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高三数学培优补差辅导专题讲座-三角函数单元易错题分析与练习p


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三角函数易错点 三角函数易错点解析
1、角的概念的推广:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方 角的概念的推广 向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角,一条射线没有作任何旋转时,称它形成 一个零角。射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边。 象限角的概念:在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,角 2、象限角的概念 的终边在第几象限, 就说该角是第几象限的角。 如果角的终边在坐标轴上, 就认为这个角不属于任何象限。 终边相同的角的表示 3. 终边相同的角的表示: 注意:相等的角 (1) α 终边与 θ 终边相同( α 的终边在 θ 终边所在射线上) ? α = θ + 2kπ ( k ∈ Z) ,注意 注意 的终边一定相同,终边相同的角不一定相等.如与角 ? 1825 的终边相同,且绝对值最小的角的度数是__ 如
o

_,合___弧度。 (答: ?25 ; ?
o

(2) α 终边与 θ 终边共线( α 的终边在 θ 终边所在直线上) ? α = θ + kπ ( k ∈ Z) . (4) α 终边与 θ 终边关于 y 轴对称 ? α = π ? θ + 2kπ ( k ∈ Z) . ( 6 ) α 终 边 在 x 轴 上 的 角 可 表 示 为 : α = kπ , k ∈ Z ; α 终 边 在 y 轴 上 的 角 可 表 示 为 : (5) α 终边与 θ 终边关于原点对称 ? α = π + θ + 2 kπ ( k ∈ Z ) . (3) α 终边与 θ 终边关于 x 轴对称 ? α = ?θ + 2kπ ( k ∈ Z) .

5 π) 36

α = kπ +

π

2

, k ∈ Z ;α 终边在坐标轴上的角可表示为:α =

y = x 对称,则 α =____________。 (答: 2kπ +

π
3

kπ π , k ∈ Z .如 α 的终边与 的终边关于直线 如 2 6

, k∈Z )

的终边关系:由“两等分各象限、一二三四”确定.如若 α 是第二象限角,则 4、α 与 α 的终边关系 如

α
2

2

是第_____

象限角(答:一、三)
2 o 5.弧长公式 5.弧长公式: l =| α | R ,扇形面积公式: S = 1 lR = 1 | α | R ,1 弧度(1rad) ≈ 57.3 . 如已知扇形 弧长公式

2

2

AOB 的周长是 6cm,该扇形的中心角是 1 弧度,求该扇形的面积。 (答:2 cm ) 任意角的三角函数的定义:设 α 是任意一个角,P ( x, y ) 是 α 的终边上的任意一点(异于原点) , 6、任意角的三角函数的定义 它 与 原 点 的 距 离 是 r=

2

x 2 + y 2 > 0 , 那 么 sin α =

y x y , cos α = , tan α = , ( x ≠ 0 ) , r r x

x r r ( y ≠ 0) ,sec α = ( x ≠ 0 ) , csc α = ( y ≠ 0 ) 。三角函数值只与角的大小有关,而与终边上 y x y 7 点 P 的位置无关。如(1)已知角 α 的终边经过点 P(5,-12),则 sin α + cos α 的值为__。 (答: ? ) ; 如 13 2m ? 3 3 ,则 m 的取值范围是_______(答: (-1, ) ) (3)若 ; (2)设 α 是第三、四象限角, sin α = 4?m 2 | sin α | cos α + = 0 ,试判断 cot(sin α ) ? tan(cos α ) 的符号(答:负) sin α | cos α | y 7.三角函数线的特征 三角函数线的特征是:正弦线 MP“站在 x 轴上(起点在 x 轴上)” 、 三角函数线的特征 T B S 余弦线 OM“躺在 x 轴上(起点是原点)” 、正切线 AT“站在点 A(1, 0) 处(起 P 点是 A )” 三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等 .三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等 α cot α =
式。如(1)若 ? 如

π

(答: tan θ < sin θ < cos θ ); (2)若 α 为锐角,则 α ,sin α , tan α 的大小关系为_______ ; (答: sin α < α < tan α )
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8

< θ < 0 ,则 sin θ , cos θ , tan θ 的大小关系为_____

O

M

A

x

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(3)函数 y = 1 + 2 cos x + lg(2 sin x + 3 ) 的定义域是_______(答: (2kπ ? 8.特殊角的三角函数值 8.特殊角的三角函数值: 特殊角的三角函数值 30° 45° 60° 0° 0 90° 1 180° 0 270° -1

π
3

, 2 kπ +

2π ](k ∈ Z ) ) 3
75°

15°

sin α

1 2

2 2 2 2
1

3 2 1 2

6? 2 4 6+ 2 4
2- 3

6+ 2 4 6? 2 4
2+ 3

cos α
tan α

3 2
3 3

1

0

-1

0

3 3 3

0

0

cot α

3

1

0

0

2+ 3

2- 3

同角三角函数的基本关系式: 9. 同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系: sin 2 α + cos 2 α = 1,1 + tan 2 α = sec 2 α ,1 + cot 2 α = csc2 α (2)倒数关系:sin α csc α =1,cos α sec α =1,tan α cot α =1, (3)商数关系: tan α =

sin α cos α , cot α = cos α sin α

同角三角函数的基本关系式的主要应用是,已知一个角的三角函数值,求此角的其它三角函数值。在 运用平方关系解题时,要根据已知角的范围和三角函数的取值,尽可能地压缩角的范围,以便进行定号; 在具体求三角函数值时,一般不需用同角三角函数的基本关系式,而是先根据角的范围确定三角函数值的 符号,再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。 如(1)函数 y =

sin α + tan α 的值的符号为____(答:大于 0) ; cos α + cot α
2

(2)若 0 ≤ 2 x ≤ 2π ,则使 1 ? sin 2 x = cos 2 x 成立的 x 的取值范围是_答: [0,

3 ] U [ π, π]) ; 4 4 m?3 4 ? 2m π 5 , cos θ = ( < θ < π ) ,则 tan θ =____(答: ? ) ; (3)已知 sin θ = m+5 m+5 2 12 tan α sin α ? 3 cos α 5 13 已知 = ?1 , 则 =____; sin 2 α + sin α cos α + 2 =________ (答:? ; ) ; ( 4) tan α ? 1 sin α + cos α 3 5
(5)已知 sin 200 = a ,则 tan 160 等于
o o

π

A、 ?

a 1? a2

B、

a 1? a2

1? a 2 C、 ? a

D、

1? a 2 (答:B) ; a o 。 (6)已知 f (cos x ) = cos 3 x ,则 f (sin 30 ) 的值为______(答:-1) k 10.三角函数诱导公式 三角函数诱导公式( ,符号看 10.三角函数诱导公式( π + α )的本质是:奇变偶不变(对 k 而言,指 k 取奇数或偶数) 2
负角变正角, 再写成 2k π + α , 0 ≤ α < 2π ; (2)转化为锐角三角函数。 (1)cos 如 的值为________(答:

象限(看原函数,同时可把 α 看成是锐角).诱导公式的应用是求任意角的三角函数值,其一般步骤: (1)

9π 7π + tan(? ) + sin 21π 4 6

2 3 4 o ? )(2)已知 sin(540 + α ) = ? ,则 cos(α ? 270 o ) = ______,若 α 为 ; 2 3 5 o o 2 [sin(180 ? α ) + cos(α ? 360 )] 4 3 = ________。 (答: ? ; ? ) 第二象限角,则 o 5 100 tan(180 + α )

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11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:
令α = β sin (α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β ??? sin 2α = 2 sin α cos α →
令α = β cos (α ± β ) = cos α cos β m sin α sin β ??? cos 2α = cos 2 α ? sin 2 α →

                        2 cos 2 α ? 1 = 1 ? 2sin 2 α ↓ = tan α ± tan β 1+cos2α         cos 2 α= ? 1 m tan α tan β 2 1 ? cos2α                      2 α= ↓ sin 2 2 tan α     2α = tan 1 ? tan 2 α 1 π π o 值为 的是 A、 15 cos 15 sin o B、 2 cos ? sin 2 如 1) ( 下列各式中, 2 12 12   (α ± β ) = tan
D、

C、

tan 22.5o 1 ? tan 2 22.5o

(2)命题 P: tan( A + B ) = 0 ,命题 Q: tan A + tan B = 0 ,则 P 是 Q 的 A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件(答:C) ; (3)已知 sin( α ? β )cos α ? cos( α ? β ) sin α = ( 4)

1 + cos 30o 2

(答:C) ;

3 7 ,那么 cos 2 β 的值为____(答: ) ; 5 25

1 3 0 0 的值是______(答:4) (5) ;(5) (5)已知 tan110 = a ,求 tan 50 的值(用 a 表示) ? o sin 10 sin 80o a? 3 1 ? a2 甲求得的结果是 ,乙求得的结果是 ,对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______ 2a 1 + 3a
(答:甲、乙都对) 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路 思路是:一角二名三结构。即首先观察角与角之 12. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路 间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心!第二看函数名称之间的关系,通常 角的变换是三角函数变换的核心! 角的变换是三角函数变换的核心 “切化弦” ;第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有: 基本的技巧有: 基本的技巧有 巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差 (1)巧变角 角的变换. 如 α = (α + β ) ? β = (α ? β ) + β , 2α = (α + β ) + (α ? β ) , 2α = ( β + α ) ? ( β ? α ) ,

α + β = 2?

α +β
2



α+β
2

= α?

2 π 1 π 3 , tan( β ? ) = ,那么 tan(α + ) 的值是_____(答: ) ; 5 4 4 4 22 π β 1 α 2 490 已知 0 < β < < α < π , cos( α ? ) = ? ,sin( ? β ) = , cos( α + β ) 。 且 求 ( ) ; ( 2) 2 2 9 2 3 729 3 (3)已知 α , β 为锐角, sin α = x, cos β = y , cos(α + β ) = ? ,则 y 与 x 的函数关系为______ 5 3 4 3 1 ? x 2 + x( < x < 1) ) (答: y = ? 5 5 5 o o (2)三角函数名互化 三角函数名互化 ; 三角函数名互化(切割化弦),如(1)求值 sin 50 (1 + 3 tan10 ) (答:1) 如 sin α cos α 2 1 = 1, tan(α ? β ) = ? ,求 tan( β ? 2α ) 的值(答: ) (2)已知 1 ? cos 2α 3 8 (3)公式变形使用 tan α ± tan β = tan (α ± β )(1 m tan α tan β ) 。 公式变形使用( 公式变形使用
如(1)已知 tan(α + β ) = 则 (答: ? ( 已知 A、 为锐角, B 且满足 tan A tan B = tan A + tan B + 1 , cos( A + B ) =_____ 如 1)
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(

β
2

) (α β )
? 2 ?

等) ,

2 ) ; 2

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(2)设 (2) ?ABC 中, tan A + tan B + 3 = 角形(答:等边)

3 tan Atan B , sin Acos A =

3 ,则此三角形是____三 4

(4)三角函数次数的降升 三角函数次数的降升(降幂公式: cos α = 三角函数次数的降升
2

1 + cos 2α 1 ? cos 2α 2 , sin α = 与升幂公式: 2 2

1 + cos 2α = 2 cos 2 α , 1 ? cos 2α = 2 sin 2 α )。

1 1 1 1 α + + cos 2α 为_____(答: sin ) ; 2 2 2 2 2 5 2 3( x ∈ R ) 的单调递增区间为________(答: (2)函数 f ( x ) = 5 sin x cos x ? 5 3 cos x + 2 π 5π [ kπ ? ,kπ + ]( k ∈ Z ) ) 12 12
如(1)若 α ∈ ( π , π ) ,化简 (1)

3 2

(5)式子结构的转化 式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。 式子结构的转化 如(1) tan α (cos α ? sin α ) +

sin α + tan α (答: sin α ) ; cot α + csc α

1 1 + sin α 2 ; 3)化简: 2 (答: 1 cos 2 x ) = (2)求证: ( α α π π 2 1 ? 2sin 2 1 ? tan 2 tan( ? x) sin 2 ( + x) 2 2 4 4 2 2 2 2 (6)常值变换主要指 常值变换主要指“ 的变换( (6)常值变换主要指“1”的变换 1 = sin x + cos x = sec x ? tan x = tan x ? cot x 3 = tan π = sin π = L 等) 如已知 tan α = 2 ,求 sin 2 α + sin α cos α ? 3cos 2 α (答: ). ,如 4 2 5 (7)正余弦“三兄妹 sin x ± cos x、 x cos x ”的内存联系――“知一求二” 三兄妹— sin , (7) 三兄妹 t 2 ?1 __(答: ± ),特别提醒 特别提醒:这里 t ∈ [ ? 2, 2] ; 如(1)若 sin x ± cos x = t ,则 sin x cos x = 特别提醒 2 4+ 7 (答: ? ) ; (2)若 α ∈ (0, π ),sin α + cos α = 1 ,求 tan α 的值。 2 3 sin 2α + 2 sin 2 α π π = k ( < α < ) ,试用 k 表示 sin α ? cos α 的值(答: 1 ? k ) 。 (3)已知 1 + tan α 4 2 1 + tan 2 cos 4 x ? 2 cos 2 x +
13、辅助角公式中辅助角的确定 13、辅助角公式中辅助角的确定:a sin x + b cos x = 的符号确定, θ 角的值由 tan θ =

α

a 2 + b 2 sin ( x + θ ) (其中 θ 角所在的象限由 a, b

b 确定)在求最值、化简时起着重要作用。 a ; 如(1)若方程 sin x ? 3 cos x = c 有实数解,则 c 的取值范围是___________.(答:[-2,2]) 3 (2)当函数 y = 2 cos x ? 3 sin x 取得最大值时, tan x 的值是______(答: ? ); 2 (3)如果 f ( x ) = sin ( x + ? ) + 2 cos( x + ? ) 是奇函数,则 tan ? = (答:-2);
(4)求值:
2

3 1 ? + 64 sin 2 20° = ________(答:32) 2 sin 20° cos 20° 14、正弦函数和余弦函数的图象:正弦函数 y = sin x 和余弦函数 y = cos x 图象的作图方法:五点法: 14、正弦函数和余弦函数的图象 π 3π 先取横坐标分别为 0, , π , , 2π 的五点,再用光滑的曲线把这五点连接起来,就得到正弦曲线和余弦 2 2
曲线在一个周期内的图象。 的性质: 定义域:都是 R。 15、 15、正弦函数 y = sin x ( x ∈ R ) 、余弦函数 y = cos x ( x ∈ R ) 的性质 (1)定义域 ( 2 ) 值 域 : 都 是 [ ?1,1] , 对 y = sin x , 当 x = 2kπ +
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π
2

(k ∈ Z ) 时 ,

y 取最大值 1;当

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3π ( k ∈ Z ) 时, y 取最小值-1;对 y = cos x ,当 x = 2kπ ( k ∈ Z ) 时, y 取最大值 1,当 2 x = 2kπ + π ( k ∈ Z ) 时, y 取最小值-1。 x = 2kπ +
( 若函数 y = a ? b sin(3 x + 如 1) 或 b = ?1 ) ;

π

3 1 1 ) 的最大值为 , 最小值为 ? , a = __, = _ 则 b (答:a = , b = 1 6 2 2 2

(2)函数 f ( x ) = sin x + 3 cos x ( x ∈ [ ?

π π

; (3)若 2α + β = π ,则 y = cos β ? 6 sin α 的最大值和最小值分别是____ 、_____(答:7;-5) (4)函数 f ( x ) = 2 cos x sin( x + (答:2; kπ +

, ] )的值域是____(答:[-1, 2]) ; 2 2

π

π
12

3

) ? 3 sin 2 x + sin x cos x 的最小值是_____,此时 x =__________

(k ∈ Z ) ) ;

(5)己知 sin α cos β =

1 1 ,求 t = sin β cos α 的变化范围(答: [0, ] ) ; 2 2 2 2 2 2 ( 6 ) 若 sin α + 2 sin β = 2 cos α , 求 y = sin α + sin β 的 最 大 、 最 小 值 ( 答 : y max = 1 ,

y min = 2 2 ? 2 ) 特别提醒 。特别提醒 特别提醒:在解含有正余弦函数的问题时,你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗? ( 3 ) 周 期 性 : ① y = sin x 、 y = cos x 的 最 小 正 周 期 都 是 2 π ; ② f ( x) = A sin(ω x + ? ) 和 2π f ( x) = A cos(ω x + ? ) 的最小正周期都是 T = 。 |ω | πx (1)若 ,则 f (1) + f (2) + f (3) + L + f (2003) =___(答:0) ; 如(1) f ( x) = sin 3 4 4 ; (2) 函数 f ( x) = cos x ?2sin x cos x ? sin x 的最小正周期为____(答: π )
(3) 设函数 f ( x) = 2 sin( 的最小值为____(答:2)

π

2

x+

π

5

) ,若对任意 x ∈ R 都有 f ( x1 ) ≤ f ( x) ≤ f ( x 2 ) 成立,则 | x1 ? x2 |

(4)奇偶性与对称性:正弦函数 y = sin x( x ∈ R ) 是奇函数,对称中心是 ( kπ , 0 )( k ∈ Z ) ,对称轴是 奇偶性与对称性

2 ? 轴是直线 x = kπ ( k ∈ Z ) (正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线,对称中心 为图象与 x 轴的交点) 。 ? 5π ? ; ? 2 x ? 的奇偶性是______(答:偶函数) 如(1)函数 y = sin ? ? 2 ? ( 2) 已知函数 f ( x ) = ax + b sin 3 x + 1( a,b 为常数) 且 f ( 5 ) = 7 , f ( ?5 ) = ______ , 则 (答: -5) ; (3)函数 y = 2 cos x (sin x + cos x) 的图象的对称中心和对称轴分别是__________、____________ kπ π kπ π (答:( ? ,1 )( k ∈ Z ) 、x = + ( k ∈ Z ) ) 4) ; ( 已知 f ( x ) = sin( x + θ ) + 3 cos( x + θ ) 2 8 2 8
为偶函数,求 θ 的值。 (答: θ = kπ + 单调性:y = sin x在 ? 2kπ ? ( 5) 单调性

直线 x = kπ +

π

( k ∈ Z ) ;余弦函数 y = cos x( x ∈ R) 是偶函数,对称中心是 ? kπ + ?

π

? , 0 ? ( k ∈ Z ) ,对称 2 ?

π

π π? π 3π ? ? ? 在 , 2kπ + ? ( k ∈ Z ) 上单调递增, ? 2kπ + , 2kπ + ? ( k ∈ Z ) 2 2? 2 2 ? ? ? 单调递减; y = cos x 在 [ 2kπ , 2kπ + π ] ( k ∈ Z ) 上单调递减,在 [ 2kπ + π , 2kπ + 2π ] ( k ∈ Z ) 上单调递增。 特别提醒,别忘了 k ∈ Z ! 特别提醒 16、 的函数: 16、形如 y = A sin(ω x + ? ) 的函数: Y
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2 3 Y 2π 9 X -2

6

(k ∈Z ))

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(1)几个物理量:A―振幅; f = 几个物理量

表达式的确定:A 由最值确定; ω 由周期确定; ? 由图象上的特殊点确 (2)函数 y = A sin(ω x + ? ) 表达式的确定 定 , 如 f ( x ) = A sin(ω x + ? )( A > 0, ω > 0 , | ? |<

1 ―频率(周期的倒数) ω x + ? ―相位; ? ―初相; ; T

π

15 π f ( x) = 2 sin( x + ) ) ; 2 3

2

) 的 图 象 如 图 所 示 , 则 f ( x) = _____ ( 答 :

函数 y = A sin(ω x + ? ) 图象的画法 ① 图象的画法: “五点法” ――设 X = ω x + ? , X =0, , π , 令 ( 3)

π

2

3π , 2π 2

求出相应的 x 值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象;②图象变换法:这是作函数简图常用方法。 图象间的关系: (4)函数 y = A sin(ω x + ? ) + k 的图象与 y = sin x 图象间的关系

y = sin ( x + ? ) 的图象;

① 函 数 y = sin x 的 图 象 纵 坐 标 不变 , 横 坐 标 向左 ( ? >0 ) 或 向 右 ( ? <0 ) 平 移 | ? | 个 单 位 得

②函数 y = sin ( x + ? ) 图象的纵坐标不变, 横坐标变为原来的

1

③函数 y = sin (ω x + ? ) 图象的横坐标不变, 纵坐标变为原来的 A 倍, 得到函数 y = A sin(ω x + ? ) 的图象; ④ 函 数 y = A sin(ω x + ? ) 图 象 的 横 坐 标 不 变 , 纵 坐 标 向 上 ( k > 0 ) 或 向 下 ( k < 0 ) 得 到 ,

ω

, 得到函数 y = sin (ω x + ? ) 的图象;

y = A sin (ω x + ? ) + k 的图象。要特别注意 特别注意,若由 y = sin (ω x ) 得到 y = sin (ω x + ? ) 的图象,则向左或 特别注意

向右平移应平移 |

? | 个单位, ω π

如 ( 1 ) 函 数 y = 2sin(2 x ? ( y = 2sin(2 x ?

π
4

) ? 1 的 图 象 经 过 怎 样 的 变 换 才 能 得 到 y = sin x 的 图 象 ?

) ? 1 向 上 平 移 1 个 单 位 得 y = 2sin(2 x ? ) 的 图 象 , 再 向 左 平 移 个 单 位 得 4 4 8 1 y = 2sin 2 x 的图象,横坐标扩大到原来的 2 倍得 y = 2sin x 的图象,最后将纵坐标缩小到原来的 即得 2 y = sin x 的图象) ; x π x π 只需把函数 y = sin 的图象向___平移____个单位 (答: 左; ) ; (2) 要得到函数 y = cos( ? ) 的图象, 2 4 2 2 r 7π
(3)将函数 y = 2sin(2 x ?

π

π

r π r 唯一?若唯一, 求出 a ; 若不唯一, 求出模最小的向量 (答: 存在但不唯一, 模最小的向量 a = ( ? , ?1) ) ;
(4)若函数 f ( x ) = cos x + sin x x ∈ [ 0, 2π ] 的图象与直线 y = k 有且仅有四个不同的交点,则 k 的取 值范围是 (答: [1, 2) ) ( 5 ) 研 究 函 数 y = A sin(ω x + ? ) 性 质 的 方 法 : 类 比 于 研 究 y = sin x 的 性 质 , 只 需 将 y = A sin(ω x + ? ) 中的 ω x + ? 看成 y = sin x 中的 x ,但在求 y = A sin(ω x + ? ) 的单调区间时,要特别注 的单调区间时, 求 意 A 和 ω 的符号,通过诱导公式先将 ω 化正。 的符号, 化正。 如(1)函数 y = sin( ?2 x +

3

) + 1 图像,按向量 a 平移后得到的函数图像关于原点对称,这样的向量是否

(

)

6

5 π π ,kπ + ]( k ∈ Z ) ) ; 3 12 12 x π 3 3π ]( k ∈ Z ) ) ; (2) y = log 1 cos( + ) 的递减区间是_______(答: [ 6kπ ? π , 6kπ + 3 4 4 4 2 π π 2π 对称,它的周期 (3)设函数 f ( x) = A sin(ωx + ? )( A ≠ 0, ω > 0,? < ? < ) 的图象关于直线 x =

π

) 的递减区间是______(答: [ kπ ?

2

2

3

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是 π ,则 A、 f ( x )的图象过点(0, ) C、 f ( x )的图象的一个对称中心 是 ( 5π ,0) 12 (4)对于函数 f ( x ) = 2sin ? 2 x + 线x=

1 2

B、 f ( x ) 在区间 [

5π 2π , ] 上是减函数 12 3

D、 f ( x ) 的最大值是 A(答:C) ;

? ?

π?

? 给出下列结论:①图象关于原点成中心对称;②图象关于直 3?

π
12

成轴对称;③图象可由函数 y = 2sin 2 x 的图像向左平移

π
3

个单位得到;④图像向左平移

π
12



单位,即得到函数 y = 2 cos 2 x 的图像。其中正确结论是_______(答:②④) ; (5)已知函数 f ( x ) = 2 sin(ω x + ? ) 图象与直线 y = 1 的交点中,距离最近两点间的距离为 么此函数的周期是_______(答: π ) 17、 的图象和性质: 17、正切函数 y = tan x 的图象和性质 (1) 定义域:{x | x ≠

π
3

,那

π
2

+ kπ , k ∈ Z } 。遇到有关正切函数问题时,你注意到正切函数的定义域了吗?

(2)值域是 R,在上面定义域上无最大值也无最小值; (3)周期性:是周期函数且周期是 π ,它与直线 y = a 的两个相邻交点之间的距离是一个周期 π 。绝 绝 对值或平方对三角函数周期性的影响:一般说来,某一周期函数解析式加绝对值或平方,其周期性是:弦 对值或平方对三角函数周期性的影响 弦 减半、切不变.既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值,其周期性不变,其它不定。 减半、切不变 如 y = sin 2 x, y = sin x 的周期都是 π , 但 y = sin x + cos x 的周期为 而 y =| 2 sin(3 x ?

π

1 π |, y =| 2sin(3 x ? ) + 2 | , y =| tan x | 的周期不变; 6 2 6 ? kπ ? 特别提醒:正(余)切型函数的对称 (4)奇偶性与对称性:是奇函数,对称中心是 ? , 0 ? ( k ∈ Z ) ,特别提醒 特别提醒 ? 2 ? 中心有两类:一类是图象与 x 轴的交点,另一类是渐近线与 x 轴的交点,但无对称轴,这是与正弦、余弦 )+
函数的不同之处。 (5)单调性:正切函数在开区间 ? ? 上不具有单调性。如下图: 上不具有单调性

π

2



π ? π ? + kπ , + kπ ? ( k ∈ Z ) 内都是增函数。但要注意在整个定义域 要注意在整个定义域 2 ? 2 ?
y=Atan(ωx+φ) ) ω φ y = A tan(ω x + ?
x

y = A sin(ω x + y=Asin(ωx+φ)? ) y ω φ
O

y x

O

x3

x4
邻中心轴相距

x3
x=x1 T
4

x4 x=x1 x=x2

x=x2
邻中心|x3-x4|= T/2 无穷对称中心: 由y=0或 y无意义确定

邻中心|x3-x4|=T/2
无穷对称中心: 由y=0确定 确定

邻轴|x1-x2|=T/2
无穷对称轴:

由y=A或-A确定 或 确定

邻渐近线|x1-x2|=T 无对称轴 任意一条y轴的垂线与正切 函数图象都相交,且相邻两 交点的距离为一个周期!

三角形中的有关公式: 18. 三角形中的有关公式 (1)内角和定理 内角和定理:三角形三角和为 π ,这是三角形中三角函数问题的特殊性,解题可不能忘记!任意 任意 内角和定理 两角和与第三个角总互补,任意两半角和 任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形 ? 三内角都是锐角 ? 三 两角和 任意两半角和 锐角三角形 内角的余弦值为正值 ? 任两角和都是钝角 ? 任意两边的平方和大于第三边的平方.

a = b = c = 2 R (R 为三角形外接圆的半径). sin A sin B sin C 注意:①正弦定理的一些变式: ( i ) a : b : c = sin A : sin B : sin C ; 注意
(2)正弦定理 正弦定理: 正弦定理
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( ii ) sin A =

a b c , sin B = ,sin C = ; ( iii ) a = 2 R sin A, b = 2 R sin B, b = 2 R sin C ; 2R 2R 2R
2 2 2

②已知三角形两边一对角,求解三角形时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解.
2 2 2 (3)余弦定理 a = b + c ? 2bc cos A, cos A = b + c ? a 等,常选用余弦定理鉴定三角形的形状. 余弦定理: 余弦定理

2bc

2 2 2 2 2 若 sin A cos B ? cos A sin B = sin C ,判断 ?ABC 的形状(答:直角三角形) 。 ( 特 别 提 醒 : 1 ) 求 解 三 角 形 中 的 问 题 时 , 一 定 要 注 意 A+ B+C =π 这 个 特 殊 性 : A+ B C A + B = π ? C ,sin( A + B ) = sin C ,sin = cos ; 2 2
2 2 2

(4)面积公式 S = 1 aha = 1 ab sin C = 1 r ( a + b + c)(其中 r 为三角形内切圆半径) ?ABC 中, 面积公式: .如 面积公式

(2)求解三角形中含有边角混合关系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。 如 1)?ABC 中, B 的对边分别是 a、b , A=60 , a = 6 , b = 4 , ( A、 且 那么满足条件的 ?ABC 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定(答:C) ; ; (2)在 ?ABC 中,A>B 是 sin A > sin B 成立的_____条件(答:充要)
o

A、

(3)在 ?ABC 中, ( 1 + tan A )( 1 + tan B ) = 2 ,则 log 2 sin C =_____(答: ? 则 ∠C =____(答: 60 ) ;
o

1 ) ; 2 (4)在 a,b,c 分别是角 A、 C 所对的边, ( a + b + c )(sin A + sin B ? sin C ) = 3a sin B , B、 若 (4) ?ABC 中,
(5)在 ?ABC 中,若其面积 S =
o

a2 + b2 ? c2 o ,则 ∠C =____(答: 30 ) ; 4 3
2 39 ) ; 3
2 2

在 三角形的面积为 3 , ?ABC 外接圆的直径是_____ 则 ( (6) ?ABC 中,A = 60 , b = 1 , (7)在△ABC 中,a、b、c 是角 A、B、C 的对边,a = 的最大值为 (答: ;

1 B+C 3, cos A = , 则 cos 2 = 3 2

,b + c

1 9 ) ; 3 2
(答: 0 < C ≤

6 o 角形 ABC 的外心,若 ∠C = 75 ,且 ?AOB, ?BOC , ?COA 的面积满足关系式 S ?AOB + S ?BOC = 3S ?COA ,
求 ∠A (答: 45 ) . 19、求角的方法 求角的方法:先确定角的范围,再求出关于此角的某一个三角函数(要注意选择,其标准有二: 19 求角的方法 一是此三角函数在角的范围内具有单调性;二是根据条件易求出此三角函数值) 。
o

(8)在△ABC 中 AB=1,BC=2,则角 C 的取值范围是

π

)(9)设 O 是锐角三 ;

( 若 且 则 ( 如 1) α , β ∈ (0, π ) , tan α 、tan β 是方程 x ? 5 x + 6 = 0 的两根, α + β 的值______
2

(2) ?ABC 中, 3sin A + 4 cos B = 6, 4sin B + 3cos A = 1 ,则 ∠C =_______(答:

π
3

3π ) ; 4

) ;

( 3) 若 0 ≤ α < β < γ < 2π 且 sin α + sin β + sin γ = 0 , cos α + cos β + cos γ = 0 ,求 β ? α 的 值(答:

2π ). 3

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