arbitrary points 任意点) 15、点 P、Q 在椭圆 值范围是 16、已知双曲线 。
x a
2 2

x

2

+

y

2

= 1 上运动,定点 C 的坐标为 ( 0,3 ),且 C P + λ CQ = 0,则 λ 的取

??? ?

????

9

4



y b

2 2

= 1 的一条渐近线与它的右准线交于点 A,F 为双曲线的右焦点,且直线
3

FA 的倾斜角为 arccos ( – ),则此双曲线的离心率为___________。
5

???? ??? ? 17、平面内的向量 OA = ( 1,1 ), OB = ( – 1,– 1 ),点 P 是抛物线 y = x 2 + 2 x – 3(– 3 ≤ x ≤ 1)

上任意一点,则 AP ? BP 的取值范围是________。 18、一个路灯的顶部灯罩是半径为 R 的半球状,半球底面朝下并与地面平行,当阳光以 θ 角(光 线与地面所成角)照射在该灯时,灯罩在地面上的影子的面积等于_____________。 19、 Solution set of the inequality log 3 ( x + 5 ) < 1 +
1 2

??? ??? ? ?

log 3 ( 25 – x 2 ) with respect to x is



20、过四面体的一条底边的平面把正四面体的体积自上而下分成 m,n 两部分,则此平面与正四 面体的底面夹角的余切值等于_________。 答案:一、D、C、A、C、D、B、D、A、A、C; 二、11、 6 , 3 ;12、
2 2

( 2 – 1 ) n;13、[ – 10,10 ];14、 ;19、( – 5,4 );20、
m ? 3n 4 2m

21 3

;15、[ – 5,– ];16、 ;
5 4

1

5

17、[ – 5, 17 – 2 ];18、


1 b ?1

简解:4、lg m lg n + lg m n = 0,令 a = lg m,b = lg n,则 a b + a + b = 0,a = +b=(b+1)+
1 b ?1

– 1,lg m n = a

– 2∈( – ∞,– 4 ]∪[ 0,+ ∞ );

8、不等式组表示的可行域是由直线 x + 2 y = 10、2 x + y = 12、x = 3、y = 2 围成的不封闭区域(包 括边界线)如图所示,令 b = 2 x + 3 y,该方程表示斜率为– 当
b 3 2 3

,纵截距为

b 3

的平行直线系,显然

达最小值时,有 b 达最小值,易知,该平行直线系中经过可行域的所有直线里,纵截距最小
14 3

的是经过可行域的边界点 (

, )(边界线 x + 2 y = 10 与 2 x + y = 12 的交点)的那条直线,故
3
52 3

8

b min = 2 ×

14 3

+3× =
3

8

52 3

,即 2 x + 3 y 的最小值是

;9、

a

2

= 4,c =

13 e



c

10、令 a = cos α,b = cos β,0°< α,β < 90° ,则

3 2

< cos ( α – β ) < 1,0°< | α – β | < 30° ,而在

(0° ,90° )上任选四个角,其中必有两角之差小于 30° ; 13、令 a = 2 ( x + y ),b = x y,则有 a 2 + b 2 ≤ 20,故– 10 ≤ 2 a + b ≤ 10;

y x=3
M1

A P1 M2 P3 P
x + 2 y = 10

A E D F G H 第20题图

y=2

O
2 x + y = 12

x 第8题图
??? ??? ? ?

B

M3

C

P2 第14题图

B

C

17、设 P( x,y ),则 AP ? BP = x 2 + y 2 – 2,考虑几何意义; 20、 设棱长为 1, CF = 则
3 3 3 2

, CG = ?
m m?n

3 3

, = AG
FH EH

6 3

, = EH
m ? 3n 4 2m

m m?n

AG =

6 3

?

m m?n

, = CH

m m?n

CG

=

?

m m?n

,FH =

3 2



3 3

,cot θ =

=



三、解答题 21、求函数 y = x 2 +
3 x

的单调区间。
3 x
2

解:若 x < 0,函数单调递减;若 x > 0,由 y ' = 2 x –

= 0,得 x = 3

3 2



∴ 当0<x<3

3 2

时,y ' < 0,函数单调递减,当 x > 3

3 2

时,y ' > 0,函数单调递增,

∴ 函数的单调区间分别是( – ∞,0 ),( 0, 3

3 2

],[ 3

3 2

,+ ∞ )。

22、数列{ a n }中,a 1 = 1,a n – a n + 1 = a n + 1 + 3 a n a n + 1。 (1)求数列{ a n }的通项公式; (2) 已知 y = f ( x ) 是偶函数, 且对于任何 x 都有 f ( 1 + x ) = f ( 1 – x ), x∈[ – 2, 1 )时, ( x ) 当 – f = log 2 | x + 1 |。求使 f ( x ) + a n < 0(n∈N*)恒成立的 x 的取值范围。 23、 已知双曲线 C1 的焦点在坐标轴上, 其渐近线与圆 5 x 2 + 5 y 2 – 10 x + 4 = 0 相切, 过点 P( – 4, 0 )且倾斜角为 arcsin
17 17

的直线交双曲线 C1 于 A、B 两点(点 P 位于 A、B 两点之间) ,交 y 轴

于点 Q,若| PA | ? | PB | = | PQ | 2。 (1)求双曲线 C1 的方程; (2)以原点为中心、双曲线 C1 的顶点为顶点的椭圆 C2 中,平行于双曲线一条渐近线的弦的中 点的轨迹恰是另一条渐近线截在椭圆内的部分,求双曲线 C1 和椭圆 C2 的离心率。

y Q A P C1 第23题图1 B

y
x? 2y+2 m =0

N
m

H
x

x M C2 第23题图2
1

解: (1)设双曲线的渐近线方程为 y = ±k x(k > 0) ,圆方程可化为( x – 1 ) 2 + y 2 = ,从而圆心
5

( 1,0 )到渐近线的距离为
17 17

5 5

,即

|k | k ?1
2

=

5 5

,∴k =

1 2

,故双曲线方程可设为 C1:

x

2



y

2

=

4n

n

1 ①,由 θ = arcsin

,得 k = tan θ =

1 4

,∴过点 P( – 4,0 )的直线方程为 x – 4 y + 4 = 0 ②,

∴Q ( 0,1 ),| PQ | = 17 ;设 A( x 1,y 1 ),B( x 2,y 2 ),∵点 P 位于 A、B 两点之间,y 1 y 2 < 0,
2 2 则| PA | = ( x1 ? 4) 2 ? y12 = 17 y12 ,| PB | = ( x 2 ? 4) 2 ? y 2 = 17 y 2 ,∵| PA | ? | PB | = | PQ | 2,∴y

1

y 2 = – 1,联立①,②消去 x 整理得 3 y 2 – 8 y + 4 – n = 0,∴
x
2

4?n 3

= – 1,∴n = 7,∴双曲线方

程为 C1:



y

2

= 1;
5 2

28

7

(2)在双曲线中 a = 2 7 ,c = 35 ,∴e 1 =

,设椭圆方程为 C2:

x

2

+

y b

2 2

= 1 ③,平行线

28

为 x – 2 y + 2 m = 0 ④,联立③,④消去 x 整理得( b 2 + 7 ) y 2 – 2 m b 2 y + ( m 2 – 7 ) b 2 = 0,设 M( x 1,y 1 ),N( x 2,y 2 ),∴ y 1 + y 2 = P(
2 mb
2 2

2 mb
2

2

b ?7

,x 1 + x 2 =
2 mb
2 2

4 mb
2

2

b ?7
2

– 4 m,由题意知 MN 的中点
2

b ?7
2

– 2 m,
3

mb
2

2

b ?7

)在直线 x + 2 y = 0 上,即

b ?7

–2m+

2 mb

b ?7

= 0,∴b 2 = 7,∴c = 21 ,

∴e 2 =



第十七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试
2006 年 4 月 16 日 一、选择题(每小题 4 分,共 40 分) 1、命题 p:偶函数一定没有反函数;命题 q:函数 y = x + 则下列四个判断中正确的是( (A)p 真 q 真 ) (C)p 假 q 真 (D)p 假 q 假 )
1 x

上午

8:30—10:30

的单调递减区间是[ – 1,0 )∪( 0,1 ]。

(B)p 真 q 假

2、若不等式| x – m | < 1 成立的充分不必要条件是 2 < x < 3,则实数 m 的取值范围是(

(A)( 2,3 )

(B)[ 2,3 ]

(C)( – ∞,2 )

(D) [ 3,+ ∞ )

3、设直角三角形两直角边的长分别为 a 和 b,斜边长为 c,斜边上的高为 h,则 a + b 和 c + h 的 大小关系是( ) (B)a + b > c + h (C)a + b = c + h ) ,– π )∪( 0,
?
6

(A)a + b < c + h

(D)不能确定

4、函数 y = 5 ? 4 x ? x 2 + lg ( cos 2 x + sin x – 1 )的定义域是( (A)( 0,
1 2

) (B)( –
?
2

1 1? 6

,–

7? 6

)∪( 0,

?
6

) (C)( –

7? 6

) (D)( 0, )

?
6

)

5、若 x ∈( –



?
2

),则不等式| sec 2 x – 3 tan x – 5 | < tan x + 1 的解集是( (B)( arctan 3,arctan 5 ) (D)( –
?
2
2

(A)( 0,arctan 3 ) (C)( arctan 5, 6、过双曲线
x
2 2

?
2

)

,arctan 3 )∪( arctan 5,

?
2

)



y

b a ? ???? ??? N 两点,则 PM ? PN 的值为(

2

= 1(a > 0,b > 0)上任意一点 P,引与实轴平行的直线,交两渐近线于 M、 )

H
(A)a 2 (B)b 2 (C)2 a b (D)a 2 + b 2

G F Q

E P D

7、定义平面上的区域 D 如下:若 P 为 D 内的任意一点,则过 P 点必定 可以引抛物线 y = m x 2 ( m < 0 )的两条不同的切线,那么( (A)D = { ( x,y ) | y > m x } (C)D = { ( x,y ) | y < m x 2 } 8、已知 4
x


2

C B

2

(B)D = { ( x,y ) | y > 2 m x } (D)D = { ( x,y ) | y < 2 m x 2 }

A

fig.1

,4

x? y

,4

3x?2

成等比数列,则点( x,y )在平面直角坐标系中的轨迹为(



(A)圆的一部分 (B)椭圆的一部分 (C)双曲线的一部分 (D)抛物线的一部分 9、In Fig.1 , let P and Q be two moving points on the edges DH and BF of a cube such that HP = BQ . then the range of the angle formed by plane PQC and base ABCD is( (A)[ arccos
2 3 3

) ,
?
4

,arccos

3 3

] (B)[

?
6



?
4

](C)[ arccos

6 3

](D)[arccos

2 6 3



?
4

]

(英汉词典:edge 棱,边;cube 立方体;range 范围,值域;base 底面) 10、平面内有 4 个圆和 1 条抛物线,它们可将平面分成的区域的个数最多是( (A)29 (B)30 (C)31 (D)32 )

二、填空题(每小题 4 分,共 40 分;含两个空的小题,每空各 2 分) 11、函数 y = log 1 cos ( 2 x –
2

?
3

)的单调递减区间是



? ex ? e? x ? ( x ? 0) 2 12、已知函数 f ( x ) = ? ,则它的反函数 f – 1 ( x ) = ? (0 ? x ? 2) ? ? x ?1 ? 2 ?



13、 general terms of three integer sequences { a n } , { b n } , { c n } be a n = 3 n + 2 , b n = 2 n + 1 , c Let
n=

5 n – 1 , n = 1 , 2 , 3 , … , respectively . Let { d n } be the sequence formed by the common terms of

{ a n } , { b n } , { c n } in their original order . Then the general term of d n is________ , the sum of itsfirst n terms is__________. (英汉词典:general term 通项;respectively 分别地;common term 公共项;original order 原来的 顺序) 14、记 F ( x,y ) = ( x – y ) 2 + ( +
2 x

2 y

) 2(y ≠ 0) ,则 F ( x,y )的最小值是 。
???? ?



15、函数 y = arcsin ( 2 x 2 ? 1 – | x | )的定义域是
??? ?
????
???? ?

A P B M D 图2 Q C

16、如图 2,在△ABC 中,已知 BD = 2 DC , A M = 3 M D ,过 M 作直线 交 AB、AC 于 P、Q 两点,则
4 2

AB AP

+

2AC AQ
2

=

。 (x ≥ 2)的最小值是 0,则实

17、若函数 f ( x ) = 数 k 的值是

x ? ( k ? 4 k ? 10) x ? 4 x ? 2x ? 4
4 2

。 。 。 。

18、方程( arccos x ) 2 + ( 2 – t ) arccos x + 4 = 0 有实数解,则 t 的取值范围是 19、抛物线 y = x 2 上的长度等于 1 的弦的中点的轨迹方程是

20、一个球与正四面体的各个棱都相切,且球的表面积为 8 π,则正四面体的棱长为 答案:一、B、B、A、B、B、A、A、C、C、B; 二、11、[ k π –
?
12

,k π +

?
6

](k∈Z) ;12、f – 1 ( x ) = ?
16 5 5

? ln( x ? ? ?2 ? 2 x ?
5
2

x ? 1)
2

( x ? 1) (0 ? x ? 1)

;13、d n = 30 n

– 1,S n = 15 n 2 – 14 n;14、 ∞ );19、 ;20、4 2 。

;15、[ – ,– 1 ]∪[ 1, ];16、4;17、– 5 或 1;18、[ 6,+
3 3

简解:18、原方程可化为 t = a +

1 a

+ 2,0 < a ≤ π;

20、作出辅助正方体,题目中的球即为正方体的内接球; 三、解答题(第 21 题 10 分,22、23 题各 15 分,共 40 分) 21、解关于 x 的不等式:| log a x | + | log a x – 1 | > a(a > 0 且 a ≠ 1) 。
2

22、已知双曲线 C 的中心在坐标原点 O,两条准线的距离为 10 x – 4 y + 21 = 0 的焦点重合。 (1)求双曲线 C 的方程;

32 5

,其中一个焦点恰与抛物线 x 2 +

(2)若 P 为 C 上任意一点,A 为双曲线的右顶点,通过 P、O 的直线与从 A 所引平行于渐近线 的直线分别交于 Q、R。试证明:| OP |是| OQ |与| OR |的等比中项。 解: (1)由 x 2 + 10 x – 4 y + 21 = 0,得 ( x + 5 ) 2 = 4 ( y + 1 ),焦点为 ( – 5,0 ),∴ c = 5, 又
2a c
2

=

32 5

,∴ a 2 = 16,a = 4,b = 3,∴ 双曲线 C 的方程为:

x

2



y

2

= 1;

16

9

(2)∵ A ( 4,0 ),∴ 从 A 所引平行于渐近线的直线分别 为 y = ± ( x – 4 ),设 P ( x 0,y 0 ),则 9 x 0 – 16 y 0 = 144,OP:y =
4 3
2 2

y0 x0

x,

得 Q(

12 3 x0 ? 4 y 0

x 0,

12 3 x0 ? 4 y 0

y 0 ),R(

12 ? 3 x0 ? 4 y 0

x 0,

12 ? 3 x0 ? 4 y 0

y 0 ),则| OQ | ? | OR |

=

144 (3 x 0 ? 4 y 0 )
2

( x0 ? y 0 ) ?
2 2

144 ( ? 3 x0 ? 4 y 0 )
2

2 2 ( x0 ? y 0 ) =

144 9 x ? 16 y
2 0 2 0

( x 0 + y 0 ) = x 0 + y 0 = | OP | 2,
2 2 2 2

∴ | OP |是| OQ |与| OR |的等比中项。 23、已知函数 y = f ( x ) = 1 ? 1 ? x 2 – 1 ? x 。 (1)求的定义域和值域,并证明是单调递减函数; (2)解不等式 1 ? 1 ? x 2 – 1 ? x > (3)求 y 的反函数 f – 1 ( x )。 解: (1)由 1 – x 2 ≥ 0,得– 1 ≤ x ≤ 1,即定义域为[ – 1,1 ],令 x = cos θ(0 ≤ θ ≤ π) ,则 y = 1 ? sin ? – 1 ? cos ? = sin (–
?
8
1 2



?
2

+ cos

?
2

– 2 cos
?

?
2

= sin
?
8

?
2

– ( 2 – 1 ) cos

?
2

= 4 ? 2 2 sin (

?
2



?
8

),



?
2



?
8



3? 8

) 显然 y = 4 ? 2 2 sin ( ,



2

)在[ 0,π ]上是增函数, 所以当 θ = 0 时,y min =

1 – 2 ,当 θ = π 时,y max = 1,即值域为[ 1 – 2 ,1 ],又 x = cos θ 在[ 0,π ]上是减函数,所以 y = f ( x ) 在[ – 1,1 ]上也是减函数; (2)由 4 ? 2 2 sin (
6? 8 2

?
2



?
8

) >

1 2

,得 sin
?
4

2

(

?
2



?
8

) >
2

2? 16

2

,cos ( θ –

?
4

) <

6? 8

2



?
4

+

arccos

< θ ≤ π,– 1 ≤ cos θ < cos (

+ arccos

6? 8

)=

3 2 ? 1 ? 13 ? 6 2 8

,所以不等式的

解集为[ – 1,

3 2 ? 1 ? 13 ? 6 2 8

);
?
4

(3)由 y = 4 ? 2 2 sin (

?
2



?
8

),可得 θ =

+ 2 arcsin

y 4?2 2

,所以 x = cos θ = cos (

?
4

+2

arcsin

y 4?2 2

),所以 y 的反函数 f

– 1

( x ) = cos (

?
4

+ 2 arcsin

x 4?2 2

),x∈[ – 1,

3 2 ? 1 ? 13 ? 6 2 8

)。

第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试
2007 年 4 月 15 日 上午 8:30—10:30 一、选择题(每小题 4 分,共 40 分) 1、设集合 M = { x | (A)( – ∞,1 )
10

x?a x ?1

< 0 },P = { x | (B)( 0,1 )

a ?1 ( x ? 1)
2

> 0 },若 M ? P,则实数 a 的取值范围是( (D)[ 1,+ ∞ )



(C)( 1,+ ∞ ) )

2、函数 f ( x ) = ? | x – ( 2 n – 1 ) |的最小值是(
n ?1

(A)40 3、与函数 y =
x
2

(B)50
3x ? 1

(C)60 )

(D)80

的值域没有交集的集合是( (B)( – ,0 )
9 8

(A)( – 2,0 ) 4、不等式 log 2 x (A)(
1 2

(C)( – ,1 )
9

8

(D)( –

2 3



2 3

)

1? x

2

1? x

< 0 的解集是(

) (C)(
1 2

,+ ∞ )

(B)( 1,+ ∞ )

,1 )

(D)( 0,

1 2

)

5、Let y = f ( x ) be a function defined on R , and y = f ( x – 1 ) be an odd function and y = f ( x + 3 ) be an even function . Then f ( x ) is( (A)not a periodic function ) (B)a periodic function with the least period 4

(C)a periodic function with the least period 8 (D)a periodic function with the least period 16 (英汉词典:odd function 奇函数;even function 偶函数;periodic function 周期函数) 6、当 x∈R 时,函数 y = x 2 ? 2 x ? 10 – x 2 ? x ? 10 ( (A)没有最大值和最小值 (C)没有最大值,有最小值 )

(B)有最大值,没有最小值 (D)有最大值和最小值

7、正四面体的棱长为 a,则它的外接球的表面积等于( (A)
2 3


2 3 3

πa2

(B)

2 2 3

πa2
1 2n

(C)

πa2

(D)

3 2

πa2

8、数列{ a n }的通项是 a n = ( – 1 ) n ( λ + ( ) (B)[ – 3,
5 2

) + 3,若此数列的各项都是正数,则 λ 的取值范围是

(A)[ – 3,2 ]

)

(C)[ – 4,2 )

(D)[ – 2,3 ) )

9、已知△ABC 的三个内角 A、B、C 满足条件 cos 3 A + cos 3 B + cos 3 C = 1,则△ABC( (A)是锐角三角形 (B)是直角三角形 (C)是钝角三角形
5 2

(D)的形状不确定

10、已知抛物线 y 2 = 4 x 的焦点为 F,直线 l 过点 M(

,–

3 2

)且与抛物线交于 A、B 两点,向量 )

??? ? ???? 若点 C 位于抛物线的弧 AOB (O 为坐标原点) 则△ABC 的面积最大可达到 上, ( AB ⊥ FM ,

(A) 5

(B)5 10

(C)10 5

(D)20 5

二、填空题(每小题 4 分,共 40 分) 11、arcsin ( cos 10 ) 的值是
? ? ? ?


? ? ? ? ? ? ?

12、已知向量 a 和 e 满足条件: a ≠ e 且 a ? e ≠ 0,若对任意 t∈R,恒有| a – t e | ≥ | a – e |,则在 a ,
? ? ? ? ? e , a + e , a – e ,这四个向量中,一定有垂直关系的向量是


1 2

13、若函数 f ( x ) = log = 。

a

x(a > 0 且 a ≠ 1)在区间[ a,3 a ]上的最大值比最小值大

,则 a

14、关于 x 的函数 y = sin x ( sin x + k cos x )(k∈R)的值域是____ 15、 已知数列{
1 an


1 2

}是等差数列, a n a 2 n + a 2 n a 3 n + a 3 n a n = arcsin 若 。
?
2

, n a 2 n a 3 n = arccos ( – a

1 2

)

(n 为正整数) ,则 a 2 n 的值是 16、函数 y =
sin x ? cos x 3

(–

?
2

<x<

)的单调递减区间是



17、 1 到 9 这九个数字中任取 3 个数字组成没有重复数字的三位数, 从 则这个三位数能被 3 整除 的概率为 。 。

18、若[ x ]表示不超过 x 的最大整数,且 x 2 – 2008 [ x ] + 2007 = 0,则[ x ]的值是 19、设椭圆 E:
x a
2 2

+

y b

2 2

= 1(a > b) ,A、B 是长轴的端点,C 为短轴的一个端点,F1、F2 是焦点, 。

记∠ACB = α,∠F1CF2 = β,若 α = 2 β,则椭圆 E 的离心率 e 应当满足的方程是

20、正三棱锥的侧面所成的二面角(的平面角)α 的取值范围是 答案:一、C、B、B、C、D、C、D、B、C、C; 二、11、 2 – 16、( –
?
2



3 2

π;12、 ;13、9 或 ;14、[
9
3 3
5 14

1

1?

k ?1
2



1?

k ?1
2

];15、12;

2

2

,– arcsin

);17、

;18、1,2005,2006,2007;19、2 e 3 – 2 e 2 – 2 e + 1 = 0;

20、( 60° ,180°)。 简解:20、设底面边长为 a,棱长为 b,侧面三角形顶角为 θ,则 0°< θ < 120° < a < 3 b,可 ,0
2? a
2 2

得 cos α =
4?

b ,– 1 < cos α < 1 ,60°< α < 180° ; 2 2 a b
2

y

三、解答题(第 21 题 10 分,第 22、23 题各 15 分,共 40 分) 21、依次回答下列问题: (1)在( x,y )坐标平面上画出曲线 C:y 2 = x 4 + 2 x 2 + 1; (2)如果直线 y = p x + q 与曲线 C 不相交,求参数 p 和 q 的取值范围。 解: 由已知可得曲线 C 是由两条抛物线 y = x 2 + 1 和 y = – x 2 – 1 构成: (1) (2)因为直线与曲线不相交,所以– 1 < q < 1,如图考虑直线与曲线相切 的情况下,有 p = ±2,所以– 2 < q < 2。 22、Given a circle C : ( x + 4 ) 2 + y 2 = 4 and a point P ( – 3 , 0 ) . A circle D whose center D moves along the y – axis circumscribes the circle C and intersects the y – axis at points A and B . (1)Find the maximum of∠APB;

O

1

x

第21题图

y B D

(2)Does a point Q exist on the x – axis such that∠AQB is always constant as the center D moves along the y – axis ? If it exists , then find the coordinates of Q ; If it does not exist , then give the reason . (英汉词典:to circumscribe 外切、外接;intersect 和?相交;constant 常数、恒定的、不变的) 解: (1)如图,设 A( 0,a ),B( 0,b ),则 D( 0,
a?b 2
b?a 2 a?b 2

C P

A

O

x

第22题图

),| AB | = b – a,又| CD | = 2 + | AD |,

即 16 ? (

2 ) =2+

,∴ a b + 12 = 2 ( b – a ),| PA | = a 2 ? 9 ,| PB | = b 2 ? 9 ,

cos∠APB =

a ? 9 ? b ? 9 ? (b ? a )
2 2

2

2 ( a ? 9)( b ? 9)
2 2

=

ab ? 9 ( ab ? 9) ? 9( b ? a )
2 2

=

ab ? 9 ( ab ? 9) ?
2


2

9 4

( ab ? 12)

令 t = a b + 9,又 b – a ≥ 4,t ≥ 5,则 cos∠APB =
t ?
2

t 9 4 ( t ? 3)
2

=
1? 9 4

1 (1 ? ) t 3
2



5 13



∴ ∠APB max = arccos

5 13


a ?x
2 2

( 2 ) 设 Q( x , 0 ) , 则 | QA | = =
a ? x ? b ? x ? (b ? a )
2 2 2 2 2

, | QB | = =
4

b ?x
2

2

, cos∠AQB
2

2 ( a ? x )( b ? x )
2 2 2 2

=

ab ? x
2 2 2 2

2 2

ab ? x
2 2

a b ? x (a ? b ) ? x

( ab ? x ) ? x ( b ? a )
2

=
2

ab ? x ( ab ? x ) ?
2 2

2

=
( ab ? 12)
1 2
2

1 1? x
2

(a b + x 2 > 0,x ≠ 0) ,只有当 x 2 = 12,即 x = ±
2

x

2

4

4

(

ab ? 12 ab ? x

)

2

2 3 时,cos∠AQB =

,∠AQB = 60° ,∴ Q( ±2 3 ,0 )。

23、 已知 a∈N*使函数 y = 3 x + 15 ? 2ax 的最大值 M∈N*, M 的最大值及对应的 a 值和 x 值。 求 解:令 t = 15 ? 2ax ,则 x = –
3 2a 1 2a

( 15 – t 2 ),y =
a 6

3 2a

( 15 – t 2 ) + t = –

3 2a

(t2–

2a 3

t+

a

2

)+

a 6

+

45 2a

=

9

(t–

a 3

)2+

a 6

+

45 2a

, M= ∴

+

45 2a

, a∈N*, 又 M∈N*, M ( 3 ) = M ( 45 ) = 8, ( 9 ) = M 而 M
7 3

( 15 ) = 4,M 的最大值为 8,当 a = 3 时,t = 1,x =

,当 a = 45 时,t = 15,x = –

7 3




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