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高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线的标准方程课堂探究学案新人教B版选修2_1201711093101

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2.3.1 双曲线及其标准方程

课堂探究 探究一 双曲线的定义及应用 若 F1,F2 分别表示双曲线的左、右焦点,点 P 满足|PF1|-|PF2|=2a,则点 P 在双曲线 的右支上;若点 P 满足|PF2|-|PF1|=2a,则点 P 在双曲线的左支上,反之亦成立.如果遇 到动点到两定点的距离之差的问题,应联想到利用双曲线的定义来解,但要注意 x 的范围.
x2 y2 【典型例题 1】 已知双曲线 9 -16=1 的左、右焦点分别是 F1,F2,若双曲线上一点 P

使得∠F1PF2=90°,求△F1PF2 的面积.

思路分析:利用双曲线的定义,结合勾股定理来求解.

x2 y2 解:由 9 -16=1,知

a=3,b=4,

所以 c=5. 由双曲线定义及勾股定理,得 |PF1|-|PF2|=±6, |PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=102=100, 所以(|PF1|-|PF2|)2=100-2|PF1|·|PF2|, 所以|PF1|·|PF2|=32. 所以 S F1PF2 =12|PF1|·|PF2|=16.

探究二 求双曲线的标准方程 解决求双曲线的标准方程问题,主要关注三个问题:(1)注意焦点的位置,以确定双曲 线标准方程的类型;(2)求方程的关键是确定 a2,b2 的值;(3)充分利用 a2+b2=c2. 【典型例题 2】 根据下列条件,求双曲线的标准方程.
x2 y2 (1)以椭圆 8 + 5 =1 的焦点为顶点,顶点为焦点;

(2)焦距为 2 6,经过点(-5,2),且焦点在 x 轴上; x2 y2
(3)与双曲线16- 4 =1 有相同的焦点,且经过点(3 2,2);

1

(4)过点 P???3,145???,Q???-136,5???且焦点在坐标轴上.
思路分析:先根据条件确定焦点的位置再设出方程,确定参数的值.

解:(1)依题意,双曲线的焦点在 x 轴上,且 a= 3,c=2 2,所以 b2=c2-a2=5. x2 y2
所以双曲线的标准方程为 3 - 5 =1.

(2)因为焦点在 x 轴上,且 c= 6, x2 y2
所以设方程为a2-6-a2=1.

又因为过点(-5,2),

25 4 所以a2 -6-a2=1.

解得 a2=5 或 a2=30(舍去).

所以方程为x52-y2=1.

x2

y2

(3)设所求双曲线方程为16-λ -4+λ =1(-4<λ <16).

因为双曲线过点(3 2,2), 所以161-8λ -4+4λ =1, 解得 λ =4 或 λ =-14(舍去).
x2 y2 所以所求双曲线方程为12- 8 =1. (4)设双曲线方程为xm2+yn2=1(mn<0).

因为 P,Q 两点在双曲线上,

??9 225 m+16n=1, 所以
???295m6+2n5=1,

解得?????mn= =-9.16,

y2 x2 所以所求双曲线方程为 9 -16=1.

x2 y2

x2

y2

点评:在(3)中,运用了与双曲线16- 4 =1 有公共焦点的双曲线系方程16-λ -4+λ =

2

1 后,便可迅速求解.(4)中,焦点位置无法判断,可把双曲线方程设为xA2+yB2=1(AB<0)或 设为 mx2+ny2=1(mn<0),可避免分类讨论.
探究三 易错辨析 易错点 忽略双曲线方程中含有的字母的符号 【典型例题 3】 已知双曲线 8kx2-ky2=8 的一个焦点为(0,3),求 k 的值.
x2 y2 错解:将双曲线方程化为标准方程为 1 - 8 =1.
kk

由题意知焦点在 y 轴上, 所以 a2=8k,b2=1k,

所以 c= a2-b2=

81 k-k=3,

即7k=9,

所以 k=79.

错因分析:上述解法有两处错误:一是 a2,b2 确定错误,应该是 a2=-8k,b2=-1k;二 是 a,b,c 的关系式用错了,在双曲线中应为 c2=a2+b2.
正解:将双曲线方程化为 kx2-k8y2=1, x2 y2
即 1 - 8 =1. kk

因为一个焦点是(0,3), 所以焦点在 y 轴上, 所以 c=3,a2=-8k,b2=-1k,

所以 a2+b2=-8k-1k=c2=9, 所以 k=-1.

3


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