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学年高中数学第一章导数及其应用1.3.3函数的最大小值与导数课时作业新人教版选修22


1.3.3 明目标、知重点 函数的最大(小)值与导数 1.理解函数最值的概念,了解其与函数极值的区别与联系. 2.会求某闭区间上函数的最值. 1.函数 f(x)在闭区间[a,b]上的最值 函数 f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,则该函数在[a,b]上一定能够取 得最大值与最小值,函数的最值必在端点处或极值点处取得. 2.求函数 y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤: (1)求函数 y=f(x)在(a,b)内的极值; (2)将函数 y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值, 最小的一个是最小值. 3.在开区间(a,b)内连续的函数不一定有最大值与最小值;若函数 f(x)在开区间 I 上只有一 个极值,且是极大(小)值,则这个极大(小)值就是函数 f(x)在区间 I 上的最大(小)值. 4.极值与最值的意义: (1)最值是在区间[a,b]上的函数值相比较最大(小)的值; (2)极值是在区间[a,b]上的某一个数值 x0 附近相比较最大(小)的值. [情境导学] 极值反映的是函数在某一点附近的局部性质,而不是函数在整个定义域内的性质,但是我们 往往更关心函数在某个区间上哪个值最大,哪个值最小?函数的极值与最值有怎样的关系? 这就是本节我们要研究的问题. 探究点一 求函数的最值 思考 1 如图,观察区间[a,b]上函数 y=f(x)的图象,你能找出它的极大值、极小值吗? 答 f(x1),f(x3),f(x5)是函数 y=f(x)的极小值; f(x2),f(x4),f(x6)是函数 y=f(x)的极大值. 思考 2 观察思考 1 的函数 y=f(x), 你能找出函数 f(x)在区间[a, b]上的最大值、 最小值吗? -1- 若将区间改为(a,b),f(x)在(a,b)上还有最值吗?由此你得到什么结论? 答 函数 y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是 f(a),最小值是 f(x3).若区间改为(a,b),则 f(x)有最小值 f(x3),无最大值. 小结 一般地,如果在区间[a,b]上函数 y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有 最大值和最小值,且最值必在端点处或极值点处取得. 思考 3 函数的极值和最值有什么区别和联系? 答 函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的,函数的极值是比较极值点 附近的函数值得出的,函数的极值可以有多个,但最值只能有一个;极值只能在区间内取得, 最值则可以在端点处取得;有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最 值,最值只要不在端点处取得必定是极值,所以在开区间(a,b)上若存在最值,则必是极值. 小结 求一个函数在闭区间上的最值步骤: 1.求导,确定函数在闭区间上的极值点. 2.求出函数的各个极值和端点处的函数值. 3.比较大小,确定结论. 例 1 求下列函数的最值: (1)f(x)=2x -12x,x∈[-2,3]; 1 (2)f(x)= x+sin x,x∈[0,2π ]. 2 解 (1)f(x)=2x -12x, ∴f′(x)=6x -12=6(x+ 2)(x- 2), 令 f′(x)=0,解得 x=- 2或 x= 2. 当 x 变化时,f′(x)与 f(x)的变化情况如下表: 2 3 3 x f′(x) f(x) (-∞,- 2) + 单调递增 - 2 0 极大值 (- 2, 2) - 单调递减 2 0 极小值 ( 2,+∞) + 单调递增 所以函数 f(x)的单

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