当前位置:首页 >> 数学 >> 陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 等比数列的通项与求和典型例题剖析素材 北师大版必修5

陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 等比数列的通项与求和典型例题剖析素材 北师大版必修5

等比数列的通项与求和
一、知识导学 1. 等比数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于 同 一 个 常 数, 那 么 这 个 数 列 就 叫 做 等 比 数 列, 这个常数叫做等比数列的公比, 公比通常用字母q表示. 2. 等比中项:若a,G,b成等比数列,则称G 为a 和b 的等比中项.

?n ? a1 ? 3.等比数列的前 n 项和公式: S n ? ? a 1 (1 ? q n ) a 1 ? a n ? q ? 1? q ? 1? q ?
二、疑难知识导析

(q ? 1) (q ? 1)

1.由于等比数列的每一项都可能作分母,故每一项均不为 0,因此 q 也不为 0. 2.对于公比 q,要注意它是每一项与它前一项的比,防止把相邻两项的比的次序颠倒. 3.“从第 2 项起”是因为首项没有“前一项”,同时应注意如果一个数列不是从第 2 项起, 而是从第 3 项或第 4 项起每一项与它前一项的比都是同一个常数, 此数列不是等比数 列,这时可以说此数列从. 第 2 项或第 3 项起是一个等比数列. 4.在已知等比数列的 a1 和 q 的前提下,利用通项公式 an=a1q ,可求出等比数列中的任 一项. 5.在已知等比数列中任意两项的前提下,使用 an=amq 可求等比数列中任意一项. 6.等比数列{an}的通项公式 an=a1q 可改写为 a n ?
n-1 n-m n-1

a1 n ? q .当 q>0,且 q ? 1 时,y=qx q

是一个指数函数,而 y ?

a1 x ? q 是一个不为 0 的常数与指数函数的积,因此等比数列{an} q

的图象是函数 y ?

a1 x ? q 的图象上的一群孤立的点. q

7.在解决等比数列问题时,如已知,a1,an,d, S n ,n 中任意三个,可求其余两个。

三、经典例题导讲 [例 1] 已知数列 ?an ? 的前 n 项之和 Sn=aq ( a ? 0, q ? 1, q 为非零常数) ,则 ?an ? 为( ) 。
n

1

A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列,也不是等比数列 D.既是等差数列,又是等比数列 错解:? an?1 ? S n?1 ? S n ? aqn?1 ? aqn ? aqn (q ? 1)

? an ? S n ? S n?1 ? aqn?1 (q ? 1)
? a n ?1 ? q (常数) an

? ?an ? 为等比数列,即 B。
错因:忽略了? an ? S n ? S n?1 中隐含条件 n>1. 正解:当 n=1 时,a1=S1=aq; 当 n>1 时,? an ? S n ? S n?1 ? aqn?1 (q ? 1)

?

a n ?1 ? q (常数) an a2 ? q ?1 ? q a1

但?

? ?an ? 既不是等差数列,也不是等比数列,选 C。
[例 2] 已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn,S10=10 ,S30=70,则 S40 等于. 错解:S30= S10·q . ? q =7,q= ?
2 2

7 ,? S40= S30·q = ? 70 7 .

错因:是将等比数列中 Sm, S2m -Sm, S3m -S2m 成等比数列误解为 Sm, S2m, S3m 成等比数列.

? a1 (1 ? q 10 ) ? 10 ? a1 ? ? ?10 ? ? 1? q 1? q 正解:由题意: ? 得 , ? 30 ? a1 (1 ? q ) ? 70 ?q 10 ? 2或q 10 ? ?3(舍去) ? ? ? 1? q

? S40=

a1 ( 1 ? q 40) ? 200 . 1? q
2 3 n

[例 3] 求和:a+a +a +?+a .

2

错解:

a+a +a +?+a =
n

2

3

n

1? an . 1? a

错因:是(1)数列{a }不一定是等比数列,不能直接套用等比数列前 n 项和公式(2)用 等比数列前 n 项和公式应讨论 q 是否等于 1. 正解:当 a=0 时,a+a +a +?+a =0; 当 a=1 时,a+a +a +?+a =n; 当 a ? 1 时,
2 3 n 2 3 n

1? an a+a +a +?+a = . 1? a
2 3 n

[例 4]设 a, b, c, d 均为非零实数, a 2 ? b 2 d 2 ? 2b?a ? c?d ? b 2 ? c 2 ? 0 , 求证: a, b, c 成等比数列且公比为 d 。 证明: 证法一:关于 d 的二次方程 a 2 ? b 2 d 2 ? 2b?a ? c?d ? b 2 ? c 2 ? 0 有实根, ∴ ? ? 4b 2 ?a ? c? ? 4 a 2 ? b 2 (b 2 ? c 2 ) ? 0 ,∴ ? b 2 ? ac
2
2 2

?

?

?

?

?

?

?

?

2

?0

则必有: b ? ac ? 0 ,即 b ? ac ,∴非零实数 a, b, c 成等比数列 设公比为 q ,则 b ? aq , c ? aq 代入
2

?a

2

? a 2 q 2 d 2 ? 2aq a ? aq2 d ? a 2 q 2 ? a 2 q 4 ? 0

?

?

?

2 2 2 2 ∵ q ? 1 a ? 0 ,即 d ? 2qd ? q ? 0 ,即 d ? q ? 0 。

?

?

证法二:∵ a ? b d ? 2b?a ? c?d ? b ? c ? 0
2 2 2 2 2

?

?

∴ a d ? 2abd ? b
2 2

?

2

? ? ?b d
2

2

? 2bcd ? c 2 ? 0

?

∴ ?ad ? b? ? ?bd ? c? ? 0 ,∴ ad ? b ,且 bd ? c
2 2

∵ a, b, c, d 非零,∴

b c ? ?d。 a b

[例 5]在等比数列 ?bn ? 中, b4 ? 3 ,求该数列前 7 项之积。 解: b1b2 b3b4b5b6 b7 ? ?b1b7 ??b2 b6 ??b3b5 ?b4 ∵ b4 ? b1b7 ? b2b6 ? b3b5 ,∴前七项之积 32
2

? ? ?3 ? 3
3

7

? 2187

3

1 } 前 n 项和 2n 1 1 1 1 解: S n ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? ???? ? n ? n ① 2 4 8 2 1 1 1 1 1 1 Sn ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? ? ? (n ? 1) ? n ? n ? n ?1 ② 2 4 8 16 2 2 1 1 (1 ? n ) 1 1 1 1 1 1 2 ? n 两式相减: S n ? ? ? ? ?? ? n ? n ? n ?1 ? 2 1 2 2 4 8 2 2 2 n?1 1? 2 1 n 1 n ? S n ? 2(1 ? n ? n ?1 ) ? 2 ? n ?1 ? n 2 2 2 2
[例 6]求数列 {n ? [例 7]从盛有质量分数为 20%的盐水 2kg 的容器中倒出 1kg 盐水,然后加入 1kg 水,以后每 次都倒出 1kg 盐水,然后再加入 1kg 水, 问:(1)第 5 次倒出的的 1kg 盐水中含盐多 kg? (2)经 6 次倒出后,一共倒出多少 kg 盐?此时加 1kg 水后容器内盐水的盐的 质量分数为多少? 解:(1)每次倒出的盐的质量所成的数列为{an},则:

1 1 ×0.2(kg), a3= ( )2×0.2(kg) 2 2 1 n1 1 51 1 4 由此可见:an= ( ) ? ×0.2(kg), a5= ( ) ? ×0.2= ( ) ×0.2=0.0125(kg) 。 2 2 2 1 (2)由(1)得{an}是等比数列 a1=0.2 , q= 2
a1= 0.2 (kg), a2=

1 ) 6 a1 (1 ? q ) 2 ? S6 ? ? ? 0.39375 (kg ) 1 1? q 1? 2 0.4 ? 0.39375? 0.00625 (kg )
6

0.2(1 ?

0.00625? 2 ? 0.003125 (kg )
答:第 5 次倒出的的 1kg 盐水中含盐 0.0125kg;6 次倒出后,一共倒出 0.39375kg 盐,此时加 1kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为 0.003125。 四、典型习题导练 1.求下列各等比数列的通项公式: 1) a1=?2, a3=?8 2) a1=5, 且 2an+1=?3an

4

3) a1=5, 且

an?1 n ? an n ?1

2.在等比数列 ?an ? ,已知 a1 ? 5 , a9 a10 ? 100,求 a18 .
0 1 2

3.已知无穷数列 105 ,105 ,105 ,??10

n ?1 5

,?? ,
1 , 10

求证: (1)这个数列成等比数列 (2)这个数列中的任一项是它后面第五项的

(3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。 4.设数列 ?an ? 为 1,2x,3x ,4x ??nx
2 3 n?1

? ?x ? 0? 求此数列前 n 项的和。

5.已知数列{an}中,a1=?2 且 an+1=Sn,求 an ,Sn 6.是否存在数列{an},其前项和 Sn 组成的数列{Sn}也是等比数列,且公比相同? 7.在等比数列 ?an ? 中, a1a3 ? 36, a2 ? a4 ? 60, S n ? 400,求 n 的范围。

5


更多相关文档:

陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 数列复习指导素....doc

陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 数列复习指导素材 师大版必修5 - 数列复习提纲 1.数列的通项 求数列通项公式的常用方法: (1)观察与归纳法:先观察哪些...

陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 等比数列课件 北....ppt

陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 等比数列课件 师大版必修5 - 等比数列 1 1 2 3 4 5 6 7 8 2 3 4 5 6 7 8 情景展示(1) 左图为国际象...

吴堡吴堡中学高中数学 第一章 等差数列的前n项和背景知....doc

吴堡吴堡中学高中数学 第一章 等差数列的前n项和背景知识素材 师大版必修5 - 背景知识 我国数列求和的概念起源很早,古书《周髀算经》里谈到“没日影”时,已...

高考数学题型全归纳等比数列的通项与求和典型例题剖析.doc

高考数学题型全归纳等比数列的通项与求和典型例题剖析 - 一、知识导学 1. 等比

高考数学题型全归纳:数列高考原创题探讨含答案.pdf

高考数学题型全归纳:数列高考原创题探讨含答案_高考_高中教育_教育专区。陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 数列高考原创题探讨素材 北师 大版必修 5 【原创题...

陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第四章 数系的扩充 复数....doc

陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第四章 数系的扩充 复数的概念要点解读素材 师大版选修1-2 - 复数的概念要点解读 一、复数的基本概念: 为了解决 ?1 有解这...

陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 推理与证明 归纳....doc

陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 推理与证明 归纳推理教案 师大版选修1...(1) (2) (3) (4) (5) an (n ? N * ) ,试归纳这个数列的通项...

等比数列求和典型例题.doc

等比数列求和典型例题_数学_高中教育_教育专区。等比数列性质与求和 1、已知数列...1 。(1)求证:数列 {an ? } 是等比数列。 (2)求数列 {an } 的通项 ...

等比数列知识点总结与典型例题(精华word版).doc

例题| 精华|等比数列知识点总结与典型例题(精华word版)_数学_高中教育_教育专区。等比数列知识点总结与典型例题 1等比数列的定义: 2、通项公式: an ? a1q ...

陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第二章 三角形中的几何....ppt

陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第二章 三角形中的几何计算课件 师大版必修5_数

高考数学题型全归纳:等比数列典型例题(含答案).doc

等比数列典型例题(含答案)_数学_高中教育_教育专区...【解析】方法 1: ∴ a10 等比数列典型例题素材 ?...成等差数列.试求数 3 9 列 ?a n ? 的通项...

陕西省高中数学 第一章 由数列的递推公式求通项公式的....doc

陕西省高中数学 第一章数列的递推公式求通项公式的常用方法拓展资料素材 师大版必修5_数学_高中教育_教育专区。由数列的递推公式求通项公式的常用方法 一 ...

高中数学《等比数列的概念和通项公式》教案.doc

高中数学等比数列的概念和通项公式》教案_数学_高中教育_教育专区。高中数学等比数列的概念和通项公式》教案,等比数列求和推导方法6,等比数列公式大全6,等比数列...

数列求和汇总例题与答案).doc

数列求和汇总例题与答案)_数学_高中教育_教育专区。数列求和汇总答案一、利用常用...的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{ x 4 n n ?1 }的通项之积 ...

高中数学必修五数列求和方法总结附经典例题和答案详解.doc

高中数学必修五数列求和方法总结附经典例题和答案详解_数学_高中教育_教育专区。...解:由题可知,{ 2n 1 }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ n }的通...

数列的通项与求和答案.doc

数列的通项与求和答案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。数列的通项与求和 1.已知数列{an}为等差数列,前n项和为Sn,若S4=8,S8=20,则S12= 【答案】36 【...

高中数学专题练习---数列求和.doc

高中数学专题练习---数列求和_数学_高中教育_教育专区。课间辅导---数列求和 1...an?1 ? 2an ,求证数列 {bn } 是等比数列; (2)求数列 {an } 的通项...

详解数列求和的方法+典型例题.doc

详解数列求和的方法+典型例题_数学_高中教育_教育专区。详解数列求和的常用方法数列求和数列的重要内容之一, 除了等差数列和等比数列求和公式外, 大部分数列 的...

高中数学必修五求数列通项公式方法总结和典型例题附详....doc

高中数学必修五求数列通项公式方法总结和典型例题附详细答案_数学_高中教育_教育专区。文档总结了高中求数列通项公式的一些方法,每种方法有两道典型例题并附详细答案...

等比数列的性质含例题总结归纳.doc

等比数列的性质含例题总结归纳_高二数学_数学_高中教育_教育专区。一、等比数列基本概念: 1. 等比数列的定义: 2. 通项公式: an = q ( q ≠ 0 ) ( n ...

更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com