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高三数学理一轮总复习课时跟踪检测:24解三角形的综合应用(江苏专用)答案解析

课时跟踪检测(二十四) 解三角形的综合应用 ?一抓基础,多练小题做到眼疾手快 1.在相距 2 km 的 A,B 两点处测量目标点 C,若∠CAB=75° ,∠CBA=60° ,则 B,C 两点之间的距离为________ km. 2 BC 解析:根据题意,可知∠ACB=45° ,根据正弦定理,可知 = ,从而有 BC sin 45° sin 75° 2× = 6+ 2 4 = 3+1. 2 2 答案: 3+1 2.已知 A,B 两地间的距离为 10 km,B,C 两地间的距离为 20 km,现测得∠ABC= 120° ,则 A,C 两地间的距离为________ km. 解析:如图所示,由余弦定理可得: AC2=100+400-2× 10× 20× cos 120° =700, ∴AC=10 7(km). 答案:10 7 3.(2016· 常州调研)在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠ABC=90° ,AB=2BC=2CD, 则 cos∠DAC=________. 解析: 由已知条件可得图形, 如图所示, 设 CD=a, 在△ACD 中, CD2=AD2+AC2-2AD× AC× cos∠DAC, ∴a2=( 2a)2+( 5a)2-2× 2a× 5a× cos∠DAC,∴cos∠DAC= 3 10 . 10 3 10 答案: 10 4.江岸边有一炮台高 30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上,由炮台顶 部测得俯角分别为 45° 和 60° ,而且两条船与炮台底部连线成 30° 角,则两条船相距 ________m. 解析:如图,OM=AOtan 45° =30(m), ON=AOtan 30° = 3 × 30=10 3(m), 3 在△MON 中,由余弦定理得, MN= 900+300-2× 30× 10 3× 3 2 = 300=10 3(m). 答案:10 3 5.某同学骑电动车以 24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶,在 点 A 处测得电视塔 S 在电动车的北偏东 30° 方向上,15 min 后到点 B 处,测得电视塔 S 在电动车的北偏东 75° 方向上,则点 B 与电视塔的 距离是________km. 15 解析:如题图,由题意知 AB=24× =6,在△ABS 中,∠BAS=30° ,AB=6,∠ABS 60 BS AB AB· sin 30° =180° -75° =105° ,∴∠ASB=45° ,由正弦定理知 = ,∴BS= =3 2 sin 30° sin 45° sin 45° (km). 答案:3 2 ?二保高考,全练题型做到高考达标 1.一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40° 的方向直线航行,30 分钟后到达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是南偏东 70° ,在 B 处观察灯塔,其方向是北偏东 65° ,那么 B,C 两点间的距离是________海里. 解析:如图所示,易知,在△ABC 中,AB=20 海里,∠CAB=30° , BC AB ∠ACB=45° ,根据正弦定理得 = , sin 30° sin 45° 解得 BC=10 2(海里). 答案:10 2 2.如图,一条河的两岸平行,河的宽度 d=0.6 km,一艘客船从码头 A 出发匀速驶往河对岸的码头 B.已知 AB=1 km,水的流速为 2 km/h, 若客船从码头 A 驶到码头 B 所用的最短时间为 6 min,则客船在静水中 的速度为________ km/h. 解析:设 AB 与河岸线所成的角为 θ,客船在静水中的速度为 v km/h,由题意知,sin θ 1 ?2 ? 1 ?2 2 0.6 3 4 1 4 = = ,从而 cos θ= ,所以由余弦定理得? ?10v? =?10×2? +1 -2×10×2×1×5,解得 v= 1 5 5 6 2. 答案:6 2 3.如图,在山腰测得山顶仰角∠CAB=45° ,沿倾斜角为 30° 的斜坡走 1 000 米至 S 点, 又测得山顶仰角∠DSB=75° ,则山高 BC 为________米. 解析:由题图知∠BAS=45° -30° =15° ,∠ABS=45° -15° =30° ,∴∠ASB=135° ,在 △ABS 中,由正弦定理可得 1 000 AB = , sin 30° sin 135° AB ∴AB=1 000 2,∴BC= =1 000. 2 答案:1 000 4.(2016· 南京四校联考)如图,为了测量两座山峰上两点 P,Q 之间 的距离,选择山坡上一段长度为 300 3米且和 P,Q 两点在同一平面内 的路段 AB 的两个端点作为观测点, 现测得∠PAB=90° , ∠PAQ=∠PBA =∠PBQ=60° ,则 P,Q 两点间的距离为________米. 解析:设 AQ∩PB=C,由图可知, ∠QAB=∠PAB-∠PAQ=30° , 又∠PBA=∠PBQ=60° ,∴∠AQB=30° , ∴△ABQ 为等腰三角形, ∴AC=CQ,BC⊥AQ.∴△PQA 为等腰三角形. ∵∠PAQ=60° , ∴△PQA 为等边三角形,故 PQ=AQ,在 Rt△ACB 中, 3 AC=AB· sin 60° =300 3× =450,∴PQ=AQ=900. 2 故 P,Q 两点间的距离为 900 米. 答案:900 5.如图所示,一艘海轮从 A 处出发,测得灯塔在海轮的北偏东 15° 方向,与海轮相距 20 海里的 B 处,海轮按北偏西 60° 的方向航行了 30 分钟后到达 C 处,又测得灯塔在海轮的北偏东 75° 的方向,则海轮的速 度为________海里/分钟. 解析:由已知得∠ACB=45° ,∠B=60° , AC AB 由正弦定理得 = , sin B sin∠ACB AB· sin B 20× sin 60° 所以 AC= = =10 6,

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