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人教A版数学必修五1.2《应用举例》教案

河北省武邑中学高中数学 7.应用举例教案 新人教 A 版必修 5 备课人 课题 课标要求 教 学 目 标 重点 难点 授课时间 §1.2 应用举例(4) 运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题 知识目标 技能目标 情感态度价值观 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用 巩固所学知识,加深对所学定理的理解,提高创新能力 进一步培养学生研究和发现能力, 让学生在探究中体验愉悦 的成功体验 推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目 利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题 问题与情境及教师活动 Ⅰ.课题导入 以前我们就已经接触过了三角形的面积公式,今天我们来学 习它的另一个表达公式。在 ? ABC 中,边 BC、CA、AB 上的高分别 记为 h a 、h b 、h c ,那么它们如何用已知边和角表示? 学生活动 教 学 过 程 及 方 法 h a =bsinC=csinB h b =csinA=asinC h c =asinB=bsinaA 学生回答 1 根据以前学过的三角形面积公式 S= ah,应用以上求出的高 2 的公式如 h a =bsinC 代入,可以推导出下面的三角形面积公式, S= 1 absinC,大家能推出其它的几个公式吗? 2 1 1 同理可得,S= bcsinA, S= acsinB 2 2 即:除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外, 如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦也可求出三角形 的面积。 Ⅱ.讲授新课 例 1、在 ? ABC 中,根据下列条件,求三角形的面积 S(精确到 0.1cm 2 ) (1)已知 a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5 ? ; (2)已知 B=62.7 ? ,C=65.8 ? ,b=3.16cm; 1 河北武中·宏达教育集团教师课时教案 问题与情境及教师活动 (3)已知三边的长分别为 a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm 分析:这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题,与解三角形 问题有密切的关系, 我们可以应用解三角形面积的知识, 观察已知什么, 尚缺什么?求出需要的元素,就可以求出三角形的面积。 解: (1)应用 S= S= 学生活动 1 acsinB,得 2 1 ? 14.8 ? 23.5 ? sin148.5 ? ≈90.9(cm 2 ) 2 b sin B (2)根据正弦定理, c sin C = b sin C sin B = c 教 学 过 程 及 方 法 S = 1 1 2 sin C sin A bcsinA = b 2 2 sin B A = 180 ? -(B + C)= 180 ? -(62.7 ? + 65.8 ? )=51.5 ? 学生分析回 答 sin 65.8 ? sin 51.5 ? 1 2 S = ≈4.0(cm 2 ) ? 3.16 ? sin 62.7 ? 2 (3)根据余弦定理的推论,得 cosB = c2 ? a2 ? b2 2ca 2 38.7 ? 41.4 2 ? 27.3 2 = 2 ? 38.7 ? 41.4 ≈0.7697 sinB = 应用 S= S ≈ 1 ? cos 2 B ≈ 1 ? 0.7697 2 ≈0.6384 1 acsinB,得 2 1 ? 41.4 ? 38.7 ? 0.6384≈511.4(cm 2 ) 2 例 2、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成 室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为 68m,88m,127m,这个区域的面积是多少?(精确到 0.1cm 2 )? 分析:你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗? 本题可转化为已知三角形的三边,求角的问题,再利用三角形的面积公 式求解。 解:设 a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论, 2 河北武中·宏达教育集团教师课时教案 问题与情境及教师活动 cosB= 学生活动 由学生解答, 老师巡视并 对学生解答 进行讲评小 结。 c ?a ?b 2ca 2 127 ? 68 2 ? 88 2 = ≈0.7532 2 ? 127 ? 68 2 2 2 sinB= 1 ? 0.75322 ? 0.6578 1 应用 S= acsinB 2 1 S ≈ ? 68 ? 127 ? 0.6578≈2840.38(m 2 ) 2 答:这个区域的面积是 2840.38m 2 。 例 3、在 ? ABC 中,求证: (1) 教 学 过 程 及 方 法 a 2 ? b 2 sin 2 A ? sin 2 B ? ; c2 sin 2 C (2) a 2 + b 2 + c 2 =2(bccosA+cacosB+abcosC) 分析:这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题,观察式子左右 两边的特点,联想到用正弦定理来证明 证明: (1)根据正弦定理,可设 a = b = c = k sin A sin B sin C 显然 k ? 0,所以 左边= a 2 ? b 2 k 2 sin 2 A ? k 2 sin 2 B ? c2 k 2 sin 2 C sin 2 A ? sin 2 B = =右边 sin 2 C 学生分析解 答 (2)根据余弦定理的推论, b2 ? c2 ? a2 a2 ? b2 ? c2 c2 ? a2 ? b2 右边=2(bc +ca +ab ) 2bc 2ca 2ab =(b 2 +c 2 - a 2 )+(c 2 +a 2 -b 2 )+(a 2 +b 2 -c 2 ) =a 2 +b 2 +c 2 =左边 变式练习 1:已知在 ? ABC 中,? B=30 ? ,b=6,c=6 3 ,求 a 及 ? ABC 的面 积S 提示:解有关已知两边和其中一边对角的问题,注重分情况讨论解的个 教 3 河北武中·宏达教育集团教师课时教案 问题与情

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