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2011长沙市雅礼中学省理科实验班数学考试试卷(含答案)


2011 年雅礼中学省理科实验班考试

科学素养(数学)测试题
命题人:李明利 ◆注意事项: 1. 本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟; 2. 所有题目必须在答题卷上作答,否则不予计分。 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分。每小题均给出了 A、B、C、D 的四个选项,其中有且只有一个选 项是正确的,不填、多填或错填均得0分) 1、有一正方体,六个面上分别写有数字 1、2、3、4、5、6,有三个人从不同的角度观察的 结果如图所示。如果记 6 的对面的数字为 a ,2 的对面的数字为 b ,那么 a ? b 的值为

A.3

B.7

C.8

D.11

2、右图是某条公共汽车线路收支差额 y 与乘客量 x 的图像(收支差额=车票收入-支出费用) 由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出两条建议:建议(1)是不改变 车 票价格,减少支出费用;建议(2)是不改变支出费用,提高车票价格。下面 给出四个图像(如图所示)则 y y y

y

y

1 O

1 x

1 O A

1 x

1 O A

1 x

1 O A ③

1 x

1 O A ④

1 x





A.①反映了建议(2) ,③反映了建议(1) B.①反映了建议(1) ,③反映了建议(2) C.②反映了建议(1) ,④反映了建议(2) D.④反映了建议(1) ,②反映了建议(2) ] ] 3、已知函数 y ? 3 ? ( x ? m)( x ? n) ,并且 a, b 是方程 3 ? ( x ? m)( x ? n) ? 0 的两个根,则 \ \ 实数 m, n, a, b 的大小关系可能是 A. m ? a ? b ? n B. m ? a ? n ? b C. a ? m ? b ? n D. a ? m ? n ? b

1

4、 S n = a1 ? a 2 ? ? ? a n , Tn 记 令

?

S1 ? S2 ? ? ? Sn , Tn 为 a1 ,a2 , 称 ??,an 这列数的“理想数”。 n

已知 a1 , a2 ,??, a500 的“理想数”为 2004,那么 8, a1 , a2 ,??, a500 的“理想数”为 A.2004 B.2006 C.2008 D.2010
C

5、以半圆的一条弦 BC (非直径)为对称轴将弧 BC 折叠后 与直径 AB 交于点 D ,若 长为 A.

AD 2 ? ,且 AB ? 10 ,则 CB 的 DB 3
B. 4 3 C.

A

D

O

B

4 5

4 2

D.4

6、某汽车维修公司的维修点环形分布如图。公司在年初分配给 A、B、C、D 四个维修点某种配件各 50 件。在使用前发现需将 A、B、C、D 四个维修点的这批配件分别调整为 40、45、54、61 件,但调 整只能在相邻维修点之间进行。那么要完成上述调整,最少的调动件次( n 件配件从一个维修点调 整到相邻维修点的调动件次为 n)为 A. 15 B. 16 C. 17 D. 18

二、填空题(每小题 6 分,共 48 分) 7、若 ?x ? 表示不超过 x 的最大整数(如 ?? ? ? 3, ?? 2 ? ? ?3 等) ,则 3

? ?

2? ?

? ? ? 1 1 1 ? ? ? ? ??? ? ? ? _________________。 ? ??? ? 2 ? 1? 2 ? ? 3 ? 2 ? 3 ? ? 2001 ? 2000 ? 2001 ?
A

8、 ?ABC 中,D、E 分别是 BC、AC 上的点,AE ? 2CE, BD ? 2CD , 在

AD、BE 交于点 F ,若 S ?ABC ? 3 ,则四边形 DCEF 的面积为________。
B

F

E C D

9、有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各三面,在每种颜色的旗帜上分别标有 号码 1、2、3,现任意抽取 3 面,它们的颜色与号码均不相同的概率是___________。 10、已知抛物线 y ?

1 2 ,请在抛物线的对称轴上确定一点 x ? bx 经过点 A(4,0)。设点 C(1,-3) 2

D,使得 AD ? CD 的值最大,则 D 点的坐标为_______。
2

11、三角形纸片内有 100 个点,连同三角形的顶点共 103 个点,其中任意三点都不共线。现以这些 点为顶点作三角形,并把纸片剪成小三角形,则这样的三角形的个数为__________。
y

k 12、已知点(1,3)在函数 y ? ( x ? 0) 的图像上。正方形 ABCD 的边 x k BC 在 x 轴上,点 E 是对角线 BD 的中点,函数 y ? ( x ? 0) 的图像又 x 经过 A 、 E 两点,则点 E 的横坐标为__________。
13、按下列程序进行运算(如图) 输入 X 乘以 3 否 减去 2 大于 244

A

D

E O B C x



停止

规定:程序运行到“判断结果是否大于 244”为一次运算。若 x ? 5 ,则运算进行_______次才停止; 若运算进行了 5 次才停止,则 x 的取值范围是________________。 三、解答题 (本大题共 5 小题, 12? ? 12? ? 14? ? 18? ? 16? ? 72? ) 15、已知:如图在 Rt△ABC 中,斜边 AB=5 厘米,BC= a 厘米,AC=b 厘米, a >b,且 a 、b 是方 程 x ? (m ? 1) x ? m ? 4 ? 0 的两根。
2

⑴ 求 a 和 b 的值; ⑵ ?A?B?C ? 与 ?ABC 开始时完全重合,然后让 ?ABC 固定不动,将 ?A?B?C ? 以 1 厘米/秒的 速度沿 BC 所在的直线向左移动。 ① 设 x 秒后 ?A?B?C ? 与 ?ABC 的重叠部分的面积为 y 平方厘米, 求 y 与 x 之间的函数关系式,并写出 x 的取值范围;

A'

A

M B' B C' C

② 几秒后重叠部分的面积等于

3 平方厘米? 8

16、已知⊙ O 过点 D (3,4),点 H 与点 D 关于 x 轴对称,过 H 作⊙ O 的切线交 x 轴于点 A 。 ⑴ 求 sin ?HAO 的值; ⑵ 如图,设⊙ O 与 x 轴正半轴交点为 P ,点 E 、 F 是线段 OP 上的动点(与点 P 不重合) , 连接并延长 DE 、 DF 交⊙ O 于点 B 、 C ,直线 BC 交 x 轴于点 G ,若 ?DEF 是以 EF 为底的等 腰三角形,试探索 sin ?CGO 的大小怎样变化,请说明理由。
3

y D A O H x

y D

G O F E B C P x

17、青海玉树发生 7.1 级强震,为使人民的生命财产损失降到最低,部队官兵发扬了连续作战的作 风。刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令:一分队立即出发前往距营地 30 千米的 A 镇,二分 队因疲劳可在营地休息 a(0 ? a ? 3) 小时再往 A 镇参加救灾。一分队出发后得知,唯一通往 A 镇的 道路在离营地 10 千米处发生塌方,塌方地形复杂,必须由一分队用 1 小时打通道路。已知一分队 的行进速度为 b 千米/时,二分队的行进速度为 (4 ? a) 千米/时。 ⑴ 若二分队在营地不休息, 问要使二分队在最短时间内赶到 A 镇, 一分队的行进速度至少为多 少千米/时? ⑵ 若 b =4 千米/时,二分队和一分队同时赶到 A 镇,二分队应在营地休息几小时?

4

18、如图 1、2 是两个相似比为 1 : 2 的等腰直角三角形,将两个三角形如图 3 放置,小直角三角 形的斜 边与大直角三角形的一直角边重合。 ⑴ 在图 3 中,绕点 D 旋转小直角三角形,使两直角边分别与 AC、BC 交于点 E, F ,如图 4。 求证: AE 2 ? BF 2 ? EF 2 ; ⑵ 若在图 3 中, 绕点 C 旋转小直角三角形, 使它的斜边和 CD 延长线分别与 AB 交于点 E、F , 如图 5, 此时结论 AE 2 ? BF 2 ? EF 2 是否仍然成立?若成立, 请给出证明; 若不成立, 请说明理由。 C C

图1

D

A

图2

B

A C

D 图3

B

C F E A D 图4 B A E 图5 D F B

⑶ 如图,在正方形 ABCD 中, E、F 分别是边 BC、CD 上的点,满足 ?CEF 的周长等于正方 形 ABCD 的周长的一半, AE、AF 分别与对角线 BD 交于 M、N ,试问线段 BM 、 MN 、 DN 能 否构成三角形的三边长?若能,指出三角形的形状,并给出证明;若不能,请说明理由。 A N F M B E C D

19、定义:在平面内,我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量。平面向量可以用有向线段表示, 有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向。其中大小相等,方向相同的向 量叫做相等向量。 如以正方形 ABCD 的四个顶点中某一点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出 8 个不同 的向量: AB 、 BA 、 AC 、 CA 、 AD 、 DA 、 BD 、 DB (由于 AB 和 DC 是相等向量,因此只 算一个) 。
5

⑴ 作两个相邻的正方形(如图一)。 以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作 出不同向量的个数记为 f (2) ,试求 f (2) 的值;

图一 ⑵ 作 n 个相邻的正方形(如图二)“ 一字型”排开。以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为 终点作向量,可以作出不同向量的个数记为 f (n) ,试求 f (n) 的值;

?

共 n 个正方形 图二 ⑶ 作 2 ? 3 个相邻的正方形(如图三)排开。 以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量, 可以作出不同向量的个数记为 f (2 ? 3) ,试求 f (2 ? 3) 的值;

图三 ⑷ 作 m? n 个相邻的正方形(如图四)排开。以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向 量, 可以作出不同向量的个数记为 f (m ? n) ,试求 f (m ? n) 的值。 共 m 个 正 方 形 相 连

6

2011 年雅礼中学省理科实验班考试

科学素养(数学)测试题答案与解析
一·选择题 1.B 2.B 3.B 4.D 5.C 6.A 二、填空题 7. 分析:根据[x]表示不超过 x 的最大整数,[]=[]=[1+]=1,[]=[]=1,? []=[]=1,从而得出答案.解答:解:∵[x]表示不超过 x 的最大整数, ∴ =[]+[]+?+[], =[1+]+[1+]+?+[1+], =1+1+?+1, =2000. 故答案为:2000. 8. 9. 分析:抽取 3 面旗,总共的情况计算思路为:第一面旗有 9 种,第二面有(9-1)即 8 种,第三 面有(9-1-1)即 7 种,则总的情况有 9 乘以 8 乘以 7 等于 504 种; 要求颜色和号码都不同的情况计算思路为:第一面旗还是有 9 种情况; 第二面旗的情况为:除去第一面已选的颜色外,还剩另外 2 种颜色本来是 6 种情况,但是第一面旗 肯定能确定一个号码, 所以剩下的 2 种颜色中与第一面旗选的号码必须不一样, 则选了第一面旗后, 第二面旗的选择就只有 4 种情况了; 而第一面旗和第二面旗选定后,第三面旗就已经确定唯一了, 即轮到第三面旗的时候就没的选了,前面 2 面旗已经把颜色和号码都定死了.解答:解:根据乘法 公式可知: 任意抽取 3 面旗,一共有 9×8×7=504 种情况, 三面旗颜色与号码都不一样的情况一共有 9×4×1=36 种情况∴它们的颜色与号码均不相同的概率 是=. 故答案为:
10. (2,-6) 11. 201 12. 。

13. 按下列程序进行运算(如图)

规定:程序运行到“判断结果是否大于 244”为一次运算.若 x=5,则运算进行 4 4 次才停止;若运算进行了 5 次才停止,则 x 的取值范围是 2<x≤4 14. 三、解答题 15. 16. 17. 18. 分析: (1)根据图形,即可求得 f(2)的值;
7

(2)首先求 f(1) ,f(2) ,f(3) ,f(4) ,所以得到规律为:f(n)=6n+2; (3)根据图形,即可求得 f(2×3)的值; (4)先分析特殊情况,再求得规律:f(m×n)=2(m+n)+4mn.解答:解: (1)作两个相邻的正 方形,以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数 f(2)=14; (2)分别求出作两个、三个、四个相邻的正方形(如图 1) .以其中的一个顶点为起点,另一个顶 点为终点作向量,可以作出不同的向量个数,找出规律, ∵f(1)=6×1+2=8,f(2)=6×2+2=14,f(3)=6×3+2=20,f(4)=6×4+2=26, ∴f(n)=6n+2; (3)f(2×3)=34; (4)∵f(2×2)=24,f(2×3)=34,f(2×4)=44,f(3×2)=34,f(3×3)=48,f(3×4)=62 ∴f(m×n)=2(m+n)+4mn.

8


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