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高中数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程


第二章 圆锥曲线与方程 知识要点
1、平面内与两个定点 F )的点的轨迹称为椭圆. 1,F 2 的距离之和等于常数(大于 F 1F 2 即: | MF1 | ? | MF2 |? 2a, (2a ?| F1 F2 |) 。 这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距. 2、椭圆的几何性质:
焦点的位置 焦点在

x 轴上

焦点在

y 轴上

图形

标准方程 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2
? a ? x ? a 且 ?b ? y ? b

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2
?b ? x ? b 且 ? a ? y ? a

?1 ? ?a,0? 、 ?2 ? a,0? ?1 ? 0, ?b? 、 ?2 ? 0, b ? F1 ? ?c,0? 、 F2 ? c,0?
短轴的长 ?

?1 ? 0, ?a ? 、 ?2 ? 0, a ? ?1 ? ?b,0? 、 ?2 ? b,0?
2b
长轴的长 ?

F1 F2 ? 2c ? c 2 ? a 2 ? b 2 ?
y 轴、原点对称

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

2a

关于 x 轴、

e?

c b2 ? 1 ? 2 ? 0 ? e ? 1? a a

3、平面内与两个定点 F 1,F 2 的距离之差的绝对值等于常数(小于 F 1F 2 )的点的轨迹称 为双曲线.即: || MF1 | ? | MF2 ||? 2a, (2a ?| F1 F2 |) 。 这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距. 4、双曲线的几何性质:
焦点的位置 焦点在

x 轴上

焦点在

y 轴上

图形

标准方程 范围 顶点 轴长 焦点 焦距

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2 x ? ?a 或 x ? a , y ? R

y 2 x2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2 y ? ?a 或 y ? a , x ? R

?1 ? ?a,0? 、 ?2 ? a,0? F1 ? ?c,0? 、 F2 ? c,0?
虚轴的长 ?

?1 ? 0, ?a ? 、 ?2 ? 0, a ?
2b
实轴的长 ?

F1 F2 ? 2c ? c 2 ? a 2 ? b 2 ?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

2a

对称性 离心率

关于 x 轴、

y 轴对称,关于原点中心对称

e?
y??

c b2 ? 1 ? 2 ? e ? 1? a a

b a x y?? x a b 5、平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点 F 称为抛 物线的焦点,定直线 l 称为抛物线的准线.
渐近线方程

6、抛物线的几何性质:

y 2 ? 2 px
标准方程

y 2 ? ?2 px

x2 ? 2 py

x 2 ? ?2 py

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

图形

顶点 对称轴 焦点

? 0, 0 ?
x轴
? p ? F ? ,0? ?2 ?
x?? p 2
y


? p ? F ? ? ,0? ? 2 ?
x? p 2

p? ? F ? 0, ? 2? ?
y?? p 2

p? ? F ? 0, ? ? 2? ?
y? p 2

准线方程

离心率 范围

e ?1 x?0 x?0

y?0

y?0

数学学修 1—1 第二章圆锥曲线检测题 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.椭圆 x 2 ? my2 ? 1的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为( ) A.

1 4

B.

1 2

C.2

D.4

2.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作直线 l 交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 中点的横坐标为 3, 则 | AB | 等于( ) A.10 B.8
2 2

C.6

D.4

3.若直线 y=kx+2 与双曲线 x ? y ? 6 的右支交于不同的两点,则 k 的取值范围是( ) A. ( ?

15 15 ) , 3 3
2

B. (0 ,

15 ) 3

C. ( ?

15 , 0) 3

D. ( ?

15 , ? 1) 3

4 .过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点作直线交抛物线于 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y 2 ) 两点,若

x1 ? x2 ? 3 p ,则 | PQ | 等于( )
A.4p B.5p C.6p D.8p

5.已知两点 M (1, ), N ( ?4,? ) ,给出下列曲线方程:① 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 ;② x 2 ? y 2 ? 3 ;③

5 4

5 4

x2 x2 ? y 2 ? 1 ;④ ? y 2 ? 1 .在曲线上存在点 P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是( ) 2 2
(A)①③ (B)②④ (C)①②③ (D)②③④

x2 y2 6.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1 、 F2 ,点 A 在双曲线第一象限的 a b
图象上,若△ AF 1 F2 的面积为 1,且 tan ?AF1 F2 ? ( ) A.

1 , tan?AF2 F1 ? ?2 ,则双曲线方程为 2

12x 2 ? 3y2 ? 1 5

B.

5x 2 y 2 ? ?1 12 3

C. 3 x ?
2

12 y 2 ?1 5

D.

x2 5 y2 ? ?1 3 12

7.圆心在抛物线 y 2 ? 2 x( y ? 0) 上,并且与抛物线的准线及 x 轴都相切的圆的方程是( ) A. x ? y ? x ? 2 y ?
2 2

1 ?0 4

B. x ? y ? x ? 2 y ? 1 ? 0
2 2

C. x ? y ? x ? 2 y ? 1 ? 0
2 2

D. x ? y ? x ? 2 y ?
2 2

1 ?0 4

8.双曲线的虚轴长为 4,离心率 e ?

6 , F1 、 F2 分别是它的左、右焦点,若过 F1 的直线与 2


双曲线的右支交于 A、B 两点,且 | AB | 是 | AF2 | 的等差中项,则 | AB | 等于( A. 8 2
2

B. 4 2

C. 2 2

D.8. )

9.抛物线 ( x ? 2) ? 2( y ? m ? 2) 的焦点在 x 轴上,则实数 m 的值为( A.0 B.

3 2

C.2

D.3

10 .已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F ( 7 ,0) , 直线 y ? x ? 1 与其相交于 M , N 两点,

MN 中点横坐标为 ?

2 ,则此双曲线的方程是( 3
(B)

)

x2 y2 ? ?1 (A) 3 4
2

x2 y2 ? ?1 4 3

x2 y2 ? ?1 (C) 5 2
0

x2 y2 ? ?1 (D) 2 5


11.将抛物线 y ? x ? 4 x ? 3 绕其顶点顺时针旋转 90 ,则抛物线方程为(

(A) ( y ? 1) 2 ? 2 ? x (B) ( y ? 1) 2 ? x ? 2 (C) ( y ? 1) 2 ? 2 ? x (D) ( y ? 1) 2 ? x ? 2 12. 若直线 m x ? ny ? 4 和⊙O∶ x 2 ? y 2 ? 4 没有交点, 则过 (m, n) 的直线与椭圆 的交点个数( ) A.至多一个 B.2 个 C.1 个 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13.椭圆

x2 y2 ? ?1 9 4

D.0 个

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率为 ,则 a=________. 2 loga 8 9

14.已知直线 y ? x ? 1 与椭圆 mx2 ? ny2 ? 1 (m ? n ? 0) 相交于 A,B 两点,若弦 AB 的中点 的横坐标等于 ?

1 x2 y2 ,则双曲线 2 ? 2 ? 1 的两条渐近线的夹角的正切值等于________. 3 m n
2

15.长为 l ( 0<l<1 ) 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y ? x 上滑动,则线段 AB 中点 M 到 x 轴距离的最小值是________. 16.某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心 F 为焦点的椭圆,测得近地点 A 距离地面 m(km) , 远地点 B 距离地面 n(km) ,地球半径为 R(km) ,关于这个椭圆有以下四种说法: ①焦距长为 n ? m ;②短轴长为 (m ? R)(n ? R) ;③离心率 e ?

n?m ;④若以 AB 方 m ? n ? 2R ?(m ? R)(n ? R) 向为 x 轴正方向,F 为坐标原点,则与 F 对应的准线方程为 x ? ? ,其中 (n ? m)

正确的序号为________. 三、解答题(共 44 分) 17.(本小题 10 分)已知椭圆的一个顶点为 A(0,-1),焦点在 x 轴上.若右焦点到直线

x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为 3.
(1)求椭圆的方程; (2)设椭圆与直线 y ? kx ? m (k ? 0) 相交于不同的两点 M、N.当 AM ? AN 时,求 m 的 取值范围.

x2 y2 18.(本小题 10 分)双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右支上存在与右焦点和左准线等距 a b
离的点,求离心率 e 的取值范围.

19.(本小题 12 分)如图,直线 l 与抛物线 y 2 ? x 交于 A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) 两点,与 x 轴 相交于点 M ,且 y1 y 2 ? ?1 . (1)求证: M 点的坐标为 (1,0) ; (2)求证: OA ? OB ; (3)求 ?AOB 的面积的最小值. y

A O B M

x

20.(本小题 12 分)已知椭圆方程为 x ?
2

y2 ? 1 ,射线 y ? 2 2x (x≥0)与椭圆的交点为 8

M,过 M 作倾斜角互补的两条直线,分别与椭圆交于 A、B 两点(异于 M). (1)求证直线 AB 的斜率为定值; (2)求△ AMB 面积的最大值.

三、解答题(20 分) 21. (本小题满分 10 分) 已知直线 l 与圆 x ? y ? 2 x ? 0 相切于点 T, 且与双曲线 x ? y ? 1
2 2 2 2

相交于 A、B 两点.若 T 是线段 AB 的中点,求直线 l 的方程.

x2 y2 6 22.(10 分)已知椭圆 2 ? 2 (a>b>0)的离心率 e ? ,过点 A(0,?b) 和 B(a,0) 的直 a b 3
线与原点的距离为

3 . 2

(1)求椭圆的方程. (2)已知定点 E (?1,0) ,若直线 y ? kx ? 2 (k ? 0) 与椭圆交于 C、D 两点.问:是否存在 k 的值,使以 CD 为直径的圆过 E 点?请说明理由.

高中数学学修 1—1 第二章圆锥曲线检测题参考答案 1. A 2.B 3 D 4 A 5 D 6 A 7 D 8A 13. 4 2 或 9 6 14. 9 B 10 D 11 B 12 B

4 3

15.

l2 4

16.①③④

17.(1)依题意可设椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1 ,则右焦点 F( a 2 ? 1,0 )由题设 a2
2

a2 ?1 ? 2 2 2

?3

解得 a ? 3

故所求椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 3

x2 ? y 2 ? 1 ………………………………………………4 分. 3
? y ? kx ? m (2)设 P 为弦 MN 的中点,由 ? ? x2 2 ? ? y ?1 ?3
得 (3k 2 ? 1) x 2 ? 6mkx? 3(m 2 ? 1) ? 0

由于直线与椭圆有两个交点,? ? ? 0, 即 m ? 3k ? 1
2 2

①………………6 分

? xp ?

xM ? x N 3m k ?? 2 2 3k ? 1

从而 y p ? kx p ? m ?

m 3k 2 ? 1

? k Ap ?
?

yp ?1 xp

??

m ? 3k 2 ? 1 3mk

又 AM ? AN ,? AP ? MN ,则
2

m ? 3k 2 ? 1 1 ?? 3m k k

即 2m ? 3k ? 1
2

②…………………………8 分 由②得

把②代入①得 2m ? m

解得 0 ? m ? 2

k2 ?

2m ? 1 ? 0 解得 3

m?

1 2

.故所求 m 的取范围是( ,2 )……………………………………10 分

1 2

18.设 M ( x0, y 0 ) 是双曲线右支上满足条件的点,且它到右焦点 F2 的距离等于它到左准线的距 离 MN2 ,即 MF2 ? MN ,由双曲线定义可知

MF1 MN

?e

?

MF1 MF2

? e ……5 分

由焦点半径公式得 而 x0 ? a

ex0 ? a ?e ex0 ? a
a(1 ? e) ?a e2 ? e

? x0 ?


a (1 ? e) …………………………7 分 e2 ? e

?

e 2 ? 2e ? 1 ? 0 解 得 1 ? 2 ? e ? 2 ? 1 但

e ?1

?1 ? e ? 2 ? 1 ……………………………………10 分

19. (1 ) 设 M 点的坐标为 ( x0 ,0) , 直线 l 方程为 x ? my ? x0 , 代入 y 2 ? x 得

① y1 , y2 是此方程的两根, y 2 ? my ? x0 ? 0 ∴ x0 ? ? y1 y2 ? 1 ,即 M 点的坐标为(1, 0). (2 ) ∵ y1 y 2 ? ?1 ∴ x1 x2 ? y1 y2 ? y1 y2 ? y1 y2 ? y1 y2 ( y1 y2 ? 1) ? 0 ∴ OA ? OB . (3)由方程①, y1 ? y 2 ? m , y1 y 2 ? ?1 , 且 | OM |? x0 ? 1, 于是 S ?AOB ?
2 2

1 1 1 m 2 ? 4 ≥1, ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 = | OM || y1 ? y 2 |? 2 2 2 ∴ 当 m ? 0 时, ?AOB 的面积取最小值 1.
斜率 k 存在,不妨设 k>0,求出 M (

20.解析:(1)∵

2 ,2).直线 MA 方程为 2

y ? 2 ? k(x ?

2 2 ) ,直线 AB 方程为 y ? 2 ? ?k ( x ? ). 2 2
2k 2 ? 4k 2 . ? 2 k ?8 2

2 分别与椭圆方程联立,可解出 x A ? 2k2 ? 4k ? 2 , xB ? k ?8 2



y A ? y B k ( x A ? xB ) ? ?2 2. ∴ x A ? xB x A ? xB

k AB ? 2 2 (定值).
y2 ? 1 联立,消去 y 得 16x 2 ? 4 2mx 8

(2)设直线 AB 方程为 y ? 2 2 x ? m ,与 x ?
2

? (m2 ? 8) ? 0 .
由 ? ? 0 得 ? 4 ? m ? 4 ,且 m ? 0 ,点 M 到 AB 的距离为 d ? 设 ?AMB 的面积为 S . ∴

|m| . 3

1 1 2 1 16 2 | AB | 2 d 2 ? m (16 ? m 2 ) ? ?( ) ? 2 . 4 32 32 2 当 m ? ?2 2 时,得 Smax ? 2 . S2 ?

21.解:直线 l 与 x 轴不平行,设 l 的方程为 x ? ky ? a 代入双曲线方程 整理得

(k 2 ? 1) y 2 ? 2kay ? a 2 ? 1 ? 0
yT ? y A ? yB ak ?? 2 2 k ?1

……………………3 分

而 k ?1 ? 0
2

,于是

从而 xT ? ky T ? a ? ?

a ak a , ) ……5 分 即 T( 2 k ?1 1? k 1? k 2
2

? 点 T 在圆上
由圆心 O ?(?1,0)

ak 2 a 2 2a ?( ) ?( ) ? ?0 2 2 1? k 1? k 1? k 2
. O ?T ? l 得 kO?T ? kl ? ?1

即k ? a ? 2
2


2

则 k ?0

或 k ? 2a ? 1

当 k ? 0 时,由①得 a ? ?2,

? l 的方程为 x ? ?2 ;

2 当 k ? 2a ? 1 时, 由①得 a ? 1 K ? ? 3,?l 的方程为 x ? ? 3 y ? 1 .故所求直线 l 的方程

为 x ? ?2 或 x ? ? 3 y ? 1 …………………………10 分 22.解:(1)直线 AB 方程为: bx ? ay ? ab ? 0 .

?c 6 , ? ? 3 ?a 依题意 ? 3 ? ab ? 2 2 ? 2 ? a ?b
∴ 椭圆方程为

解得

?a ? 3 , ? ?b ? 1

x2 ? y2 ? 1 . 3

(2)假若存在这样的 k 值,由 ? ∴

? y ? kx ? 2, ?x ? 3 y ? 3 ? 0
2 2

得 (1 ? 3k 2 ) x ? 12kx ? 9 ? 0 .
2

? ? (12k )2 ? 36(1 ? 3k 2 ) ? 0 .



12k ? x1 ? x2 ? ? , ? ? 1 ? 3k 2 设 C ( x1 , y1 ) 、 D( x2 , y 2 ) ,则 ? ?x ? x ? 9 ? 1 2 1 ? 3k 2 ?
而 y1 ? y2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? k x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 .
2



要使以 CD 为直径的圆过点 E(-1,0),当且仅当 CE⊥DE 时,则 即 y1 y2 ? ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? 0 . ∴

y1 ? y2 ? ?1 , x1 ? 1 x2 ? 1

(k 2 ? 1) x1 x2 ? 2(k ? 1)(x1 ? x2 ) ? 5 ? 0 .
7 7 .经验证, k ? ,使①成立. 6 6



将②式代入③整理解得 k ? 综上可知,存在 k ?

7 ,使得以 CD 为直径的圆过点 E. 6


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