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余弦函数的图象和性质教案


课题名称 科 目

余弦函数的图象和性质 数学 班级

授课教师

教学目标

教学重点 难点

从正弦函数的图象到余弦函数的图象,引导学生用联系的观点看问题,建 立数形结合的思想, 类比正弦函数,自主探究出余弦函数性质; 能利用五点作图法作出余弦函数在[0,2π ]上的图象; 重点:余弦函数的图象和性质。 难点: 余弦函数性质应用。 教学过程 1、用五点作图法画出 y ? sin x 在 ?0,2? ? 上的图象 2、通过图象,找出 y ? sin x 的性质 3、通过诱导公式, sin( x ? 设计意图 以旧引新,类 比正弦函数的 图象和性质, 研究余弦函数

复习引入

?
2

) ? cos x 引出课题

新课讲授

(一) 、创设情境 在上一次课中,我们知道正弦函数 y=sinx 的图像,是通 过等分单位圆、平移正弦线而得到的,在精确度要求不高时, 可以采用五点作图法得到。那么,对于余弦函数 y=cosx 的图 像是不是也是这样得到的呢?有没有更好的方法呢? (二)、探究新知 一 余弦函数的图象(平移法) 由诱导公式有:与正弦函数关系 ∵y=cosx=sin(x+ 结论: (1)y=cosx, x?R 与函数 y=sin(x+ 象相同
? (2)将 y=sinx 的图象向左平移 即得 y=cosx 的图象 y 2 ? ) 2 ? ) 2

以旧引新,学 生思考正弦函 数与余弦函数 之间的关系

x?R 的图 通过诱导公 式,将余弦函 数转化为正弦 型函数。利用 旧知识研究新 问题

1
?

o 1

4 ?

3 ?

2 ?

?

2 ?

3 ?

4 ?

5 ?

6 ?

二:余弦函数的性质 观察上图可以得到余弦函数 y ? cos x 有以下性质: (1)定义域: y ? cos x 的定义域为 R (2)值域: y ? cos x 的值域为[-1,1] (3)最值:1?对于 y ? cos x 当且仅当 x=2k?,k?Z 时 ymax=1 学生根据函数 图像自主探究 余弦函数性质

当且仅当时 x=2k?+π , k?Z 时 ymin=-1 (4)周期性: y ? cos x 的最小正周期为 2? (5)奇偶性

cos ( ? x) ? cos x

(x∈R)

y ? cos x (x∈R)是偶函数
(6)单调性 增区间为[(2k+1)π ,(2k+2)π ](k∈Z) ,其值从-1 增至 1; 类比正弦函数 减区间为[2kπ , (2k+1)π ](k∈Z) ,其值从 1 减至-1。 五点作图法, 做 出 ?0,2? ? 上 三 五点法作图: 找到一个周期内重要的五个点: 余弦函数的简 图

新课讲授

?2? ,1? 两个最高点 ?0, ,1? ,
与 x 轴两个交点 ?

一个最低点 ??, - 1?

? ? ? ? 3? ? , 0 ?, ? ,0 ? ?2 ?? 2 ?

列表,描点,连线,得出余弦函数在一个周期上的图象
y
1 -

o

-1 -1 -

π 6

π 3

π 2

2π 3

5π 6

π

7π 6

4π 3

3π 2

5π 3

11π 6



x

例 画出函数 y ? cos x ? 1 ,x ? ?0,2? ? 的简图, 并求单调区间, 最值:

-

巩固新知

余弦函数性质的应用 例 1 求 y ? ?3 cos x ? 1 的最大值和最小值

当 cos x ? 1时,ymin ? ?2
解:

即?x x ? 2k? , k ? Z ?, ymin ? ?2 当 cos x ? ?1时,ymax ? 4 即?x x ? ? ? 2k? , k ? Z ?, ymax ? 4

类比正弦函数 最值解决余弦 函数最值问 题。注意取得 最值时所对的 x 的集合

例 2 判断下列函数的奇偶性

(1) f ( x) ? cos x ? 2
解:定义域为 R

? f (- x) ? cos(? x) ? 2 ? cos x ? 2 ? f ( x)
对一切 x ? R 都成立, ∴函数 f ( x) ? cos x ? 2是偶函数

(2) f ( x) ? sin x cos x
解:定义域为 R

? f (? x) ? sin(? x) cos(? x) ? ? sin x cos x ? ? f ( x)
对任意 x ? R恒成立 , ∴函数 f ( x) ? sin x cos x 是奇函数

课堂小结

课后作业

知识点:余弦函数的图象 余弦函数的性质 五点作图法 学习方法:数形结合的方法 类比的学习方法 必做题:练习 A 第 1、2、4,练习 B 第 3 题 选做题:练习 B 第 1,4 题


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