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2013届高三数学章末综合测试题


2013 届高三数学章末综合测试题 导数及其应用
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 4 1 1.曲线 y= x3+x 在点?1,3?处的切线与坐标轴围成的三角面积为( ? ? 3 1 A. 9 2 B. 9 ) 1 B.?2,+∞? ? ? 1 D.?-∞,-2? ? ? 1 C. 3 2 D. 3 )

1 2.函数 y=4x2+ 的单调增区间为( x A.(0,+∞) C.(-∞,-1)

π 3.若曲线 f(x)=xsinx+1 在 x= 处的切线与直线 ax+2y+1=0 互相垂直,则实数 a 等 2 于( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2

4.设函数 f(x)=g(x)+x2,曲线 y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为 y=2x+1,则曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为( A.4 1 B.- 4 C.2 ) 1 D.- 2 )

5.已知 f(x)=x3-ax 在(-∞,-1]上递增,则 a 的取值范围是( A.a>3 C.a<3 B.a≥3 D.a≤3

6. f(x)是一个三次函数, 设 f′(x)为其导函数, 如图所示的是 y=xf′(x)的图像的一部分, 则 f(x)的极大值与极小值分别是( A.f(1)与 f(-1) C.f(2)与 f(-2) ) B.f(-1)与 f(1) D.f(-2)与 f(2)

1 1 7.若函数 f(x)= x3+ f′(1)x2-f′(2)x+3,则 f(x)在点(0,f(0))处切 3 2 线的倾斜角为( π A. 4 ) π B. 3 2π C. 3 3π D. 4

8.下图所示为函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图像,那么 y=f(x),y=g(x)的图像可能 是( )

9.若函数 f(x)在 R 上满足 f(x)=ex+x2-x+sinx,则曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线 方程是( ) B.y=3x-2 C.y=x+1 D.y=-2x+3 )

A.y=2x-1

10.如图,函数 f(x)的导函数 y=f′(x)的图像,则下面判断正确的是(

A.在(-2,1)内 f(x)是增函数 B.在(1,3)内 f(x)是减函数 C.在(4,5)内 f(x)是增函数 D.在 x=2 时,f(x)取到极小值 11.已知函数 f(x)=x3-px2-qx 的图像与 x 轴相切于(1,0)点,则 f(x)的极大值、极小值 分别为( ) 4 B.0、 27 4 C.- 、0 27 4 D.0、- 27

4 A. 、0 27

12.如右图,若函数 y=f(x)的图像在点 P 处的切线方程为 x-y+2=0,则 f(1)+f′(1) =( ) A.1 C.3 B.2 D.4

第Ⅱ卷 (非选择 共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.设 P 为曲线 C:y=x2-x+1 上一点,曲线 C 在点 P 处的切线的斜率的范围是[- 1,3],则点 P 纵坐标的取值范围是__________. 14.已知函数 f(x)=lnx+2x,g(x)=a(x2+x),若 f(x)≤g(x)恒成立,则实数 a 的取值范围 是__________. 15.设函数 y=ax2+bx+k(k>0)在 x=0 处取得极值,且曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的 切线垂直于直线 x+2y+1=0,则 a+b 的值为__________.

16.已知函数 f(x)的导函数的图像如图所示,则下列说法正确的是__________.(填写正 确命题的序号) ①函数 f(x)在区间(-3,1)内单调递减; ②函数 f(x)在区间(1,7)内单调递减; ③当 x=-3 时,函数 f(x)有极大值; ④当 x=7 时,函数 f(x)有极小值. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 17.(10 分)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2(a,b∈R). (1)若函数 f(x)在 x=1 处有极值为 10,求 b 的值; (2)若对任意 a∈[-4,+∞),f(x)在 x∈[0,2]上单调递增,求 b 的最小值. 1 18.(12 分)已知函数 f(x)=x3- x2+bx+c. 2 (1)若 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,求 b 的取值范围; (2)若 f(x)在 x=1 处取得极值,且 x∈[-1,2]时,f(x)<c2 恒成立,求 c 的取值范围. 2mx-m2+1 19.(12 分)已知函数 f(x)= (x∈R). x2+1 (1)当 m=1 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)当 m>0 时,求函数 f(x)的单调区间与极值. 1 20.(12 分)已知函数 f(x)=(a- )x2+lnx(a∈R). 2 (1)当 a=1 时,求 f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值; (2)若在区间(1,+∞)上,函数 f(x)的图像恒在直线 y=2ax 下方,求 a 的取值范围. b 21.(12 分)设函数 f(x)=lnx,g(x)=ax+ ,函数 f(x)的图像与 x 轴的交点也在函数 g(x) x 的图像上,且在此点有公共切线. (1)求 a,b 的值; (2)对任意 x>0,试比较 f(x)与 g(x)的大小. 22.(12 分)设函数 f(x)=ax3-2bx2+cx+4d(a,b,c,d∈R)的图像关于原点对称,且 x

2 =1 时,f(x)取极小值- . 3 (1)求 a,b,c,d 的值; (2)当 x∈[-1,1]时,图像上是否存在两点,使得过两点处的切线互相垂直?试证明你的 结论; 4 (3)若 x1,x2∈[-1,1],求证:|f(x1)-f(x2)|≤ . 3


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