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大学物理竞赛辅导——热学


物理竞赛辅导

热 学

气体动理论
基本公式: 基本公式: 参见张三惠《大学物理学》第二册《热学》 参见张三惠《大学物理学》第二册《热学》第83页 页 特别注意: 特别注意: 1.平均碰撞频率 平均碰撞频率

z = 2 d vn π
2

1 kT = 2.平均自由程 λ = 平均自由程 2 2dn 2 d2 p π π 3.玻耳兹曼分布率:平衡态下某状态区间(粒子能量 玻耳兹曼分布率: 玻耳兹曼分布率 平衡态下某状态区间( 为E)的粒子数密度 ) ?E / kT

n = n0e

4. 范德瓦耳斯方程: 范德瓦耳斯方程: 1mol气体 气体 5. 输运过程

a ( p + 2 )(Vm ? b) = RT Vm

历届考题: 历届考题:
1.一定量的理想气体盛于容器中,则该气体分子热运动的平均 .一定量的理想气体盛于容器中, 自由程仅决定于 (A)压强 压强p 压强 (C)温度 温度T 温度 (B)体积 体积V 体积 (D)分子的平均碰撞频率 分子的平均碰撞频率 N不变 不变

λ= =

v z

1 1 V = = 2πd 2n 2πd 2N /V 2πd 2N

2. 在下面四种情况中,何种将一定能使理想气体分子平均碰撞 在下面四种情况中, 频率增大? 频率增大 (a)增大压强,提高温度 增大压强, (c)降低压强,提高温度 降低压强, 增大压强 降低压强 (b)增大压强,降低温度 增大压强, (d)降低压强,保持温度不变 降低压强, 增大压强 降低压强

p 8kT p z = 2πd nv = 2πd ? ? ∝ kT πM T
2 2

1.04×10?20 J C 时空气分子的平均动能是______________。 3.一大气压下,27 时空气分子的平均动能是______________ ______________。 .一大气压下,
o

空气主要由氮气、氧气构成,可看作双原子分子。 空气主要由氮气、氧气构成,可看作双原子分子。室温下振 动自由度未激活,分子的自由度为5, 动自由度未激活,分子的自由度为 ,所以一个分子的平均 动能为: 动能为: 5 5 kT = ×1.38×10?23 ×300 = 1.04×10?20 J 2 2 4.有一个边长为 有一个边长为10cm的立方体容器 , 内盛处于标准状态下的 的立方体容器, 有一个边长为 的立方体容器 He气,则单位时间内原子碰撞一个器壁面的次数的数量级为 气

(a)1020s?1

(b)1026s?1

(c)1032s?1

单位时间内碰一个器壁面的分子数为: 单位时间内碰一个器壁面的分子数为:

1 1 pA 8RT Γ = nvA = ? = 7.49×1025 / s 6 6 kT πM

5. 氧气在温度为 ℃ 、 压强为 个大气压时 , 分子的方均根 . 氧气在温度为27℃ 压强为1个大气压时 个大气压时, 速率为485米/秒 ,那么在温度为 ℃、 压强为 个大气压 那么在温度为27℃ 压强为0.5个大气压 速率为 米 分子的方均根速率为________ ________米 时,分子的方均根速率为________米/秒,分子的最可几速 率为________ ________米 分子的平均速率为______ ______米 率为________米/秒,分子的平均速率为______米/秒。

3kT v = m
2

8kT v= πm

2kT vp = m

三者均与压强无关,故仍有 三者均与压强无关,

v 2 = 485m/s
2 2 vp = v = 396m/s 3 8 v= v 2 = 447m/s 3π

6.某气体在温度 1时的分子最可几速率与在温度 2时的分子 某气体在温度T 时的分子最可几速率与在温度T 某气体在温度 方均根速率相等, 方均根速率相等,则T1 / T2 =_______。这种气体在压强为 。这种气体在压强为p __________ 。 时的密度为 ρ,此时它的分子方均根速率 v2 =

3kT v = m
2

8kT v= πm

2kT vp = m

2kT 3kT2 1 = m m

T / T2 = 3/ 2 1

v2 =

3kT 3nkT 3p = = m nm ρ

7.已知氮气分子的麦克斯韦速率分布曲线如图 , 试在该图上 . 已知氮气分子的麦克斯韦速率分布曲线如图, 定性画出相同温度下氢气分子的速率分布曲线。 定性画出相同温度下氢气分子的速率分布曲线。 N2 f(v) H2 v

2kT Qvp = m

又 QmN2 > mH2

kT m 32 2kT ?2m ?2m kT f (vp ) = 4π( ) ?( )? e 2πkT m 4 m 12 ) = ?( e π 2kT

∴(vP )N2 < (vP )H2

( f (vP ))N2 > ( f (vP ))H2

v v 8. 设气体分子服从麦克斯韦速率分布律, 代表平均速率,p代 设气体分子服从麦克斯韦速率分布律, 代表平均速率, 表最可几速率, 为一固定的速率间隔, 表最可几速率,?v为一固定的速率间隔,则速率在 v ± ?v 范围内的分子的百分率随着温度的增加将___________ , 范围内的分子的百分率随着温度的增加将 减少 速 率 在 vp 到 v 之 间 的 分 子 的 百 分 率 随 着 温 度 的 增 加 将 不变 _____________。 。

f (v)

T 1

T2 > T 1
矩形面积减小

O

v1 ? ?v v2 ? ?v v1 + ?v v2 + ?v

v

根据麦克斯韦速率分布律, 根据麦克斯韦速率分布律,在任意速率区间 v ~ v + ?v 内的 分子数占总分子数的百分率为: 分子数占总分子数的百分率为:

m ?N = 4π ( N 2πkT v ?( )2 4 v 2 vp ?v ( )e = vp π vp
Qvp : v = 1.41:1.59 ?v = v ? vp 设 v = vp

mv2 3 ? ) 2 e 2kT v2?v

1.59 vp = 1.13vp ∴v = 1.41
?( vp vp )2

?N 4 vp 2 ( )e = N π vp
= 4

0.13vp vp

π

×e?1 ×0.13 = 10.8%

是恒定值,不随温度而变。 是恒定值,不随温度而变。

9. 真实气体在气缸内以温度 T 等温膨胀,推动活塞作功,活 1 等温膨胀,推动活塞作功, 塞移动距离为L。 若仅考虑分子占有体积去计算功, 塞移动距离为 。 若仅考虑分子占有体积去计算功 , 比不考 虑时为( ;若仅考虑分子之间存在作用力去计算功, 虑时为 a );若仅考虑分子之间存在作用力去计算功,比不考 虑时为( 。 虑时为 b)。 (a)大;(b)小;(c)一样。 大 一样。 小 一样 可用范德瓦尔斯气体代表真实气体来粗略讨论分子体积及分子 间引力的影响。 范氏气体在T 间引力的影响。1mol范氏气体在 l温度下等温膨胀,作功为: 范氏气体在 温度下等温膨胀,作功为:

RT a V ?b 1 1 A = ∫ pdV = ∫ ( 1 ? 2 )dV = RT ln 2 + a( ? ) 1 V V V ?b V 1 1 V1 ? b V2 V1
V2 V2

V ?b V2 只考虑分子体积影响时,可取 = 只考虑分子体积影响时,可取a=0,由于 ln 2 , > ln V1 ? b V1 所以分子体积的影响是使作功增加。 所以分子体积的影响是使作功增加。 1 1 只考虑分子之间引力的影响,可取b=0 =0, 只考虑分子之间引力的影响,可取 =0,由于 a( ? ) < 0 , V2 V1 所以分之间引力的影响是使作功减少。 所以分之间引力的影响是使作功减少。

10.在地面上竖立一根弯管,管的两端各连接一个盛水容器,弯 .在地面上竖立一根弯管,管的两端各连接一个盛水容器, 管和容器都是绝热的, 设初始时两容器中的温度相同( 管和容器都是绝热的 , 设初始时两容器中的温度相同 ( 都等于 T), 管内充满温度为 的饱和水蒸汽 。 在考虑重力作用的情况 的饱和水蒸汽。 ) 管内充满温度为T的饱和水蒸汽 上述状态能否保持不变?为什么?如果发生变化, 下,上述状态能否保持不变?为什么?如果发生变化,则最终状 态与上述状态的差别何在? 态与上述状态的差别何在? 在重力作用下, 解:在重力作用下,上述状态不能保持不 变。 因为在重力作用下, 因为在重力作用下,气体平衡条件要求压 强随高度而减小,而上端容器中水与蒸汽 强随高度而减小, 平衡要求上端容器中蒸汽压为p 温度为T 平衡要求上端容器中蒸汽压为 T(温度为 时的饱和蒸汽压) 同样, 时的饱和蒸汽压 ) , 同样 , 下端容器中水 汽平衡要求下容器中蒸汽压亦为p 汽平衡要求下容器中蒸汽压亦为 T,这三 个条件不能同时成立。 个条件不能同时成立。最终状态下水将完 全出现在下端容器中。 全出现在下端容器中。

11. 如图所示,一半径为 高为 的圆筒内盛有 个气体分子, 如图所示,一半径为R高为 的圆筒内盛有N个气体分子 高为H的圆筒内盛有 个气体分子, 旋转, 每个分子的质量同为 ?,圆筒绕轴以恒角速度 ω旋转,桶内气 体的状态达到平衡后其温度为T, 体的状态达到平衡后其温度为 ,试求桶内气体分子的数密度 n的分布规律。(注:不考虑重力的影响。) 的分布规律。 的分布规律 注 不考虑重力的影响。 解:每个分子受的惯性离心力为 ?ω2r , 其相应的势能变化规律为
R N T H

? dε P = ?ω2rdr
选转轴上为势能的零点, 选转轴上为势能的零点,则
2 r ? ∫ dε P = ∫ ?ω dr 0 0 r

?

εP

所以 所以

1 2 2 ε P = ? ?ω r 2

ω
?ω2r2

n = n0e

? kT

εP

= n0e 2kT



N = ∫ n2πrHdr = 2πHn0 ∫ e 2kT rdr
0 0

R

R

?ω2r2

= 2πHn0

kT

?ω2R2
2kT



[e 2

?1]

R N T H

所以

?
N?ω n0 = /[e 2πHkT
2 2

?ω2R2
2kT

?1]
?ω2R2
2kT

N?ω 2kT n= e /[e 2πHkT

?ω2r2

ω
?1]

12.两个无限长圆筒共轴地套在一起,内筒和外筒的半径分别 .两个无限长圆筒共轴地套在一起, 内筒和外筒分别保持在恒定的温度T 为R1和R2。内筒和外筒分别保持在恒定的温度 1和T2,且T1 已知两筒间的导热系数为k,试求稳定时离轴r处的温 >T2。已知两筒间的导热系数为 ,试求稳定时离轴 处的温 度。(R1<r<R2) < 设单位长度内筒每秒向外传导的热量为Q,由于传导稳定, 解:设单位长度内筒每秒向外传导的热量为 , 由于传导稳定, 所以单位时间穿过内外筒间任一圆柱面(与内外筒共轴) 所以单位时间穿过内外筒间任一圆柱面(与内外筒共轴)单位长 度的热量亦应是Q。 度的热量亦应是 。设该处温度随半径的变化率为 ,由 热传导方程可知 dT / dr dT Q = ?k 2πr dr Q C为积分常数 为积分常数 积分得: 积分得: T = ? lnr + C 2πk r = R 时, T = T r = R2时, T = T2 1 1

Q T =? ln R + C 1 1 2πk

T2 = ?

Q ln R2 + C 2πk

解得: 解得:

Q = 2πk(T ?T2 ) / ln 1

R2 R 1

ln R 1 C = T + (T2 ?T2 ) 1 R ln 2 R 1
R 1 所以r处的温度为 处的温度为: 所以 处的温度为: T = T + (T ?T2 ) r 1 1 R2 ln R 1 ln

热力学第一定律
基本公式: 基本公式: 参见张三惠《大学物理学》第二册《热学》 参见张三惠《大学物理学》第二册《热学》第135页 页 特别注意: 特别注意: 1. 对理想气体的任何热力学过程: 对理想气体的任何热力学过程:

i ?E =νCV ,m?T = νR?T 2
2. 解题过程中不要忘记用理想气体状态方程: 解题过程中不要忘记用理想气体状态方程:

pV =νRT
3. 解题时首先把各状态的状态参量列出来。 解题时首先把各状态的状态参量列出来。

历届考题: 历届考题:
1.隔板 把绝热材料包裹的容器分为 、B两室。如图所示, .隔板C把绝热材料包裹的容器分为 把绝热材料包裹的容器分为A、 两室 如图所示, 两室。 A室内充以真实气体,B室为真空。现把 打开,A室气体充 室内充以真实气体, 室为真空 现把C打开 室为真空。 打开, 室气体充 室内充以真实气体 不变 满整个容器,在此过程中,内能应__________ __________。 满整个容器,在此过程中,内能应__________。 该过程为绝热自由膨胀, 该过程为绝热自由膨胀,Q=0, , A=0,由热一律 ?E = 0 所以内 , , 能应保持不变。 能应保持不变。 A C B

2.摩尔数相同的两种理想气体 , 第一种由单原子分子组成 , . 摩尔数相同的两种理想气体,第一种由单原子分子组成, 第二种由双原子分子组成,现两种气体从同一初态出发, 第二种由双原子分子组成 , 现两种气体从同一初态出发 , 经 历一准静态等压过程,体积膨胀到原来的两倍( 历一准静态等压过程,体积膨胀到原来的两倍(假定气体的温 度在室温附近) 在两种气体经历的过程中, 度在室温附近)。在两种气体经历的过程中,外界对气体作的 1 ________; 功 A与 A 之比为 ________;两种气体内能的变化 ?E1 ?E2 之 与 1 2之比为________ 3/5 比为________。 比为________。 ________ 准静态过程气体对外作功: 准静态过程气体对外作功:

A = ∫ pdV = p(V2 ?V1 )
V 1

V2

A 1 =1 A 2 由理想气体内能公式, 由理想气体内能公式,可知单原子分子理想气体内能变化

∴A = A = p(V2 ?V ) 1 2 1

3 3 ?E1 = vR(T2 ?T ) = p(V2 ?V1 ) 1 2 2

双原子分子理想气体内能变化
5 5 ?E2 = vR(T2 ?T ) = p(V2 ?V1 ) 1 2 2

?E1 3 = ?E2 5

3.摩尔质量为 ? 、摩尔数为 ν 的单原子理想气体进行了一次 . 的单原子理想气体进行了一次x 过程, 图上过程曲线向下平移p 恰好与温度为T 过程,在p-V图上过程曲线向下平移 0后,恰好与温度为 0的 图上过程曲线向下平移 等温曲线重合, 过程的过程方程( 关系式) ________, 等温曲线重合 , 则 x过程的过程方程(V-T关系式) 为 ________ , 过程的过程方程 关系式 x过程的比热 与压强 的关系为 =________。 过程的比热c与压强 的关系为c=________ 过程的比热 与压强p的关系为 =________。 过程曲线向下平移p 解:x过程曲线向下平移 0后,恰好与温 过程曲线向下平移 度为T 的等温曲线重合, 度为 0的等温曲线重合,由此可给出 ( p ? p0 )V = vRT0 状态方程为 p

p0

x过程 过程 T0 p0

pV = vRT

x过程的过程方程为 V = 过程的过程方程为

vR 等温过程 (T ?T0 ) p0 V 过程, 对x过程,设想一微小变化:温度改变 ,体积改变 ,则 过程 设想一微小变化:温度改变dT,体积改变dV, vR 由过程方程有 dV = dT p0 dQ p 3 3 ∴ = vR( + ) QdQ = pdV + vRdT dT p0 2 2 1 dQ R p 3 c= = ( + ) v? dT ? p0 2

4.一摩尔氮气(设氮气服从范德瓦尔斯方程)作等温膨胀,体 .一摩尔氮气(设氮气服从范德瓦尔斯方程)作等温膨胀, 积由V1变到V2。试求氮气(a)对外界作的功;(b)内能的改变; 积由 变到 试求氮气( ) 对外界作的功; ) 内能的改变; (c)吸收的热量。 )吸收的热量。

a ( p + 2 )(V ? b) = RT (a)由范德瓦尔斯方程 由范德瓦尔斯方程 V RT a p= ? 2 V ?b V V2 V2 RT V2 a A = ∫ pdV = ∫ dV ? ∫ 2 dV 所以对外界作的功为 V V V ?b V V 1 1 1
V2 ? b 1 1 = RT ln + a( ? ) V ?b V2 V1 1

(b) 一摩尔气体分子热运动的动能为 Ek = RT 。作等温膨胀 2 时 dEk = 0。 a 作负功, 气体的内压强 ?pi = 2 。气体膨胀时 ?pi 作负功,气体分 V 由功能原理, 子间相互作用的势能要增加 dEp。由功能原理,保守内力 作的功等于势能的减少, 作的功等于势能的减少,即 a a ? dEp = ??pi dV = ? 2 dV = d( ) V V a dE = dEk + dEp = ?d( ) V V2 a 1 1 所以内能的增量: 所以内能的增量: ?E = ∫ ? d( ) = a( ? ) V 1 V V V2 1 (c)

i

V2 ? b 1 1 1 1 Q = A+ ?E = RT ln + a( ? ) + a( ? ) V ?b V2 V1 V V2 1 1 V ?b = RT ln 2 V ?b 1

5.有n摩尔的理想气体,经历如图所示的准静态过程,图 . 摩尔的理想气体, 摩尔的理想气体 经历如图所示的准静态过程, 是已知量, 是直线 是直线, 中p0、V0是已知量,ab是直线,求 (1)气体在该过程中对外界所作的功和所吸收的热量, 气体在该过程中对外界所作的功和所吸收的热量, 气体在该过程中对外界所作的功和所吸收的热量 (2)在该过程中温度最高值是什么?最低值是什么? 在该过程中温度最高值是什么?最低值是什么? 在该过程中温度最高值是什么 并在p一 图上指出其位置 图上指出其位置。 并在 一V图上指出其位置。 p a(3p0,V0) paVa = pbVb 解:(1) 由图知

∴Ta = Tb

?E = 0

b(p0,3V0) V

由图知曲线下面积, 由图知曲线下面积,即气体对外作功为 O 1 A = (3 p0 + p0 )(3 0 ?V0 ) = 4 p0V0 V 2 由热力学第一定律知 Q = ?E + A = 4 p0V0 (2) 由图知过程方程即ab直线的方程为 由图知过程方程即 直线的方程为

p0 p = ? V + 4p0 V0

代入状态方程

pV = nRT

p0 4 p0V pV 2 T= V + =? nR nRV0 nR
极值处

2 p0 4 p0 dT V+ =? dV nRV0 nR

dT =0 dV

解得

V =2 0 V

代入过程方程

p0 p = ? 2 0 + 4 p0 = 2 p0 V V0

2 p0 d 2T =? <0 所以该处温度为最大值 2 dV nRV0 p0 4 p0 4 p0V0 2 T ax = ? 4 0 + V 2 0= V m nRV0 nR nR 由于该直线上温度T只有一个极值,且已经知道它是极大值。 只有一个极值,且已经知道它是极大值。 所以温度最低值一定在端点a或 。 所以温度最低值一定在端点 或b。但 paVa = pbVb ,故两端温 度相同, 都是最小值。 代入状态方程, 度相同 , 都是最小值 。 将 p=3p0 , V=V0 代入状态方程 , 即可 得最低温度 pV 3 p0V0 Tmin = = nR nR

6.一气缸的初始容积为 一气缸的初始容积为30.5L,内盛空气和少量水 水的体积 一气缸的初始容积为 , 内盛空气和少量水(水的体积 可略),总压强为3atm。 作等温膨胀使体积加倍 , 水恰好全 可略 , 总压强为 。 作等温膨胀使体积加倍, 部消失,此时总压强为2atm。继续等温膨胀,使体积再次加 部消失,此时总压强为 。继续等温膨胀, 空气和水汽均可看作理想气体,试求: 气体的温度 气体的温度; 倍。空气和水汽均可看作理想气体,试求:(1)气体的温度; (2)最后的压强;(3)水和空气的摩尔数。 最后的压强; 水和空气的摩尔数。 最后的压强 水和空气的摩尔数 由题设知: 解: 由题设知: 初态: 1 初态: V = 30.5L ,T0, 总 强 总1 = 空 压 p1 + 饱 蒸 压 饱 = 3atm 压 p 气 强 和 气 p 气 强 中间态: 中间态: 2 = 2 1,T0 , p总2 = 空 压 p2 + p饱 = 2atm V V 终态: 终态: V3 = 4 1,T0 , p3 V (1)初态到中间态:空气和饱和蒸汽并存,对空气应用玻意耳 初态到中间态:空气和饱和蒸汽并存, 初态到中间态 定律: 定律: pV = p V
1 1 2 2

( p总1 ? p饱) = ( p总2 ? p饱)× 2

p饱 = 1atm

T0 = 373K(100o C)

p1 = 2atm p2 = 1atm

(2) 中间态到终态:无水,空气和蒸汽并存,对混合气体应用玻 中间态到终态:无水,空气和蒸汽并存, 意耳定律: 意耳定律: ( p2 + p饱)V2 = p3V3

p总2 ?V2 = p3 ? 2 2 V

p3 = 1atm
(3) 将状态方程应用于初态空气,得空气摩尔数 将状态方程应用于初态空气, pV v空 = 1 1 = 2mol RT0 将状态方程应用于终态混合气, 将状态方程应用于终态混合气,得总摩尔数 p3V3 v总 = = 4mol RT0

v水 = v总 ? v空 = 2mol

7. 设高温热源的温度为低温热源的温度的 倍 , 理想气体经 设高温热源的温度为低温热源的温度的n倍 卡诺循环后, 卡诺循环后,从高温热源吸收的热量与向低温热源放出的热 量之比为___________ ___________。 量之比为___________。 n

T nT低 Q 吸 高 = = =n Q放 T低 T低 8. 图中 为某理想气体的绝热曲线, 是任意过程, . 图中MN为某理想气体的绝热曲线,ABC是任意过程,箭 为某理想气体的绝热曲线 是任意过程 头表示过程进行的方向。 过程结束后气体的温度( 头表示过程进行的方向 。 ABC过程结束后气体的温度( 增加 、 过程结束后气体的温度 增加、 减小 减小或不变)__________ 气体所吸收的热量为( )__________; 减小或不变 )__________ ; 气体所吸收的热量为 ( 正 、 负或 负 )___________。 零)___________。

T = nT低 高

AC绝热过程系统吸热 = 0, 对外作功 > 0, 绝热过程系统吸热Q= , 对外作功A> , 绝热过程系统吸热 M p 由热力学第一定律, ?E 由热力学第一定律,系统内能增量 = A -A<0。该系统为理想气体,其内能和热力学 < 。该系统为理想气体, 温度成正比, 温度成正比,故AC过程 ?T < 0 ,即TC<TA, 过程 对过程ABC亦然 ; 对 ABCA循环过程系统吸 对过程 亦然; 循环过程系统吸 B 亦然 过程Q= ,所以ABC过 热Q’=A’<0,而 CA过程 =0,所以 = < , 过程 过 程中气体吸热为负值。 程中气体吸热为负值。

C N V

9.有一卡诺循环,当热源温度为100℃,冷却器温度为 ℃时, 有一卡诺循环,当热源温度为 有一卡诺循环 ℃ 冷却器温度为0℃ 一循环作净功8000J,今维持冷却器温度不变,提高热源温度, 一循环作净功 ,今维持冷却器温度不变,提高热源温度, 使净功增为10000J。若此两循环都工作于相同的二绝热线之 使净功增为 。 间,工作物质为同质量的理想气体,则热源温度增为 125 ℃ 效率增为 31.4 % ______℃;效率增为_____%。 Q T T 1 1 Q = Q = 1 Q2 A = Q ? Q2 1 1 Q2 T2 T2 p T T ?T2 1 Q2 ∴A = 1 Q2 ? Q2 = 1 Q1 T2 T2

T′ ?T2 A'= 1 Q2 T2

A T ?T2 = 1 A' T '?T2 1

4 V1 V4

2 3 Q2 V2 V3

T1 T2 V

A' ∴T′ = T2 + (T ?T2 ) = 273.15 +125 1 1 A O T2 o ′ ∴t1 = 125 C η′ = 1? = 31.4% T′ 1

10.以可逆卡诺循环方式工作的致冷机,在某环境下它的致 以可逆卡诺循环方式工作的致冷机, 以可逆卡诺循环方式工作的致冷机 冷系数为 ξ=30.3,在同样环境下把它用作热机,则其效率 ,在同样环境下把它用作热机, 为 η =________%。 %

Q2 ξ= Q ? Q2 1

ξQ1 = Q2 +ξQ2 = (1+ξ )Q2
Q2 ξ = Q 1+ ξ 1 Q2 η = 1? Q 1

η = 1?

1+ ξ

ξ

= 3.19%

11.房间内有一空调机, 该机按可逆卡诺循环工作 , 在连续工作 房间内有一空调机,该机按可逆卡诺循环工作, 房间内有一空调机 每秒需对该机作P焦耳的功 焦耳的功。 时,每秒需对该机作 焦耳的功。夏天该机从室内吸热释放至室 外以降低室温。冬天将该机反向运行, 外以降低室温。冬天将该机反向运行,从室外吸热释放至室内以 提高室温。已知当室内、 提高室温。已知当室内、室外的温差为 ?T 时,每秒由室外漏入 室内(或由室内漏至室外 的热量 Q = A?T ,A为一常数。(1)夏天 室内 或由室内漏至室外)的热量 为一常数。 夏天 或由室内漏至室外 为一常数 该机连续工作时,室内能维持的稳定温度T 为何?已知室外的温 该机连续工作时, 室内能维持的稳定温度 2为何 已知室外的温 度恒定为T 冬天该机连续工作时, 度恒定为 1 。 (2)冬天该机连续工作时 , 欲使室内能维持的稳定 冬天该机连续工作时 需为何? 温度为 T'2 室外的最低温度T'1需为何 , (1)由卡诺循环特点可知: Q2 = T2 由卡诺循环特点可知: 由卡诺循环特点可知 Q T 1 1 夏天欲使室内维持稳定温度T 夏天欲使室内维持稳定温度 2,需空调机每秒吸热

P P P 2 T +( ) <T QQ = Q2 + P ∴T2 = T + ? 1 1 1 2A A 1 2A ′ ′ Q2 T2 (2) 同理有 ′ ′ 1 Q2 = A(T2 ?T′) = Q′ T′ 1 1 P ′ = T2 ? ′ ′ ′ ′ = Q2 ? P ′ T2 < T2 T Q 1 1 A

Q2 = Q = A(T ?T2 ) 1

12.1mol单原子理想气体从初态压强 0 = 32Pa,体积 0 = 8m3 经 单原子理想气体从初态压强p 单原子理想气体从初态压强 , 体积V p-V图上的直线过程到达终态压强 1 = lPa, 体积 1 = 64m3 ; 再 图上的直线过程到达终态压强p 图上的直线过程到达终态压强 , 体积V 经绝热过程回到初态,如此构成一循环。求此循环的效率。 经绝热过程回到初态,如此构成一循环。求此循环的效率。 解:该循环吸热与放热均在直线过程 p a(p ,V ) 0 0 中发生,如图所示。首先求吸、 中发生,如图所示。首先求吸、放热 A(pA,VA) 转折点A的状态参量 的状态参量p 转折点 的状态参量 A 、 VA 。设直 线过程方程为 p = α ? βV b(p1,V1) 1 Q pV =νRT ∴T = (αV ? βV 2 ) O V0 VA V1 V νR 1 对某过程元有 dT = (αdV ? 2βVdV ) νR 3 dE =νCV dT =ν RdT 元过程中内能增量 2 5 dQ = dE + pdV = ( α ? 4βV)dV 2 dQ = 0 在转折点A附近的元过程应有 在转折点 附近的元过程应有 3 5α pA = α ? βVA = α ∴VA = 8 8β

把已知条件带入

p = α ? βV
p a(p0,V0) A(pA,VA) b(p1,V1) O V0 VA V1 V

p0V1 ? p1V0 255 Pa = α= 7 V1 ?V0 p0 ? p1 31 β= = Pa/m3 V1 ?V0 36 ∴VA = 41.1m3 , pA = 13.7Pa

1 由 a → A 吸热为 Q =νCV (TA ?T0 ) + ( p0 + pA)(VA ?V0 ) 1 2 3 1 = ( pAVA ? p0V0 ) + ( p0 + pA )(VA ?V0 ) 2 2 1 由 A→b 放热为 Q2 =νCV (TA ?T ) + ( pA + p1 )(VA ?V1 ) → 1 2 3 1 = ( pAVA ? p1V1 ) + ( pA + p1 )(VA ?V1 ) 2 2 Q ∴η = 1? 2 ≈ 0.52 Q 1

13.某气体系统在 一V坐标面上的一条循环过程线如图所示, 某气体系统在p 坐标面上的一条循环过程线如图所示, 某气体系统在 坐标面上的一条循环过程线如图所示 试证该系统在对应的循环过程中其摩尔热容量不能为恒量。 试证该系统在对应的循环过程中其摩尔热容量不能为恒量。 p 证:采用反证法。设其摩尔热容 采用反证法。 量是恒量C 量是恒量 1,则循环过程中系统 所吸热量为

Q = ∫νC1dT =νC1 ∫ dT = 0
经此循环, 系统恢复原态, 其内能增 经此循环 , 系统恢复原态 , 而系统对外作功A不为零 量 ?E = 0 ,而系统对外作功 不为零 (绝对值为 绝对值为p-V图中曲线面积 , 此与热 图中曲线面积), 绝对值为 图中曲线面积 矛盾, 力学第一定律 Q = ?E + A 矛盾,故所 设不正确, 设不正确 , 即循环过程中系统的摩尔 热容不可能为恒量,命题得证。 热容不可能为恒量,命题得证。

O

V

14. 某单原子理想气体经历的一准静态过程中,压强 与温度 成反 某单原子理想气体经历的一准静态过程中,压强p与温度 与温度T成反 比例关系。 求此过程种该气体的摩尔热容量 求此过程种该气体的摩尔热容量C 比例关系。(1)求此过程种该气体的摩尔热容量 ;(2)设过程中某 设过程中某 一状态的压强为p 体积为V 试求在体积从V 增到2V 一状态的压强为 0,体积为 0,试求在体积从 0增到 0的一般过 程中气体对外作功量A。 程中气体对外作功量 。 解:(1) 设过程方程为
T 为常量。 其中 α为常量。将此过程方程与状态方程 pV =νRT 联立,消去p,可得该过程中V与 的关系为 联立,消去 ,可得该过程中 与T的关系为 p=

α

由热力学第一定律和能量均分定理知,该系统经历的任一 由热力学第一定律和能量均分定理知, 元过程中的吸热量为 3 dQ = pdV + dE = pdV + νRdT 2 ν dV = 2 RTdT 将 α 代入得
7 dQ = νRdT 2

ν V = RT2 α

所以, 所以,该过程中的摩尔热容量为 dQ 7 C= = R νdT 2 (2) 由上述讨论知,在一个元过程中系统对外界作功为 由上述讨论知,
dA = pdV = 2 RdT ν

设体积为V 时对应温度为T 那么由前面得到的过程方程可得, 设体积为 0时对应温度为 0 ,那么由前面得到的过程方程可得, 体积为2V 体积为 0时对应的温度为
T= 2 0 T

于是,体积从V0增到2V0的过程中气体对外界作功为 于是,体积从 增到
A = 2 R(T ?T ) = 2( 2 ?1) RT ν ν 0 0

又因为 所以

p0V =νRT 0 0

A = 2( 2 ?1) p0V 0

15. 某气体的状态方程可表述为 pV = f (T) ,该气体所经历 的循环过程如图所示。气体经bc过程对外作功量为 的循环过程如图所示。气体经 过程对外作功量为 W=___________ p0V0,经过一个循环过程吸收的热量 Q=___________ p V 。 p
0 0

解:bc等温过程对外作功为 等温过程对外作功为

2p0 p0 a

b
等温

W =∫

2V0

V0

pdV = ∫
2V0

2V0

V0

f (T) dV V

c

dV V0 2V0 V = f (T)∫ = 2ln2 p0V0 O V0 V V ca等压过程对外作功为 W'= p0 (V ? 2 0 ) = ? p0V 等压过程对外作功为 0 0
ab等体过程对外不作功。经过一个循环过程吸收的热量 等体过程对外不作功。 等体过程对外不作功 等于对外作的总功, 等于对外作的总功,即

Q = W +W'= (2ln2 ?1) p0V0

热力学第二定律
基本公式: 基本公式: 参见张三惠《大学物理学》第二册《热学》 参见张三惠《大学物理学》第二册《热学》第202页 页 特别注意: 特别注意: 克劳修斯熵公式

dQ dS = T
2

(可逆过程) 可逆过程)

dQ (可逆过程) 可逆过程) S2 ? S1 = ∫ 1 T

dQ νCV ,mdT + pdV = dS = T T
dT dV =νCV ,m +νR T V dV dp dV =νCV ,m +νCV ,m +νR V p V
dV dp =ν (CV ,m + R) +νCV ,m V p dV dp =νCp,m +νCV ,m V p

pV =νRT
p νR = T V

pdV +Vdp =νRdT
dV dp dT + = V p T

T2 V2 p2 V2 ?S =νCV ,m ln +νRln =νCV ,m ln +νCp,m ln T V p1 V1 1 1

历届考题: 历届考题:
1.一个系统经历的过程是不可逆的,就是说,该系统不可能再回 一个系统经历的过程是不可逆的,就是说, 一个系统经历的过程是不可逆的 到原来的状态。 到原来的状态。 ( ) 2. 假设某一循环由等温过程和绝热过程组成 如图 ,可以认 假设某一循环由等温过程和绝热过程组成(如图 如图), 为( ) p (a)此循环过程违反热力学第一定律; 此循环过程违反热力学第一定律; 此循环过程违反热力学第一定律 等温 (b)此循环过程违反热力学第二定律; 此循环过程违反热力学第二定律; 此循环过程违反热力学第二定律 绝热 (c)此循环过程既违反热力学第一定 此循环过程既违反热力学第一定 也违反热力学第二定律。 律,也违反热力学第二定律。 V 按如图曲线做一个正循环, 按如图曲线做一个正循环,相当于从单一热源吸热完全转为 功而没有其他变化,所以违反热力学第二定律。 功而没有其他变化,所以违反热力学第二定律。但是这样的 循环不见得违反热力学第一定律(如果从外界吸收的热量等于 循环不见得违反热力学第一定律 如果从外界吸收的热量等于 对外界作的净功)。 对外界作的净功 。

3. 对于理想气体,在下列各图所示的循环过程中,哪些是物 对于理想气体,在下列各图所示的循环过程中, 理上不可实现的? 理上不可实现的 p 绝热 等温 (A) p 等压 绝热 绝热 等容 V p 等温 绝热 V 绝热 V p 等容 绝热 等温 (B) V

(C)

(D)

对理想气体,绝热线比等温线陡, 对理想气体,绝热线比等温线陡,由热二律可以证明二条绝 热线不能交于一点,所以A、 、 过程都是不能实现的 过程都是不能实现的。 热线不能交于一点,所以 、C、D过程都是不能实现的。

4.从单一热源吸取热量并将其完全用来对外作功 , 是不违反 从单一热源吸取热量并将其完全用来对外作功, 从单一热源吸取热量并将其完全用来对外作功 热力学第二定律的,例如_____________________过程就是这 热力学第二定律的,例如 理想气体的等温膨胀 过程就是这 种情况。 种情况 理想气体作等温膨胀就是将所吸的热量全部用来对外作功的 过程。但这过程里气体体积膨胀了,即产生了“其它影响” 过程。但这过程里气体体积膨胀了,即产生了“其它影响”。 因开尔文表述是: 不可能从单一热源吸收热量, 因开尔文表述是:“不可能从单一热源吸收热量,使之完全 变为有用功而不产生其它影响” 变为有用功而不产生其它影响”,所以说此等温过程是不违 反热力学第二定律的本题要求的过程。 反热力学第二定律的本题要求的过程。 5. lkg冰在 ℃、1atm下熔解为水的过程中的熵增量为 冰在0℃ 冰在 下熔解为水的过程中的熵增量为 ______________ 。(已知冰的熔解热为 已知冰的熔解热为333kJ/kg) 已知冰的熔解热为 / 1.22×103 J/K 333×103 ?S = Q/ T = = 1.22×103 J/K 此过程是可逆的 273

6.设有一刚性绝热容器,其中一半充有 ν 摩尔理想气体,另一 设有一刚性绝热容器, 摩尔理想气体, 设有一刚性绝热容器 半为真空,现将隔板抽去,使气体自由膨胀到整个容器中。 半为真空,现将隔板抽去,使气体自由膨胀到整个容器中。试 求该气体熵的变化(不能直接用理想气体熵的公式计算 不能直接用理想气体熵的公式计算)。 求该气体熵的变化 不能直接用理想气体熵的公式计算 。 解:理想气体绝热自由膨胀后由于内 能不变,故温度也不变。 能不变,故温度也不变。计算熵的改 变时, 变时,可选取一个等温准静态膨胀过 程,使体积由 V →2V 。

V

V

?S = ∫ V
=∫

2V

dQ 2V pdV =∫ V T T

2V

νR
V

V

dV =νRln2

7. 1mol水蒸气 可视为刚性分子,且不考虑量子效应 ,经历 水蒸气(可视为刚性分子 水蒸气 可视为刚性分子,且不考虑量子效应), 如图abca循环过程,ab为等压过程,bc为等容过程,ca在p-V 循环过程, 为等压过程 为等压过程, 为等容过程 为等容过程, 在 如图 循环过程 图上为一直线。已知b态温度为 态温度为600K。则ab过程系统吸热 图上为一直线。已知 态温度为 。 过程系统吸热 Qab=_______,ca过程系统吸热 ca=_______,一次循环过程 过程系统吸热Q , 过程系统吸热 , 系统净吸热为_______,该循环的热效率 η =________。 系统净吸热为 , 。 点有4p 解:对b点有 0V0=RTb,得 点有 p
2p0 p0 a b c V0 2V0

RTb 600R PV0 = = = 150R 0 4 4 2PV Ta = Tc = 0 0 = 300K 点和c点有 对a点和 点有 点和 R

O

V

Qab = Cp (Tb ?Ta ) = 4R×(600 ? 300) = 1200R 1 3 Qca = ? (P + 2P )V0 = ? ×150R = ?225R 0 2 0 2 1 1 净吸热为 Q ? Q2 = A = PV0 = ×150R = 75R 1 0 净 2 2

由p-V图可求出 的过程方程 图可求出ca的过程方程 图可求出

p
2p0 a b

p0 (1) p = ? V + 3p0 m c p0 V0 p V 对过程cm有 对过程 有 ?S = CV ln + CP ln O V0 2V0 V p0 2 0 V V V = CV ln(3 ? ) + CP ln V0 2 0 V dV dV dS = ?CV + CP 3 0 ?V V V dS = 0,求出 V = 12V ,代入(1)式得 p = 9 p , 代入( ) 令 0 dV 7 7 0 12 9 108 p0V0 即在状态 m( V0 , p0 ) 处的温度为Tm = 。 = 330.6K 7 7 49R

过程中, 处的熵最大 处的熵最大, 在ca过程中,m处的熵最大,故cm过 过程中 过 程为纯吸热过程, 程为纯吸热过程,吸的热为

p
2p0 p0 a b m c V0 2V0

1 9 12 Qcm = ? ( p0 + p0 )(2 ? )V0 2 7 7 + 3R(330.6 ? 300) = 42.8R

O

V

A A 75R η= = = = 6.03% Q Qcm + Qab (42.8 +1200)R 1

8. 设有一刚性容器内装有温度为 0的1摩尔氮气,在此气体和温 设有一刚性容器内装有温度为T 摩尔氮气, 摩尔氮气 度也为T 的热源之间工作一个制冷机,它从热源吸收热量Q 度也为 0的热源之间工作一个制冷机,它从热源吸收热量 2,向 容器中的气体放出热量Q 经一段时间后, 容器中的气体放出热量 1 。 经一段时间后 , 容器中氮气的温度 升至T 升至 1。试证明该过程中制冷机必须消耗的功 5 T T W ≥ RT [ln 0 + ( 1 ?1)] 0 2 T T 1 0 证明:依题意, 证明:依题意,所讨论系统中制冷机的工作原 理可示意如图, 理可示意如图,则该过程中制冷机必须 消耗的功为 W = Q ? Q2 1 因为氮气所处容器是刚性的, 因为氮气所处容器是刚性的,则其由 T →T 的过程为等体过程,于是有 0 1的过程为等体过程, 5 Q = CV ,m(T ?T ) = R(T ?T ) 1 1 0 1 0 2
T0 →T 1

Q1 工质 Q2 T0 W

又由题意知,该过程中热源、 又由题意知,该过程中热源、氮气和制冷机的 工作物质的熵变分别为 Q ?S制冷机 = 0 ?S热源 = ? 2 T 0 TC dQ 1 V ,mdT ?S氮气 = ∫ =∫ T 0 T T T 5 T 1 = CV ,m ln = Rln 1 T 2 T 0 0

T0 →T 1

Q1 工质 Q2 T0 W

因为热源、氮气和制冷机组成的整体为一封 因为热源、 闭孤立系统, 闭孤立系统,则由熵增加原理可知 Q 5 T 2 ?S热源 + ?S氮气 + ?S制冷机 = ? + Rln 1 ≥ 0 T 2 T 0 0 5 T 所以 Q ≤ RT ln 1 2 0 2 T 0 5 5 T 那么 W = Q ? Q ≥ R(T ?T ) ? RT ln 1 1 2 1 0 0 2 2 T 0 5 T T 0 整理化简即得 W ≥ RT [ln + ( 1 ?1)] 0 2 T T 1 0

9. 如图所示,两个与大气接触的竖立柱形气缸内分别存有同种理 如图所示, 想气体,中间细管绝热阀门K关闭 缸内气体温度和体积各为T 关闭, 想气体,中间细管绝热阀门 关闭,缸内气体温度和体积各为 1、 V1和T2、V2。两缸上方均有轻质可动活塞,活塞与气缸壁间无空 两缸上方均有轻质可动活塞, 隙且无摩擦,系统与外界绝热。 将阀门 缓慢打开, 将阀门K缓慢打开 隙且无摩擦,系统与外界绝热。(1)将阀门 缓慢打开,试求缸内 气体混合平衡后的总体积V; 设该种理想气体的定体摩尔热容 气体混合平衡后的总体积 ;(2)设该种理想气体的定体摩尔热容 ν 试求按(1)问所述气体 量为 CV,开始时两边气体摩尔数同为 ,试求按 问所述气体 ?S 要求答案中不含有V 混合平衡后系统熵增量 (要求答案中不含有 1、V2量),并在 要求答案中不含有 , ?S T ≠ 2的正负号。 时确定 T 的正负号。 1 解:将大气压强记为p0,两边气体 将大气压强记为 摩尔数分别记为 ν1、 2,压强则恒 ν 设平衡后系统温度T, 为p0。设平衡后系统温度 ,系统 体积增量记为 ?V 内能增量记 , 为?U 过程中系统对外作功量记 , 为W,则有 ,
p0V =ν1RT 1 1 p0V2 =ν2RT 2

K T1、V1 T2、V2

p0(V +V2 + ?V) = ( 1 +ν2 )RT ν 1 ?U =ν1CV (T ?T ) +ν2CV (T ?T ) 1 2

W = p0?V W + ?U = 0 W = 0, ?V = 0 由上述诸式可解得
V =V +V2 因此, 因此,平衡后系统体积为 1 (2)计算熵时,原左边气体和右边气体在系统平衡态中,可分别等 计算熵时, 计算熵时 原左边气体和右边气体在系统平衡态中, 效处理成温度为T、体积为V 和温度为 和温度为T、体积为V 的状态 的状态。 效处理成温度为 、体积为 1’和温度为 、体积为 2’的状态。系 统熵增量便为 T V' T V2' 1 ν ν ?S = ( CV ln +νRln ) + ( CV ln +νRln ) T V T V2 1 1 2 1 据(1)问,W = 0, ?V = 0,可得 T = (T + T ) 问 2 2 1 p0V '=ν1RTL 可得 又由 p0V =ν1RT , 1 1 1
V' 1 =T V T 1 1 V2' =T V2 T 2
(T + T )2 2 ?S =ν (CV + R)ln 1 4TT 1 2

在 T ≠ T 时,有 1 2
(T + T )2 = T2 + 2TT + T2 > 2TT + 2TT = 4TT 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2

故 ?S为正

10. 比热同为常量 ,质量同为 的6个球体,其中 球的温度为 0, 比热同为常量c,质量同为m的 个球体 其中A球的温度为 个球体, 球的温度为T 其余5个球的温度同为 0。通过球与球相互接触中发生的热传 其余 个球的温度同为2T 个球的温度同为 可使A球的温度升高 假设接触过程与外界绝热, 球的温度升高。 导,可使 球的温度升高。假设接触过程与外界绝热,则A球可 球可 达到的最高温度为________T0,对应的 球熵增量为 对应的A球熵增量为 达到的最高温度为 ___________mc。 。 球依次与其他球接触而达到热平衡, 球的温度依次 解:使A球依次与其他球接触而达到热平衡,A球的温度依次 球依次与其他球接触而达到热平衡 由于接触过程绝热, 为T1, T2 , T3 , T4 , T5 。由于接触过程绝热,则A球吸收 球吸收 的热量等于其他球放出的热量。 的热量等于其他球放出的热量。

mc(T ?T0 ) = mc(2T0 ?T ) 1 1 mc(T2 ?T ) = mc(2T0 ?T2 ) 1
1 15 T3 = T0 + T2 = T0 2 8
1 63 T5 = T0 + T4 = T0 2 32
T 5

3 T = T0 1 2 1 7 T2 = T0 + T = T0 2 1 4 1 31 T4 = T0 + T3 = T0 2 16

T dT dQ 63 5 ?S = ∫ = mc∫ =mcln T T T T 0 0 32


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