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江苏省南通中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学试题

江苏省南通中学 2014-2015 学年高二上学期期中考试数学试题 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请注意文理科类,并把答案填写 在答题卡相应位置上 . ........ 1. 抛物线 x2= ??4y 的焦点坐标为 ▲ . x2 y2 2. 已知椭圆 则 P 到另一个焦点的距离 ? ? 1 上一点 P 到椭圆的一个焦点的距离为 3, 25 16 是 ▲ . 3.(文)一个圆柱的底面直径 和它的高相等,且圆柱的体积为 16? ,则圆柱的高是 ▲ . .. (理) 已知空间两点 A(1, 2, ?1), B(2,0, 2). x 轴上存在一点 P ,使得 PA ? PB ,则 P 点 坐标为 ▲ . 4.已知双曲线 ▲ . 5. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2? 的半圆面,则该圆锥的体积为 ▲ . 6.已知椭圆 4 x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线过点 P (1, ) ,则该双曲线的离心率为 2 2 3 a b x2 y2 x2 y2 ? ? 1 与双曲线 ? ? 1( a ? 0, b ? 0 )有相同的焦点 F1、F2,P 是 m n a b ▲ . 两曲线的一个交点,则 PF1 PF2 等于 7. l1 , l2 , l3 是空间三条直线,则下列命题中正确命题的个数是 ▲ . (1) l1 ? l2 , l2 ? l3 ? l1 // l3 ; (2) l1 ? l2 , l2 // l3 ? l1 ? l3 (3) l1 / /l2 / /l3 ? l1 , l2 , l3 共面 ; (4) l1 , l2 , l3 共点 ? l1 , l2 , l3 共面 8. 设 P( x, y ) 是椭圆 x2 y 2 ? ? 1 上的一点,则 2 x ? y 的最大值是 ▲ . 9 4 9. 如图,已知正三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面边长为 2 cm,高为 5 cm, 则一质点自点 A 出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点 A1 的最 短路线的长为 ▲ cm. 10. 直线 y=kx-2 与抛物线 y 2 ? 8 x 交于 A、B 两点,且 AB 的中点横坐 标为 2,则 k 的值是 ▲ . 11. 设 E、F、G、H 依次是空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的中 点,且 AC+BD=a, AC ? BD ? b ,则 EG 2 +FH 2 ? ▲ . A′ 12.如图所示,等边 ?ABC 的边长为 a,将它沿平行 于 BC 的线段 PQ 折起, 使 平面A' PQ ? 平面BPQC , 若折叠后 A ' B 的长为 d, 则 d 的最小值为 ▲ . 13. 已知 P 是椭圆 A E P B Q C x2 y 2 ? ? 1 上任意一点,EF 是圆 16 8 F M : x2 ? ( y ? 2)2 ? 1的直径,则 PE ? PF 的最 大值为 ▲ . 14.设短轴长为 2 3 的椭圆 C: 2 2 x2 ? y ? 1(a ? b ? 0) x2 ? y ? 1 和双曲线 的离心率互为倒 a 2 b2 a2 a2 数,过定圆 E 上面的每一个点都可以作两条互相垂直的直线 l1 ,l2 ,且 l1,l2 与椭圆的公共 点都只有一个的圆的方程为 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请注意文理科类,并在答题卡指定区域 内作答, ....... 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 y2 15.求与双曲线: x ? ? 1 有相同焦点,且经过点( 3 2 ,2)的双曲线标准方程,并写出 16 4 其顶点坐标,焦点坐标,离心率,渐近线方程.[来 16.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, AB (1)求证: BE 平面PAD ; CD, CD ? 2 AB, AB ? 平面PAD ,E 为 PC 的中点. (2)若 AD ? PB , 求证:PA ? 平面ABCD . B C E A B P (第 16 题) D 9 第 16 题 17.设 A ? x1,y1 ? , B ? x2,y2 ? 两点在抛物线 y ? 2x2 上, l 是 AB 的垂直平分线. (1)当且仅当 x1 ? x2 取何值时,直线 l 经过抛物线的焦点 F ?证明你的结论; (2)当直线 l 的斜率为 2 时,求 l 在 y 轴上截距的取值范围. 18. 如图, 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,BA ? AC , AB ? BB1 ? a , 直线 B1C 与平面 ABC 成 30 ? 角. (1)求证: 平面B1 AC ? 平面ABB1 A1 ; (2)求 C1 到 平面B1 AC 的距离; (3)求三棱锥 A1 -AB1C 的体积. B A (第 18 题) B1 A1 C1 C x2 y 2 19.已知圆 O:x ? y ? 4 ,若椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 过点 P(0, ? 1) ,且其长轴长等 a b 2 2 于圆 O 的直径. (1)求椭圆的方程; (2)过点 P 作两条互相垂直的直线 l1 与 l2 , l1 与圆 O 交于 A , B 两点,l2 交椭圆于另一点 C ,①设直线 l1 的斜率为 k ,求弦 AB 的长; ②求 ?ABC 面积的最大值. 3 20.已知椭圆 E 的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过 A( ?2, 0) 、 B(2,0) 、 C (1, ) 三 2 点. (1)求椭圆 E 的方程; (2)若点 D 为椭圆 E 上不同于 A 、 B 的任意一点, F ( ?1, 0) , H (1,0) ,求当 ?DFH 内 切圆的面积最大时内切圆圆心的坐标; (3)若直线 l : y ? k ( x ? 1)(k ? 0) 与椭圆 E 交于 M 、 N 两点,证明直线 AM 与 B

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