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2012高考北京理科数学试题及完全解析


2012 年普通高等学校夏季招生全国统一考试 数学(理)
本试卷共 150 分.考试时长 120 分钟. 考试结束,请将本试卷和答题纸一并交回。 第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合 题目要求的一项.

1.已知集合 A={x∈R|3x+2>0},B={x∈R|(x+1)(x-3)>0},则 A∩B=( A.(-∞,-1) C.( ? B.{-1, ?

)

2 } 3

2 ,3) 3

D.(3,+∞)

2.在复平面内,复数 A.(1,3) C.(-1,3)

10i 对应的点的坐标为( 3?i

)

B.(3,1) D.(3,-1)

3.设 a,b∈R,“a=0”是“复数 a+bi 是纯虚数”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

)

4.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为(

)

A.2

B.4

C.8

D.16

5.如图,∠ACB=90° ,CD⊥AB 于点 D,以 BD 为直径的圆与 BC 交于点 E,则(

)

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A.CE· CB=AD· DB B.CE· CB=AD· AB C.AD· AB=CD2 D.CE· EB=CD2

6.从 0,2 中选一个数字,从 1,3,5 中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数 的个数为( ) A.24 B.18 C.12 D.6

7.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是(

)

A. 28 ? 6 5 C. 56 ? 12 5

B. 30 ? 6 5 D. 60 ? 12 5

8.某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间的关系如图所示,从目前记录的结果看,前 m 年的年平均产量最高,m 的值为( )

A.5

B.7

C.9

D.11 第二部分(非选择题 共 110 分)

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二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

? x ? 2 ? t, ? x ? 3cos? (t 为参数)与曲线 ? (α 为参数)的交点个数为________. ? y ? ?1 ? t ? y ? 3sin? 1 10.已知{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和.若 a1 ? ,S2=a3,则 a2=________,Sn 2
9.直线 ? =________. 11.在△ABC 中,若 a=2,b+c=7, cosB ? ?

1 ,则 b=________. 4
???? ??? ?

12.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过抛物线 y2=4x 的焦点 F,且与该抛物线相交于 A, B 两点,其中点 A 在 x 轴上方.若直线 l 的倾斜角为 60° ,则△OAF 的面积为________.

???? ???? DE ? DC 的最大值为________.

13. 已知正方形 ABCD 的边长为 1, E 是 AB 边上的动点, DE ? CB 的值为________, 点 则 14.已知 f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2.若同时满足条件: ① x∈R,f(x)<0 或 g(x)<0; ② x∈(-∞,-4),f(x)g(x)<0. 则 m 的取值范围是________. 三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 15.已知函数 f (x) ?

(sinx ? cosx)sin2x . sinx

(1)求 f(x)的定义域及最小正周期; (2)求 f(x)的单调递增区间. 16.如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,BC=3,AC=6.D,E 分别是 AC,AB 上的 点,且 DE∥BC,DE=2,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1C⊥CD,如图 2.

图1

图2 (1)求证:A1C⊥平面 BCDE; (2)若 M 是 A1D 的中点,求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小; (3)线段 BC 上是否存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直?说明理由. 17.近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和 其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽 取了该市三类垃圾箱中总计 1 000 吨生活垃圾.数据统计如下(单位:吨): “厨余垃圾”箱 厨余垃圾 可回收物 400 30 “可回收物”箱 100 240 “其他垃圾”箱 100 30

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20 20 60 其他垃圾 (1)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误的概率; (3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别 为 a,b,c,其中 a>0,a+b+c=600,当数据 a,b,c 的方差 s2 最大时,写出 a,b,c 的值(结论不要求证明),并求此时 s2 的值. (求:s2=

1 [(x1- x )2+(x2- x )2+?+(xn- x )2] ,其中 x 为数据 x1,x2,?,xn 的平 n

均数) 18.已知函数 f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx. (1)若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求 a,b 的值; (2)当 a2=4b 时,求函数 f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1]上的最大值. 19.已知曲线 C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R). (1)若曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆,求 m 的取值范围; (2)设 m=4,曲线 C 与 y 轴的交点为 A,B(点 A 位于点 B 的上方),直线 y=kx+4 与曲 线 C 交于不同的两点 M,N,直线 y=1 与直线 BM 交于点 G.求证:A,G,N 三点共线. 20.设 A 是由 m×n 个实数组成的 m 行 n 列的数表,满足:每个数的绝对值不大于 1, 且所有数的和为零.记 S(m,n)为所有这样的数表构成的集合. 对于 A∈S(m,n),记 ri(A)为 A 的第 i 行各数之和(1≤i≤m),cj(A)为 A 的第 j 列各数之 和(1≤j≤n); 记 k(A)为|r1(A)|,|r2(A)|,?,|rm(A)|,|c1(A)|,|c2(A)|,?,|cn(A)|中的最小值. (1)对如下数表 A,求 k(A)的值; 1 1 -0.8 0.1 -0.3 -1 (2)设数表 A∈S(2,3)形如 1 1 c a b -1 求 k(A)的最大值; (3)给定正整数 t,对于所有的 A∈S(2,2t+1),求 k(A)的最大值.

1.D 由题意得,A={x|x> ?

2 },B={x|x<-1 或 x>3},所以 A∩B=(3,+∞). 3

2. D 由题意知此概型为几何概型,设所求事件为 A,如图所示,边长为 2 的正方形 区域为总度量 μ Ω ,满足事件 A 的是阴影部分区域 μ A ,故由几何概型的概率公式得:

1 22 ? ? π ? 22 4?π 4 . P ? A? ? ? 2 2 4

3. B 由已知得,“a+bi 是纯虚数” “a=0”,但“a=0” “复数 a+bi 是纯 虚数”,因此“a=0”是“复数 a+bi 是纯虚数”的必要而不充分条件. 4.C 初始:k=0,S=1, 第一次循环:由 0<3,得 S=1×20=1,k=1;
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第二次循环:由 1<3,得 S=1×21=2,k=2; 第三次循环:由 2<3,得 S=2×22=8,k=3. 经判断此时要跳出循环,因此输出的 S 值为 8. 5. A 由切割线定理得,CD2=CE· CB, 又在 Rt△CAB 中,△ACD∽△CBD, ∴CD2=AD· DB,∴CE· CB=AD· . DB 6. B 先分成两类:(一)从 0,2 中选数字 2,从 1,3,5 中任选两个所组成的无重复数字

12 的三位数中奇数的个数为 C3 ? 4= ;
2

(二)从 0,2 中选数字 0,从 1,3,5 中任选两个所组成的无重复数字的三位数中奇数的个数 为 C ? 2=6 .
2 3

故满足条件的奇数的总个数为 12+6=18. 7.B 根据三棱锥的三视图可还原此几何体的直观图为

此几何体为一个底面为直角三角形, 高为 4 的三棱锥, 因此表面积为 S= +

1 ×(2+3)×4 2

1 1 1 ×4×5+ ×4×(2+3)+ ? 2 5 ? 41 ? 5 ? 30 ? 6 5 . 2 2 2
8.C 结合 Sn 与 n 的关系图象可知,前 2 年的产量均为 0,显然

S2 ? 0 为最小,在第 2

3 年~第 9 年期间,Sn 的增长呈现持续稳定性,但在第 9 年之后,Sn 的增速骤然降低.因为 当 n=9 时,

S9 的值为最大,故 m 值为 9. 9

9.答案:2 解析:由题意知直线与曲线的参数方程可分别化为 x+y-1=0,x2+y2=9,进而求出 圆心(0,0)到直线 x+y-1=0 的距离 d ? 10.答案:1

1 2 ? ? 3 ,∴交点个数为 2. 2 2

1 2 (n ? n) 4 1 解析:由 a1 ? ,S2=a3 得, 2 1 a1+a2=a3,即 a3-a2= , 2 1 1 ∴{an}是一个以 a1 ? 为首项,以 为公差的等差数列. 2 2 1 1 1 ∴ an= +(n- ? = n . 1) 2 2 2 n 1 2 1 1 2 ∴a2=1, Sn ? (a1 ? an ) ? n ? n ? (n ? n) . 2 4 4 4
11.答案:4

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解析:由余弦定理得, cosB ?

a 2 ? c 2 ? b 2 4 ? (7 ? b) 2 ? b 2 1 ? ? ? ,解得 b=4. 2ac 2 ? 2 ? (7 ? b) 4

12.答案: 3 解析:由已知得抛物线的焦点坐标为(1,0),直线 l 的方程为 y=tan 60° (x-1),即

y ? 3x ? 3 ,
联立得 ?

? y ? 3 x ? 3, ? ? y ? 4 x. ?
2

① ②

由①得 x ?

3 y ? 1 ,③ 3
2

将③代入②并整理得 y ? 解得 y1 ? 2 3 或 y2 ? ? 又点 A 在 x 轴上方, ∴A(3, 2 3 ). ∴ S?OAF ?

4 3 y ?4 ? 0, 3

2 3. 3

1 1 ?|OF |?|y1| ? ?1? 2 3 ? 3 . 2 2
1

13.答案:1

? ??? ??? ??? ? ? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? 解析: DE · =( DA + AE )· =( CB + AE )· =| CB |2+ AE · . CB CB CB CB ? ??? ??? ? ??? ??? ? ? CB 因为 AE ⊥ CB ,所以 AE · =0. ??? ??? ? ? 2 CB 所以 DE · =1 +0=1. ???? ??? ???? ? ??? ??? ???? ??? ???? ??? ???? ? ? ? ? DC DC DC DC DE · =( DA + AE )· = DA · + AE · =λ| DC |2(0≤λ≤1), ??? ???? ? DC 的最大值为 1. ∴ DE ·
14.答案:(-4,-2) 解析:(一)由题意可知,m≥0 时不能保证对 x∈R,f(x)<0 或 g(x)<0 成立. (1)当 m=-1 时,f(x)=-(x+2)2,g(x)=2x-2,此时显然满足条件①; (2)当-1<m<0 时,2m>-(m+3),要使其满足条件①, 则需 ?

??1 ? m ? 0, 解得-1<m<0; ?2m ? 1,

(3)当 m<-1 时,-(m+3)>2m,要使其满足条件①, 则需 ?

? m ? ?1, 解得-4<m<-1. ? ?( m ? 3) ? 1,

因此满足条件①的 m 的取值范围为(-4,0). (二)在满足条件①的前提下,再探讨满足条件②的 m 的取值范围. (1)当 m=-1 时,在(-∞,-4)上,f(x)与 g(x)均小于 0,不合题意; (2)当 m<-1 时,则需 2m<-4,即 m<-2,所以-4<m<-2; (3)当-1<m<0 时,则需-(m+3)<-4,即 m>1,此时无解. 综上所述满足①②两个条件的 m 的取值范围为(-4,-2). 15.解:(1)由 sinx≠0 得 x≠kπ(k∈Z), 故 f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}. 因为 f (x) ?

(sinx ? cosx)sin2x sinx

=2cosx(sinx-cosx) =sin2x-cos2x-1
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= 2sin(2x ?

π ) ?1, 4 2π ? π. 2

所以 f(x)的最小正周期 T ?

(2)函数 y=sinx 的单调递增区间为

π π ,2kπ+ ](k∈Z). 2 2 π π π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,x≠kπ(k∈Z), 2 4 2 π 3π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,x≠kπ(k∈Z). 8 8 π 3π 所以 f(x)的单调递增区间为[kπ- ,kπ)和(kπ,kπ+ ](k∈Z). 8 8
[2kπ- 16.解:(1)因为 AC⊥BC,DE∥BC, 所以 DE⊥AC.所以 DE⊥A1D,DE⊥CD. 所以 DE⊥平面 A1DC. 所以 DE⊥A1C. 又因为 A1C⊥CD,所以 A1C⊥平面 BCDE. (2)如图,以 C 为坐标原点,建立空间直角坐标系 C-xyz,

则 A1(0,0, 2 3 ),D(0,2,0),M(0,1, 3 ),B(3,0,0),E(2,2,0). 设平面 A1BE 的法向量为 n=(x,y,z),

A 则 n· 1 B =0,n· =0. BE ????
?3 x ? 2 3 z ? 0, ? ? ? x ? 2 y ? 0. ?

????

??? ?

又 A1 B =(3,0, ?2 3 ), BE =(-1,2,0), 所以 ?

??? ?

令 y=1,则 x=2, z ? 3 . 所以 n=(2,1, 3 ). 设 CM 与平面 A1BE 所成的角为 θ. 因为 CM =(0,1, 3 ),

???? ?

???? ? ???? ? n ? CM 4 2 ? 所以 sin ? ? cos n, CM ? , ???? ? ? 2 8? 4 n CM
所以 CM 与平面 A1BE 所成角的大小为

π . 4

(3)线段 BC 上不存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直. 理由如下: 假设这样的点 P 存在,设其坐标为(p,0,0),其中 p∈[0,3] . 设平面 A1DP 的法向量为 m=(x,y,z),
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A 则 m· 1 D =0,m· =0. DP ???? ?
?2 y ? 2 3 z ? 0, ? ? px ? 2 y ? 0. ?

???? ?

??? ?

又 A1 D =(0,2, ?2 3 ), DP =(p,-2,0), 所以 ?

??? ?

令 x=2,则 y=p, z ? 所以 m=(2,p,

p . 3

p ). 3

平面 A1DP⊥平面 A1BE,当且仅当 m· n=0, 即 4+p+p=0. 解得 p=-2,与 p∈[0,3]矛盾. 所以线段 BC 上不存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直. 17.解:(1)厨余垃圾投放正确的概率约为

“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量 400 2 = ? . 厨余垃圾总量 400 ? 100 ? 100 3 (2)设生活垃圾投放错误为事件 A,则事件 A 表示生活垃圾投放正确. 事件 A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与
“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量, 即 P( A )约为

400 ? 240 ? 60 ? 0.7 , 1000

所以 P(A)约为 1-0.7=0.3. (3)当 a=600,b=c=0 时,s2 取得最大值.

1 (a+b+c)=200, 3 1 所以 s2= ×[(600-200)2+(0-200)2+(0-200)2]=80 000. 3
因为 x = 18.解:(1)f′(x)=2ax,g′(x)=3x2+b. 因为曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线, 所以 f(1)=g(1),且 f′(1)=g′(1). 即 a+1=1+b,且 2a=3+b. 解得 a=3,b=3. (2)记 h(x)=f(x)+g(x),

1 2 1 a 时,h(x)=x3+ax2+ a2x+1, 4 4 1 2 h′(x)=3x2+2ax+ a . 4 a a 令 h′(x)=0,得 x1 ? ? , x2 ? ? . 2 6
当 b= a>0 时,h(x)与 h′(x)的情况如下: x h′(x) h(x) (-∞, ? +

a ) 2

?

a 2

(?

a a ,? ) 2 6


?

a 6

(?

a ,+∞) 6


0

0

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所以函数 h(x)的单调递增区间为(-∞, ? 单调递减区间为( ? 当?

a a )和( ? ,+∞); 2 6

a a , ? ). 2 6

a ≥-1,即 0<a≤2 时, 2

函数 h(x)在区间(-∞,-1]上单调递增,h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为 h(-

1 2 a. 4 a a 当 ? <-1,且 ? ≥-1,即 2<a≤6 时, 2 6 a a 函数 h(x)在区间(-∞, ? )内单调递增,在区间( ? ,-1]上单调递减,h(x)在区间 2 2 a (-∞,-1]上的最大值为 h( ? ) ? 1 . 2 a 当 ? <-1,即 a>6 时, 6 a a a a 函数 h(x)在区间(-∞,? )内单调递增, 在区间( ? ,? )内单调递减, 在区间( ? , 2 2 6 6
1)=a- -1]上单调递增,

a 1 1 )-h(-1)=1-a+ a2= (a-2)2>0, 2 4 4 a 所以 h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为 h( ? ) ? 1 . 2
又因为 h( ? 19.解:(1)曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆,

? ?5 ? m ? 0, ? 当且仅当 ?m ? 2 ? 0, ? 8 8 ? ? , ?5 ? m m ? 2 7 7 解得 <m<5,所以 m 的取值范围是( ,5). 2 2
(2)当 m=4 时,曲线 C 的方程为 x2+2y2=8,点 A,B 的坐标分别为(0,2),(0,-2). 由?

? y ? kx ? 4, 得(1+2k2)x2+16kx+24=0. 2 2 ? x ? 2 y ? 8,
2

因为直线与曲线 C 交于不同的两点, 所以 ? =(16k)2-4(1+2k2)×24>0,即 k ?

3 . 2

设点 M,N 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则 y1=kx1+4,y2=kx2+4, x1+x2=

?16k 24 ,x1x2= . 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 y ?2 3 x1 x ,点 G 的坐标为( 直线 BM 的方程为 y ? 2 ? 1 ,1). x1 y1 ? 2
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y2 ? 2 y ?2 , k AG ? ? 1 , x2 3 x1 y ? 2 y1 ? 2 kx2 ? 2 kx1 ? 6 所以 kAN-kAG= 2 ? ? ? x2 3x1 x2 3x1 ?16k 2? 2 ? ( x1 ? x2 ) 4 4 1 ? 2k 2 =0 , = k? ? k? 24 3 x1 x2 3 1 ? 2k 2
因为直线 AN 和直线 AG 的斜率分别为 k AN ? 即 kAN=kAG. 故 A,G,N 三点共线. 20.解:(1)因为 r1(A)=1.2,r2(A)=-1.2,c1(A)=1.1,c2(A)=0.7,c3(A)=-1.8, 所以 k(A)=0.7. (2)不妨设 a≤b.由题意得 c=-1-a-b. 又因为 c≥-1,所以 a+b≤0.于是 a≤0. r1(A)=2+c≥1,r2(A)=-r1(A)≤-1, c1(A)=1+a,c2(A)=1+b,c3(A)=-(1+a)-(1+b)≤-(1+a). 所以 k(A)=1+a≤1. 当 a=b=0 且 c=-1 时,k(A)取得最大值 1. (3)对于给定的正整数 t,任给数表 A∈S(2,2t+1)如下: a1 a2 ? a2t+1 b1 b2 ? b2t+1 任意改变 A 的行次序或列次序, 或把 A 中的每个数换成它的相反数, 所得数表 A*∈S(2,2t * +1),并且 k(A)=k(A ). 因此,不妨设 r1(A)≥0,且 cj(A)≥0(j=1,2,?,t+1). 由 k(A)的定义知,k(A)≤r1(A),k(A)≤cj(A)(j=1,2,?,t+1). 又因为 c1(A)+c2(A)+?+c2t+1(A)=0, 所以(t+2)k(A)≤r1(A)+c1(A)+c2(A)+?+ct+1(A) =r1(A)-ct+2(A)-?-c2t+1(A)= ≤(t+1)-t×(-1)=2t+1. 所以 k (A) ?

?a ? ? b
j ?1 j j ?t ? 2

t ?1

2 t ?1

j

2t ? 1 . t?2
? 第 2t+1 列

对数表 A0: 第 1 列 第 2 列 ? 第 t+1 列 第 t+2 列 1 1 ? ? 1

?1 ?

t ?1 t (t ? 2)
-1

? ?

?1 ?

t ?1 t (t ? 2)
-1

t ?1 t?2 2t ? 1 则 A0∈S(2,2t+1),且 k (A0 ) ? . t?2

t ?1 t?2

t ?1 t?2

综上,对于所有的 A∈S(2,2t+1),k(A)的最大值为

2t ? 1 . t?2

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