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黑龙江省哈尔滨市第六中学2015届高三下学期第三次模拟考试数学(理)

哈尔滨市第六中学 2015 届高三第三次模拟考试 数学试卷(理工类)
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. 已知集合 A ? {x | x 2 ? 3x ? 0} , B ? {1, a} ,且 A ? B 有 4 个子集,则实数 a 的取值范围 是( ) B. (0,1) ? (1,3) ) C. (0,1) D. (??,1) ? (3,??)

A. (0,3) 2.复数

A. 3 ? i

3?i 1 ? 等于( 1 ? 3i i

B. ? 2 i

3. 函数 y ? log 1 (sin 2 x cos A. (k? ? C. (k? ?

?

?
8

2

? cos 2 x sin ) 的单调递减区间是( 4 4

?

C. 2i

D.0 )

, k? ?

?
8

5? ), k ? Z 8

, k? ?

3? ), k ? Z 8

3? ), k ? Z 8 8 3? 5? D. (k? ? , k? ? ), k ? Z 8 8
B. (k? ?

?

, k? ?

4.等比数列 {an } 中, a3 ? 9 ,前 3 项和为 S3 ? 3 A. 1 B.-

1 2
a
3

x 2 dx ,则公比 q 的值是( ) 1 1 C. 1 或- D. -1 或- 2 2
0

?

3

5. 已知关于 x 的二项式 ( x ?

x

) n 展开式的二项式系数之和
) D. ? 2

为 32,常数项为 80,则 a 的值为( A.1 B. ? 1 C.2 6. 若两个正实数 x , y 满足

1 4 ? ? 1 ,且不等式 x y

y ? m 2 ? 3m 有解,则实数 m 的取值范围是( ) 4 A. (?1,4) B. (??,?1) ? (4,??) C. (?4,1) D. (??,0) ? (3,??) 7. 执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 8,则输出 S 的 x?
C. 10 D. 12 ? x ? 0, ? 8. 若 A 为不等式组 ? y ? 0, 表示的平面区域, 则当 a 从-2 连续变化到 1 时, 动直线 x ? y ? a ?y ? x ? 2 ? 扫过 A 中的那部分区域的面积为 ( ) A.1 B. 值为( A. 4 ) B. 8

3 2

C.

3 4
-1-

D.

7 4

9. 如图,一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为

3 ,一个内角为 60 ? 2 的菱形,俯视图为正方形,那么这个几何体的表面积为( )
A. 2 3 B. 4 3 C. 8 D. 4

10. 已知 O 为正三角形 ABC 内一点,且满足 OA ? ?OB ? (1 ? ? )OC ? 0 ,若 ?OAB 的面积与
?OAC 的面积比值为 3,则 ? 的值为(

) D. 3

A.

1 2

B. 1

C. 2

11. 过双曲线

x2 y2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0? 的左焦点 F ?? c,0? 作圆 x 2 ? y 2 ? a 2 的切线,切点为 E , a2 b2 1 延长 FE 交抛物线 y 2 ? 4cx 于点 P , O 为原点, 若 OE ? OF ? OP , 则双曲线的离心率为 2 ( )

?

?

A.

1? 5 2

B.

1? 3 2

C.

4 2 ?2 7

D.

4 2?2 7

12 . 定 义 在 ? 0, +? ? 上 的 单 调 函 数 f ( x) ? , x?? 0 ? , ? ? ,f ?

f (x ? ) 2l o?gx ? , 则 3 方程

f ( x) ? f ?( x) ? 2 的解所在区间是(
A. ? 0, ?

) C. ?1,2? D. ?2,3?

? ?

1? 2?

B. ? ,1?

?1 ? ?2 ?

第Ⅱ 卷(非选择题 共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分, 第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须做答, 第 22 题~24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 已知等差数列 {a n } 中, a1 ? a3 ? a8 ?

5? ,那么 cos( a3 ? a5 ) ? 4

.

14. 5 位同学排队,其中 3 位女生,2 位男生.如果 2 位男生不能相邻,且女生甲不能排在排 头,则排法种数为 . 15. 已知球 O 的直径 PQ ? 4 , A, B, C 是球 O 球面上的三点, ?APQ ? ?BPQ ? ?CPQ ? 30? ,
?ABC 是正三角形,则三棱锥 P ? ABC 的体积为 16. 给出下列四个结论:

.

(1)如图 Rt ?ABC 中, AC ? 2, ?B ? 90?, ?C ? 30?.

-2-

A

D E

B

C

D 是斜边 AC 上的点,CD ? CB . 以 B 为起点任作一条射线 BE 交 AC 于 E 点, 则E
点落在线段 CD 上的概率是

3 ; 2

(2)设某大学的女生体重 y?kg ? 与身高 x?cm? 具有线性相关关系,根据一组样本数据

? ? 0.85x ? 85,71,则若该 ?x y ??i ? 1,2,?, n? ,用最小二乘法建立的线性回归方程为 y
i, i

大学某女生身高增加 1cm ,则其体重约增加 0.85kg ; (3)若 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且满足 f ?x ? 2? ? ? f ?x ? ,则函数 f ( x) 的图像关于 x ? 1 对称;
2 (4)已知随机变量 ? 服从正态分布 N 1, ? , P ?? ? 4 ? ? 0.79, 则 P?? ? ?2? ? 0.21.

?

?

其中正确结论的序号为 三、解答题:本大题共 70 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) “德是”号飞船返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员救出,地面指挥中心在返回 舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心(记为 B , C , D ) .当返回舱距地面 1 万米的 P 点时 (假定以后垂直下落, 并在 A 点着陆) ,C 救援中心测得飞船位于其南偏东 60 ? 方 向,仰角为 60 ? , B 救援中心测得飞船位于其南偏西 30 ? 方向,仰角为 30 ? . D 救援中心测得 着陆点 A 位于其正东方向. (1)求 B, C 两救援中心间的距离; P (2) D 救援中心与着陆点 A 间的距离.
北 B C D A 东

-3-

18.(本小题满分 12 分) 我国新修订的《环境空气质量标准》指出空 气质量指数在 0 ? 50 为优秀,各类人群可正常活 动.市环保局对我市 2014 年进行为期一年的空气 质量监测,得到每天的空气质量指数,从中随机 抽取 50 个作为样本进行分析报告,样本数据分组 区间为 ? 5,15? , ?15, 25? , ? 25,35? , ? 35, 45? , 由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图, 如图. (1) 求 a 的值; (2) 根据样本数据,试估计这一年度的空气质量指数的平均值; (3) 如果空气质量指数不超过 15 ,就认定空气质量为“特优等级”,则从这一年的监测 数据中随机抽取 3 天的数值,其中达到“特优等级”的天数为 ? ,求 ? 的分布列和数 学期望. O 5 15 25 35 45 空气质量指数 0.032 频率 组距

a

0.020 0.018

19. (本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 平面 PAD ?平面 ABCD ,AB // CD , 在锐角 ?PAD 中

PA ? PD,并且 BD ? 2 AD ? 8 , AB ? 2DC ? 4 5 .
(1)点 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD ? 平面 PAD ; (2) 若 PA 与平面 PBD 成角 60 ? ,当面 MBD ? 平面 ABCD 时, 求点 M 到平面 ABCD 的距离.

-4-

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 E : 在x轴 的上方, C ?1,0? ,直线 PA 交椭圆 E 于点 D ,连接 DC, PB . (1)若 ?ADC ? 90 ,求△ ADC 的面积 S ; (2)设直线 PB, DC 的斜率存在且分别为 k1 , k 2 ,若 k1 ? ?k 2 , 求 ? 的取值范围.
?

x2 ? y 2 ? 1 的左,右顶点分别为 A, B ,圆 x 2 ? y 2 ? 4 上有一动点 P ,点 P 4

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ?

x ? a ln(1 ? x), g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx . 1? x

(1)若函数 f ( x) 在 x ? 0 处有极值,求函数 f ( x) 的最大值; (2) ①是否存在实数 b , 使得关于 x 的不等式 g ( x) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立?若存在, 求出 b 的取值范围;若不存在,说明理由; ②证明:不等式 ?1 ? ?

k 1 ? ln n ? ? n ? 1, 2, ???? 2 k ? 1 2 k ?1

n

-5-

考生在题(22) (23) (24)中任选一题作答,如果多做,则按所做的的第一题计分.做 题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲
CA 切⊙ O 于 A 点, DC 如图, 已知 C 点在⊙ O 直径的延长线上,

是 ?ACB 的平分线,交 AE 于 F 点,交 AB 于 D 点. (Ⅰ)求 ?ADF 的度数; (Ⅱ)若 AB ? AC ,求 AC : BC .

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? 线

? x ? ?2 ? t ? y ? 2 ? 3t

( t 为参数) ,直线 l 与曲

C : ( y ? 2) 2 ? x 2 ? 1 交于 A, B 两点.
(1)求 | AB | 的长; (2)在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点 P 的极坐标为

(2 2 ,

3? ) ,求点 P 到线段 AB 中点 M 的距离. 4

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知实数 a, b, c 满足 a ? 0, b ? 0, c ? 0 ,且 abc ? 1 . (Ⅰ)证明: (1 ? a)(1 ? b)(1 ? c) ? 8 ; (Ⅱ)证明: a ? b ?

c?

1 1 1 ? ? . a b c

-6-

哈尔滨市第六中学 2015 届高三第三次模拟考试 数学试卷(理工类)答案 一.选择题 1.B 2.D 3.B 4.C 5.C 6.B 7.B 8.D 9.D 10.A 11.A 12.C

二.填空题 13.

1 2

14.

9 3 4

15.40

16.②③④

三.解答题 17. 解: (1)由题意知 PA ? AC, PA ? AB ,则 ?PAC , ?PAB 均为直角三角形??????1 分 3 在 Rt?PAC 中, PA ? 1, ?PCA ? 60? ,解得 AC ? ??????????2 分 3 在 Rt?PAB 中, PA ? 1, ?PBA ? 30? ,解得 AB ? 3 ??????????3 分

30 万米. ??????????5 分 3 1 3 (2) sin ?ACD ? sin ?ACB ? , cos ?ACD ? ? ,??????????7 分 10 10
又 ?CAB ? 90? , BC ?

AC 2 ? BC 2 ?

又 ?CAD ? 30? ,所以 sin ?ADC ? sin(30? ? ?ACD) ? 分 在 ?ADC 中,由正弦定理,

3 3 ?1 2 10

. ?????????? 9

18.(1) 解:由题意,得 ? 0.02 ? 0.032 ? a ? 0.018 ? ? 10 ? 1 , 分 解得 a ? 0.03 . (2)解: 50 个样本中空气质量指数的平均值为

AC AD ??????????10 分 ? sin ?ADC sin ?ACD AC ? sin ?ACD 9 ? 3 AD ? ? 万米??????????12 分 sin ?ADC 13
?????1

?????2 分

X ? 0.2 ?10 ? 0.32 ? 20 ? 0.3 ? 30 ? 0.18 ? 40 ? 24.6

?????3 分

由样本估计总体,可估计这一年度空气质量指数的平均值约为 24.6 . ????4 分 (3)解:利用样本估计总体,该年度空气质量指数在 ? 5,15? 内为“特优等级”, 且指数达到“特优等级”的概率为 0.2 ,则 ?

? 1? B ? 3, ? . ? 5?
2

???5 分 ???6 分

? 的取值为 0,1, 2,3 ,
64 48 ?4? 1?1? ? 4? , P ?? ? 1? ? C3 , P ?? ? 0 ? ? C30 ? ? ? ? ??? ? ? ? 5 ? 125 ? 5 ? ? 5 ? 125
3

-7-

1 ? 1 ? ? 4 ? 12 3?1? , P ?? ? 3? ? C3 . ?????10 分 P ?? ? 2 ? ? C32 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 ? ? 5 ? 125 ? 5 ? 125
∴ ? 的分布列为:

2

3

?

0
64 125

1

2

3
1 125
??11 分

48 125

12 125

∴ E? ? 0 ?

64 48 12 1 3 ? 1? ? 2? ? 3? ? . 125 125 125 125 5
1 3 ? ) 5 5

???12 分

(或者 E? ? 3 ?

19.解法一(1)因为 BD ? 2 AD ? 8 , AB ? 4 5 ,由勾股定理得

BD ? AD ,因为平面 PAD ?平面 ABCD ,平面 PAD ? 平面 ABCD = AD , BD ? 面 ABCD ,所以 BD ? 平面 PAD BD ? 面 MBD ,所以平面 MBD? 平面 PAD ???6 分 (2)如图,因为 BD ? 平面 PAD,所以平面 PBD ? 平面 PAD, 所以 ?APD ? 60? ,做 PF ? AD 于 F ,所以 PF ? 面 ABCD ,
设面 PFC ? 面 MBD = MN , 面M PF ? 2 3 , B D ?平面 ABCD 所

M

以面 PF // 面 MBD ,所以 PF // MN ,取 DB 中点 Q ,得 CDFQ 为平行四边形,由平面

ABCD
边长得 N 为 FC 中点,所以 MN ?

1 PF ? 3 2

???12 分 z

解法二(1)同一 (2)在平面 PAD 过 D 做 AD 垂线为 z 轴,由(1) ,以 D 为原点, DA, DB 为 x , y 轴建立空间直角坐标系,设平面 PBD 法向量为

u ? ( x, y, z) ,设 P(2,0, a) ,锐角 ?PAD 所以 a ? 2 ,由
u ? DP ? 0, u ? DB ? 0 ,解得 u ? (?a,0,2) , PA ? (2,0,?a) ,
| cos ? PA, u ?|? 4a 3 2 3 ? ? 2 (舍) ,解得 a ? 2 3 或 a ? 2 3 a ?4 2
x y

设 PM ? ? PC ,解得 M (2 ? 4?,4?,2 3 ? 2 3? ) 因 为 面 MBD? 平 面 A B C D, AD ? BD , 所 以 面 MBD法 向 量 为 DA ? (0,0,4) , 所 以

DA ? DM ? 0 ,解得 ? ?

1 ,所以 M 到平面 ABD 的距离为竖坐标 3 . 2

???12 分

-8-

x12 ? y12 ? 1 . 20.(1)依题意, A(?2,0) .设 D( x1 , y1 ) ,则 4
由 ?ADC ? 90 得 k AD ? k CD ? ?1, ?
?

y1 y ? 1 ? ?1 , x1 ? 2 x1 ? 1

x12 y12 2 4 ? ? 2 ? ?1 , 解得 x1 ? , x1 ? ?2(舍去) 3 ?x1 ? 2? ? ?x1 ? 1? x1 ? x1 ? 2 1?

? y1 ?

2 2 1 2 2 , S? ? ?3 ? 2 . 3 2 3

????5 分

(2)设 D?x2 , y 2 ? , ? 动点 P 在圆 x 2 ? y 2 ? 4 上, ? k PB ? k PA ? ?1 . 又 k1 ? ?k 2 , ?

y ?x ? 2??x2 ? 1? = ? ?x2 ? 2??x2 ? 1? ?1 ? ? ? 2 , 即? ? ? 2 2 y2 x2 ? 1 x2 y2 1? 2 x2 ? 2 4

=?

?x 2 ? 2??x 2 ? 1?
1 2 4 ? x2 4

?

?

=4?

x2 ? 1 ? 1 ? ? = 4? 1 ? ?. x2 ? 2 ? x ? 2 2 ? ?

又由题意可知 x2 ? ?? 2,2? ,且 x2 ? 1 , 则问题可转化为求函数 f ?x ? ? 4?1 ?

? ?

1 ? ??x ? ?? 2,2?, 且x ? 1? 的值域. x ?2?
从而 ? 的取值范围为 ?? ?,0? ? ?0,3? ??12 分

由导数可知函数 f ?x ? 在其定义域内为减函数,

? 函数 f ?x ? 的值域为 ?? ?,0? ? ?0,3?
21.(1)由已知得: f ?( x) ?

1

?1 ? x ?

2

?

a ,且函数 f ( x) 在 x ? 0 处有极值 1? x
∴ f ( x) ?

∴ f ?(0) ?

1

?1 ? 0 ?
1

2

? ?

a ? 0 ,即 a ? 1 1? 0 1 ?x ? 1 ? x ?1 ? x ?2

x ? ln(1 ? x), 1? x

∴ f ?( x) ?

?1 ? x ?

2

当 x ? ? ?1, 0 ? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; 当 x ? ? 0, ?? ? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减; ∴函数 f ( x) 的最大值为 f (0) ? 0 (2)①由已知得: g ?( x) ?

1 ?b 1? x 1 ?b ? 0 1? x

(i)若 b ? 1 ,则 x ? ? 0, ?? ? 时, g ?( x) ?

-9-

∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 ? 0, ?? ? 上为减函数, ∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立; (ii)若 b ? 0 ,则 x ? ? 0, ?? ? 时, g ?( x) ?

1 ?b ? 0 1? x

∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 ? 0, ?? ? 上为增函数, ∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 ,不能使 g ( x) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立; (iii)若 0 ? b ? 1 ,则 g ?( x) ? 当 x ? ? 0,

1 1 ? b ? 0 时, x ? ? 1 , 1? x b

? 1 ? ? 1 ? ? 1? 时, g ?( x) ? 0 ,∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 ?0, ? 1? 上为增函数, ? b ? ? b ?
∴不能使 g ( x) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立; ????8 分

此时 g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 , 综上所述, b 的取值范围是 x ? ?1, ?? ? ②由以上得: 取x? 则 x1 ?

x ? ln(1 ? x) ? x( x ? 0) 1? x
令 xn ?

1 1 1 1 得: ? ln(1 ? ) ? n 1? n n n

?k
k ?1

n

2

k ? ln n , ?1

n 1 ? n 1 1 1 ? ? ln ?1 ? ? ?? 2 ? 0. , xn ? xn ?1 ? 2 ?? 2 n ?1 2 ? n ?1 ? n ?1 n ? n ? 1? n
1 . 2
n ?1

因此 xn ? xn ?1 ? ??? ? x1 ? 又 ln n ? 故 xn ?
n

?? ?ln k ? ln ? k ? 1? ? ? ? ln1 ? ? ln ?1 ? k ? ? ?
k ?2 k ?1

?

1?

n ?1 k n ? 1 ? n ?1 ? k ? 1 ?? ? ln ? ln ?1 ? ? ? ? 2 ? ? ?1 ? ? ? ? ? 2 2 ? k ? k ?1 ? k ? 1 ? k ?? n ? 1 k ?1 k ? 1 k ?1 n

n ?1 n ?1 n ?1 1? 1 1 1 ? k ? ?? 2 ? ? ? ?? 2 ?? ? ?1 ? ? ? 1 k? n k ?1 ? k ? 1 k ?1 ? k ? 1? k k ?1 ? k ? 1? k

??12 分

O 的切线,所以 ?B ? ?EAC ????1 分 22. (1)因为 AC 为⊙
因为 DC 是 ?ACB 的平分线,所以 ?ACD ? ?DCB ????2 分 所以 ?B ? ?DCB ? ?EAC ? ?ACD ,即 ?ADF ? ?AFD ,????3 分

O 的直径,所以 ?DAE ? 90? ????4 分. 又因为 BE 为⊙
所以 ?ADF ?

1 (180? ? ?DAE) ? 45? .????5 分 2

(2)因为 ?B ? ?EAC ,所以 ?ACB ? ?ACB ,所以 ?ACE ∽ ?BCA , 所以

AC AE ,???7 分 ? BC AB

- 10 -

在 ?ABC 中,又因为 AB ? AC ,所以 ?B ? ?? ACB ? 30? ,???8 分

Rt?ABE 中,

AC AE 3 ? ? tan B ? tan 30? ? ???10 分 BC AB 3

1 ? x ? ?2 ? t ? 2 ? 23.解:(1)直线 l 的参数方程化为标准型 ? ( t 为参数) ?? 2 分 ?y ? 2 ? 3 t ? 2 ?
代入曲线 C 方程得 t ? 4t ? 10 ? 0
2

设 A, B 对应的参数分别为 t1 , t 2 ,则 t1 ? t 2 ? ?4 , t1t 2 ? ?10 , 所以 | AB |?| t1 ? t 2 |? 2 14 (2)由极坐标与直角坐标互化公式得 P 直角坐标 (?2,2) , ?? 5 分 ?? 6 分

所以点 P 在直线 l ,

中点 M 对应参数为

t1 ? t 2 ? ?2 , 2
??10 分

由参数 t 几何意义,所以点 P 到线段 AB 中点 M 的距离 | PM |? 2

24.(1) 1 ? a ? 2 a ,1 ? b ? 2 b ,1 ? c ? 2 c ,相乘得证——————5 分 (2)

1 1 1 ? ? ? ab ? bc ? ac a b c

ab ? bc ? 2 ab2 c ? 2 b ,ab ? ac ? 2 a 2b c ? 2 a ,bc ? ac ? 2 ab c 2 ? 2 c
相加得证——————10 分

- 11 -

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