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2.2.1第二课时 双曲线方程及几何性质的应用34


※高二文科班数学课堂学习单 34※ 班级 姓名 2.2.1

小组

一,学习目标: 1、 理解直线与椭圆的位置关系 2、 能点差法解决弦的中点问题 二,自学导航: y2 1.设 A、B 双曲线 x2- =1 上的两点,AB 中点为 M(1,2).求(1)直线 AB 的方程; 2 (2)△OAB 的面积(O 为坐标原点).

小结:在弦的问题中,经常遇到与弦中点有关的问题,这种问题经常用点差法解决,另 外要注意灵活转化,如垂直、相等的问题也可转化为中点、弦长问题来解决.

2,B 地在 A 地的正东方向 4 km 处,C 地在 B 地的北偏东 30° 方向 2 km 处, 河流的沿岸 PQ(曲线)上任意一点到 A 地的距离比到 B 地的距离远 2 km.现要 在河岸 PQ 上选一处 M 建码头,向 B,C 两地转运货物.经测算,修建公路 的费用是 a 万元/km,求修建这两条公路的最低费用.

小结:费用最低即公路的长度最短,即求|MB|+|MC|的最小值,又|MB|,|MA|存在数量 关系,故考虑根据双曲线的定义将所求长度转化为研究|MA|+|MC|的大小即可. 4,我生成的问题: 三,我的收获:本节课的知识结构、学到的方法、易错点

四,课堂检测: x2 y2 1.已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点是 F2(2,0),离心率 e=2. a b (1)求双曲线 C 的方程; (2)若斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C 相交于两个不同的点 M,N,线段 MN 的垂直平分线 与两坐标轴围成的三角形的面积为 4,求直线 l 的方程.

,五,作业 1.如图,ax-y+b=0 和 bx2+ay2=ab(ab≠0)所表示的曲线只可能是( )

2.中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的实轴与虚轴长相等,一个焦点到一条渐近线 的距离为 2,则双曲线方程为( A.x2-y2=2 ) C.x2-y2=1 1 D.x2-y2= 2

B.x2-y2= 2

3.已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两 点,且 AB 的中点为 N(-12,-15),则 E 的方程为( x y A. - =1 3 6
2 2

) x2 y2 D. - =1 5 4

x y B. - =1 4 5

2

2

x y C. - =1 6 3

2

2

x2 y2 y2 4.(2011· 浙江高考)已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)与双曲线 C2:x2- =1 有公共的 a b 4 焦点,C2 的一条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A,B 两点.若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则( 13 A.a2= 2 ) B.a2=13 C.b2= 1 2 D.b2=2

5.已知双曲线方程为 x2-y2=1,双曲线左支上一点 P(a,b)到直线 y=x 的距离是 2, 则 a+b=________. 5 x2 y2 6. 若 m>0, 点 P(m,)在双曲线 - =1 上, 则点 P 到该双曲线左焦点的距离为_______. 2 4 5 x2 y2 7.设 F1、F2 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在 a b 点 P,满足|PF2|=|F1F2|,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近 线方程为________.

※高二文科班数学课堂学习单 32※ 班级 姓名 2.2.1

小组

一,学习目标: 2、 理解直线与椭圆的位置关系 2、 能点差法解决弦的中点问题 二,自学导航: y2 1.设 A、B 双曲线 x2- =1 上的两点,AB 中点为 M(1,2).求(1)直线 AB 的方程; 2 (2)△OAB 的面积(O 为坐标原点). 解:(1)法一:(用根与系数的关系解决) 显然直线 AB 的斜率存在. 设直线 AB 的方程为 y-2=k(x-1), y=kx+2-k, ? ? 即 y=kx+2-k,由? 2 y2 ? ?x - 2 =1, 得(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), x1+x2 k?2-k? 则 1= = ,解得 k=1 2 2-k2 当 k=1,满足 Δ>0,∴直线 AB 的方程为 y=x+1. 法二:(用点差法解决)

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则

? ? y ?x - 2 =1,
2 2 2 2

y2 1 x2 - =1, 1 2

1 两式相减得(x1-x2)(x1+x2)= (y1-y2)(y1+y2). 2 y1-y2 2?x1+x2? ∵x1≠x2,∴ = , x1-x2 y1+y2 ∴kAB= 2×1×2 =1, 2×2

∴直线 AB 的方程为 y=x+1, y2 代入 x2- =1 满足 Δ>0. 2 ∴直线 AB 的方程为 y=x+1.
?y=x+1, ? (2)法一:由? 2 2 消去 y 得 x2-2x-3=0 ?2x -y =2, ?

解得 x=-1 或 x=3 ,

∴A(-1,0),B(3,4) 1 S△OAB= · |OA|· 4=2. 2
? ?y=x+1, 法二:由? 2 2 消去 y 得 x2-2x-3=0 ?2x -y =2, ?

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=2,x1x2=-3, ∴|AB|= 2 ?x1+x2?2-4x1x2

= 2× 4+12=4 2 O 到 AB 的距离为 d= 1 2 = . 2 2

1 1 2 ∴S△AOB= |AB|· d= ×4 2× =2. 2 2 2 小结:在弦的问题中,经常遇到与弦中点有关的问题,这种问题经常用点差法解决,另 外要注意灵活转化,如垂直、相等的问题也可转化为中点、弦长问题来解决.

2,B 地在 A 地的正东方向 4 km 处,C 地在 B 地的北偏东 30° 方向 2 km 处, 河流的沿岸 PQ(曲线)上任意一点到 A 地的距离比到 B 地的距离远 2 km.现要 在河岸 PQ 上选一处 M 建码头,向 B,C 两地转运货物.经测算,修建公路 的费用是 a 万元/km,求修建这两条公路的最低费用. [巧思] [妙解] 以 AB 所在的直线为 x 轴,AB 的中点为原点建立平面直角坐标系, y2 由已知可得 C(3, 3),又|MA|-|MB|=2<|AB|,故点 M 的轨迹是双曲线 x2- =1 的右支, 3 总费用为 a|MB|+a|MC|=a(|MB|+|MC|). 因为|MB|+|MC|=|MA|-2+|MC|≥|AC|-2=2 7-2, 当 M, A, C 三点共线时等号成立, 故总费用最低为(2 7-2)a 万元. 小结:费用最低即公路的长度最短,即求|MB|+|MC|的最小值,又|MB|,|MA|存在数量 关系,故考虑根据双曲线的定义将所求长度转化为研究|MA|+|MC|的大小即可. 4,我生成的问题:

三,我的收获:本节课的知识结构、学到的方法、易错点 四,课堂检测: x2 y2 1.已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点是 F2(2,0),离心率 e=2. a b (1)求双曲线 C 的方程;

(2)若斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C 相交于两个不同的点 M,N,线段 MN 的垂直平分线 与两坐标轴围成的三角形的面积为 4,求直线 l 的方程. 解:(1)由已知得 c=2,e=2,∴a=1,b= 3. y2 ∴所求的双曲线方程为 x2- =1. 3 (2)设直线 l 的方程为 y=x+m, 点 M(x1,y1),N(x2,y2)的坐标满足方程组 y=x+m, ① ? ? 2 ?2 y ? ?x - 3 =1, ② 将①式代入②式,整理得 2x2-2mx-m2-3=0.(*) x1+x2 m 设 MN 的中点为(x0,y0),则 x0= = , 2 2 3m 3m m y0=x0+m= ,所以线段 MN 垂直平分线的方程为 y- =-(x- )即 x+y-2m=0, 2 2 2 与坐标轴的交点分别为(0,2m),(2m,0), 1 可得 |2m|· |2m|=4,得 m2=2,m=± 2 2 此时(*)的判别式 Δ>0, 故直线 l 的方程为 y=x± 2.

,五,作业 一、选择题 1.如图,ax-y+b=0 和 bx2+ay2=ab(ab≠0)所表示的曲线只可能是( )

x2 y2 解析:直线方程可化为 y=ax+b,曲线方程可化为 + =1,若 a>0,b>0,则曲线 a b 表示椭圆,可排除 A、B、D,若 a>0,b<0,C 符合. 答案:C 2.中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的实轴与虚轴长相等,一个焦点到一条渐近线 的距离为 2,则双曲线方程为( A.x2-y2=2 C.x2-y2=1 )

B.x2-y2= 2 1 D.x2-y2= 2

解析: 设双曲线方程为 x2-y2=λ(λ>0), 渐近线方程为 y=± x, 焦点到直线的距离 ∴c=2,∵2λ=c2=4,∴λ=2. 答案:A

c = 2. 2

3.已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两 点,且 AB 的中点为 N(-12,-15),则 E 的方程为( x y A. - =1 3 6 x2 y2 C. - =1 6 3
2 2

)

x y B. - =1 4 5 x2 y2 D. - =1 5 4

2

2

x2 y2 解析:设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0), a b 由题意知 c=3,a2+b2=9, 设 A(x1,y1),B(x2,y2)则有:

? ?x y ?a -b =1,
2 2 2 2 2 2

x2 y2 1 1 - =1, a2 b2

两式作差得: y1-y2 b2?x1+x2? -12b2 4b2 = = = 2, x1-x2 a2?y1+y1? -15a2 5a -15-0 又 AB 的斜率是 =1, -12-3 所以 4b2=5a2,代入 a2+b2=9 得 a2=4,b2=5, x2 y2 所以双曲线标准方程是 - =1. 4 5 答案:B x2 y2 y2 4.(2011· 浙江高考)已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)与双曲线 C2:x2- =1 有公共的 a b 4 焦点,C2 的一条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A,B 两点.若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则( 13 A.a2= 2 1 C.b2= 2 ) B.a2=13 D.b2=2

解析:双曲线的渐近线方程为 y=± 2x,设直线 AB:y=2x 与椭圆 C1 的一个交点为 C(第 一象限的交点),

a 则|OC|= , 3 ∵tan∠COx=2, ∴sin∠COx= 2 1 ,cos∠COx= , 5 5

a 2a 则 C 的坐标为( , ), 3 5 3 5 代入椭圆方程得 a2 4a2 =1,∴a2=11b2. 2+ 45a 45b2

1 ∵5=a2-b2,∴b2= . 2 答案:C 二、填空题 5.已知双曲线方程为 x2-y2=1,双曲线左支上一点 P(a,b)到直线 y=x 的距离是 2, 则 a+b=________. |a-b| 解析:∵点 P(a,b)到 y=x 的距离为 2,故 = 2, 2 ∴a-b=± 2. 又∵点 P 在双曲线左支上,故 a-b<0,∴a-b=-2. 1 又∵a2-b2=1,即(a+b)(a-b)=1,∴a+b=- . 2 1 答案:- 2 5 x2 y2 6.若 m>0,点 P(m, )在双曲线 - =1 上,则点 P 到该双曲线左焦点的距离为 2 4 5 ________. 5 x2 y2 解析:P(m, )在双曲线 - =1 上,且 m>0,代入双曲线方程解得 m=3,双曲线左 2 4 5 焦点 F1(-3,0), 故|PF1|= 13 答案: 2 x2 y2 7.设 F1、F2 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在 a b 点 P,满足|PF2|=|F1F2|,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近 线方程为________. 解析:设 PF1 的中点为 M,由|PF2|=|F1F2|, 故 F2M⊥PF1,即|F2M|=2a,在 Rt△F1F2M 中,|F1M|= ?2c?2-?2a?2=2b,故|PF1|=4b, 5 13 ?3+3?2+? -0?2= . 2 2

根据双曲线定义 4b-2c=2a, 即 2b-a=c,即(2b-a)2=a2+b2, 即 3b2-4ab=0, b 即 3b=4a,故双曲线的渐近线方程是 y=± x, a 4 即 y=± x,即 4x± 3y=0. 3 答案:4x± 3y=0 三、解答题


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