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第六讲_立体几何之点线面之间的位置关系

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第六讲 立体几何之点线面之间的位置关系 考试要求:
1、 2、 3、 熟练掌握点、线、面的概念; 掌握点、线、面的位置关系,以及判定和证明过程; 掌握点、线、面垂直、平行的性质

知识网络:
空间图形的关系

空间基本关系与公理

平行关系

垂直关系

公理

点、线、面的位置关系

判定

性质

应用

判定

性质

应用

知识要点:
1、公理 (1)公理 1:对直线 a 和平面α ,若点 A、B∈a , A、B∈α ,则 (2)公理 2:若两个平面α 、β 有一个公共点 P,则α 、β 有且只有一条过点 P 的公共直线 a (3)公理 3: 不共线的三点可确定一个平面 推论:① 一条直线和其外一点可确定一个平面 ②两条相交直线可确定一个平面 ③两条平行直线可确定一个平面 (4)公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同,那么这两个角相等. 2、空间两条不重合的直线有三种位置关系:相交、平行、异面 3、异面直线所成角θ 的范围是 00<θ ≤900 例 1、已知直线 l1 、 l 2 和 l 3 两两相交,且三线不共点. 求证:直线 l1 、 l 2 和 l 3 在同一平面上.
? C l2 A l1 l3 B

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例 2、三个平面将空间分成 k 个部分,求 k 的可能取值. 分析: 可以根据三个平面的位置情况分类讨论,按条件可将三个平面位置情况分为 5 种: (1)三个平面相互平行 (2)两个平面相互平行且与第三个平面相交 (3)三个平面两两相交且交线重合 (4)三个平面两两相交且交线平行 (5)三个平面两两相交且交线共点

例 3、已知棱长为 a 的正方体 求证:四边形 是梯形。

中,M、N 分别为 CD、AD 中点。

例 4、如图, A 是平面 BCD 外的一点 G , H 分别是 ?ABC , ?ACD 的重心, 求证: GH // BD .

A

G B M

H D N C

例 5、如图,已知不共面的直线 a, b, c 相交于 O 点, M , P 是直线 a 上的两点, N , Q 分别是 b, c 上的一 点 求证: MN 和 PQ 是异面直线 a P M
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

D1

例 6、已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,则棱 A1B1

A1 D A

? C1
B1 C B

O

Q N b

c

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所在直线与面对角线 BC1 所在直线间的距离是

直线与平面平行、平面与平面平行 1、 直线与平面的位置关系:平行、相交、在平面内

2、 直线和平面平行的判定及性质
(1) 判定 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行, 那么这条直线和这个平面平行。 (简述为线 线平行 线面平行) (2) 性质 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线 平行。(简述为线面平行 线线平行) 3、 两个平面的位置关系:平行、相交 4、 两个平面平行的判定与性质 (1) 判定 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。 (2) 性质 如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行 5、两个平行平面的距离 和两个平行平面同时垂直的直线,叫做这两个平面的公垂线.公垂线夹在平行平面间的部分.叫做这两个平面 的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度,叫做两个平行平面的距离 例 1、如图,在三棱锥 P-ABC 中,点Ο 、D 分别是 AC、PC 的中点,求证: OD//平面 PAB
P

D

A O

C

B

例 2、如图在四棱锥 P-ABCD 中,M、N 分别是 AB,PC 的中点,若 ABCD 是平行四边形, 求证:MN//平面 PAD
P

j E N

D

C

例 3、如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求证:平面 A1BD//平面

A

M

B

CB1D1

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D1

C1

A1 D

B1 C

A

B

例 4、在正方形 (1)求证:MN//平面 CDD1C1;

中,已知正方体的棱长为

,M、N 分别在其对角线 AD1 与 DB 上,若 AM=BN=x。

(2)设 MN=y,求 y=f(x)的表达式; (3)求 MN 的最小值,并求此时 x 的值; (4)求 AD1 与 BD 所成的角。

直线与平面垂直、平面与平面垂直 1、线面垂直的定义 如果直线 l 和平面α 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 l 与平面α 垂直,记作 l⊥α 。 2、线面垂直的判定及性质 (1)判定 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线就垂直于这个平面。 (2)性质 垂直于同一平面的两条直线平行。 3、线面角 直线和平面所成的角的定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所 成的角。 特别地,如果一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角为直角;一条直线和平面平行,或在平面内,我们 说它们所成的角是 0°的角, 4、二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的 棱,这两个半平面叫做二面角的面,如图所示,即为一个二面角 α —l—β 。二面角的取值范围是 。 5、 面面垂直的判定及性质 (1) 判定 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。简述为“线面垂直,则 面面垂直” 。

(2) 性质 如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
例 1、在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求证:A1C⊥平面 BC1D.
A B C D

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例 2、 如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点 D 是 AB 的中点, (I)求证:AC⊥BC1; (II)求证:AC 1//平面 CDB1; (III)求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值.

C
1

B M
1

例 3、如图所示,直三棱柱 ABC-A1B1C1,底面 ABC 中,CA=CB=1,∠BCA=90 , 棱 AA1=2,M,N 分别是 A1B1,A1A 的中点。 (1)求 BN 的长; (2)求 BA1 ,B1C 夹角的余弦值; (3)求证 A1B⊥C1M



A1

N C A B

例 4 、 已 知 四 棱 锥 P-ABCD 的 底 面 为 直 角 梯 形 , AB ∥ DC ,

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?DAB ? 90? , PA ? 底面 ABCD,且 PA=AD=DC= 1 AB =1,M 是 PB 的中点。证明:面 PAD⊥面 PCD 2

例 5、已知四棱锥 P—ABCD,底面 ABCD 是菱形, ?DAB ? 60?, PD ? 平面 ABCD,PD=AD,点 E 为 AB 中点,点 F 为 PD 中点.(1)证明平面 PED⊥平面 PAB; (2)求二面角 P—AB—F 的平面角的余弦值.

例 6. 如图所示,在斜边为 AB 的 Rt△ABC 中,过 A 作 PA⊥平面 ABC,AM⊥PB 于 M,AN⊥PC 于 N。 (1)求证:BC⊥面 PAC; (2)求证:PB⊥面 AMN; (3)若 PA=AB=4,设∠BPC=θ ,试用 tanθ 表示△AMN 的面积,当 tanθ 取何值时,△AMN 的面积最大?最大 面积是多少?


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