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江苏省南京师范大学附中2015-2016学年高一数学期末模拟测试一


南京师范大学附中高一数学模拟测试卷一
....... 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 3 分.请把答案填写在答卷纸相应位置上. 1. 设集合 A={-1, 1, 3}, B={a+2, a2+4}, 若 A∩B={3}, 则实数 a 的值是 2. e2ln 2 的值是 . . .

3. 函数 y=lg (2-x)的单调递减区间是

π 4. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 各个面上的对角线所在直线中,与直线 AD1 所成角是 的条数 3 是 . cm.

5. 若用半径为 2cm 的半圆形纸片卷成一个圆锥,则这个圆锥的高是 6. 给出下列命题: (1) 两条平行线与同一平面所成角相等; (2) 与同一平面所成角相等的两条直线平行; (3) 一条直线与两个平行平面所成角相等; (4) 一条直线与两个平面所成角相等,这两个平面平行. 其中正确的命题是 .(填上所有正确命题的序号)

2π 7.设单位向量 e1,e2 的夹角是 ,若(e1-2e2)⊥(ke1+e2),则实数 k 的值是 3 8.已知 f (x)=a sin3 x+b tan x+1,若 f (2)=3,则 f (2π-2)= .



9.△ABC 中,角 A,B,C 的对边 a,b,c 成等比数列,则角 B 的取值范围是



10.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,公差 d=2,Sm+2-Sm=24,则正整数 m 的值 是 . .

?2n-1, n是奇数, 11.若 an=? 则 a1+a2+…+a100= ?an-1+1,n是偶数,

12.如果 a>1,那么 a+

a2 的最小值是 a-1

. . .

?x2+1,x≥0, 13.若 f (x)=? 则满足 f (1-x2) > f (2x)的 x 的取值范围是 x<0, ?1,

14.若 4x+2x 1+m>1 对一切实数 x 成立,则实数 m 的取值范围是


........ 二、解答题:本大题共 6 小题,共 58 分.请在答卷纸指定区域内作答,解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 9 分) π 2 2 在△ABC 中,已知 A-C= ,cos B= . 2 3 (1) 求 sin C 的值; (2) 若 AC=1,求△ABC 的面积.

16. (本小题满分 9 分) 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为棱 DD1 的中点.求证: (1) BD1∥平面 EAC; (2)平面 EAC⊥平面 A B1C.
A1

D1

C1

B1 E

D

C

A

B

17. (本小题满分 10 分) 已知函数 f(x)=x2-4-k|x-2|,x∈[0,4]. (1)若 k=6,求 f(x)的最大值; (2)若 f(x)的最大值是 8,求 k 的值.

18. (本小题满分 10 分) 如图,在四棱锥 V-ABCD 中,VD⊥平面 ABCD,VD=DC=BC=2,AB=4, AB∥CD, BC⊥CD. V (1) 求证:BC⊥VC; (2) 求点 A 到平面 VBC 的距离.
D A B C

19. (本小题满分 10 分) 已知数列{an}满足:na1+(n-1)a2+…+2an-1+an=2n. (1) 求{an}的通项公式; (2) 是否存在正整数 p,q,r (p<q<r),使 ap,aq,ar 成等差数列,若存在,求出 p,q,r 的 值;若不存在,说明理由.

20. (本小题满分 10 分) 如图,已知半圆 O 的半径为 1,点 C 在直径 AB 的延长线上,且 BC=1,P 是半圆上动点,以 PC 为一边作等腰直角三角形 PCK(K 为直角顶点,且 K 和 O 在 PC 的两侧) . (1) 求四边形 OPKC 面积的最大值; K (2) 设 t= △POC的面积 ,求 t 的最大值. △PCK的面积
A O P

B

C

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分. 1. 1 2. 4 3. (-∞,2) 4. 8 5. 3cm 6. (1)(3) 7. 5 4 8. -1

π 9. (0, ] 10. 5 11. 9950 12. 3+2 2 3 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.

13. (-1,

2-1) 14. [1,+∞)

π π π 15.解:(1) C=π-A-B=π-( +C)-B,2C= -B,0<c< , 2 2 4 1 3 cos2C=1-2sin2C= ,sinC= ; 3 3 AC AB π 6 (2) = ,AB= 3,A= +C,sinA=cosC= , sinB sinC 2 3 1 2 面积= AB· ACsinA= . 2 2 16.课本习题(1)6 分(2)8 分 17.解:(1) 当 x∈[0,2]时,f(x)=x2+6x-16 最大值是 f(2)=0, 当 x∈(2,4]时,f(x)=x2-6x+8 最大值是 f(4)=0, 若 k=6,则 f(x)的最大值是 0; ………………………………………………6 分 ……………………………………8 分 ……………………………………6 分

(2)方法一:当 x∈[0,2]时,f(x)=x2+kx-2k-4, k ①当- ≤1,即 k≥-2 时,f(x)max=f(2)=0; 2 k ②当- >1,即 k<-2 时,f(x)max=f(0)=-2k-4; 2 当 x∈[2,4]时,f(x)=x2-kx+2k-4, k ①当 <3,即 k<6 时, f(x)max=f(4)=12-2k; 2 k ②当 ≥3,即 k≥6 时,f(x)max=f(2)=0; 2 当 k≥6 时,f(x)max=f(2)=0; 当-2≤k<6 时,因为 f(4)>0,所以 f (x)max=12-2k; 当 k<-2 时,f(4)>f(0),所以 f (x)max=12-2k, 综上,当 k<6 时,最大值为 12-2k;当 k≥6 时,最大值为 0, 令 12-2k=8,得 k=2.
?x +kx-2k-4,0≤x≤2, 方法二:当 x∈[0,4]时,f(x)=? 2 ?x -kx+2k-4,2<x≤4.
2

……………2 分

………………2 分

………………2 分

………………2 分

因为 y=f(x)在区间[0,4]上图象由两段抛物线段组成,且这两个抛物线开口均向上,所以其 最大值只可能是 f(0)、 f(2)、 f(4)其中之一.

又 f(0)=-2k-4, f(2)=0, f(4)=12-2k, 显然 f(4)>f(0), 所以当 k<6 时, 最大值为 f(4)=12-2k; 当 k≥6 时, 最大值为 f(2)=0. 令 12-2k=8,得 k=2. 18. (1)6 分(2)2 2. 10 分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分

19.解:评价手册 P56.9 - (1) n≥2 时,a1+a2+…+an=2n 1

?2,n=1, ? an=?0,n=2, ?2n-2,n>2. ?

(2) p≥3 时,ar=2ar-1,ar+ap >2 ar-1≥2aq,不存在; p=2 时,ap =0,ar+ap =2 ar-1, p=1 时,q≥3 , r≥4 ,ar=2ar-1,ar+ap >2 ar-1≥2aq,不存在, 综上,p=2,q=k,r=k+1,k≥3 ,k 是整数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 分 2 20.解:设∠POC=θ,0<θ<π,则 PC =5-4cos θ, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 分 1 (1)SOPKC=sin θ+ (5-4cos θ) 4 5 π 5 = + 2sin(θ- ),最大值是 + 2. 4 4 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 分

θ θ θ θ 8sin cos 8sin cos 2 2 2 2 4sin θ (2)t= = = θ θ θ θ 5-4cos θ 5-4(cos2 -sin2 ) 9sin2 +cos2 2 2 2 2 4 θ 1 4 ≤ = ,(当 tan = 时…..) ,t 的最大值是 . θ θ 3 2 3 3 9tan2 +1 2× 3× tan 2 2 8tan θ 2 8tan θ 2



. . . . . . . . . .6 分


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