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函数的奇偶性知识点与题型


第四讲函数的奇偶性
一、基本概念: 1.偶函数:一般地,如果对于函数 f ?x ? 的定义域内任意一个 x,都有 f ?? x ? ? f ?x ? , 那么函数 f ?x ? 就叫做偶函数。偶函数的图像关于 y 轴对称。 ⑶若 f ?x ? 、 g ?x ? 都是偶函数,那么在 f ?x ? 与 g ?x ? 的公共定义域上, f ?x ? + g ?x ? 为 偶函数, f ?x ? ? g ?x ? 为偶函数.当 g ?x ? ≠ 0 时,

f ( x) g ( x)

为偶函数。

2.奇函数:一般地,如果对于函数 f ?x ? 的定义域内任一个 x,都有 f ?? x ? ? ? f ?x ? ,那 么函数 f ?x ? 就叫做奇函数 一个函数如果是偶函数或者是奇函数,我们称这个函数具有奇偶性。 ⑶奇函数的图像关于坐标原点对称。 ⑷若 f ?x ? , g ?x ? 都是奇函数,那么在 f ?x ? 与 g ?x ? 的公共定义域上, f ?x ? + g ?x ? 是奇 函数, f ?x ? ? g ?x ? 是奇函数, f ?x ? ? g ?x ? 是偶函数,当 g ?x ? ≠0 时, 3.常函数 f ?x ? ? c?c为常数? 是偶函数 判断奇偶函数的常用方法 1.定义法:若函数的定义域不是关于原点对称的,则立即可判断该函数既不是奇函数也不是 偶函数;若函数的定义域是关于原点对称的,再判断 f ?? x ? ? ? f ?x ? 之一是否成立. 2. 验证法 :在判断 f ?x ? 与 f ?? x ? 的关系时 , 只需验证 f ?? x ? ? f ?x ? ? 0 及 否成立即可. 3.图像法:奇(偶)函数等价于它的图像关于原点(y 轴)对称。 4.性质法:利用上述性质来判断,即利用奇偶函数的和、差、积、商的奇偶性,以及复合函数 的奇偶性来判断, ⑴在公共定义域内偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数和、差仍为 奇函数;奇(偶)数个奇函数积、 商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积 为奇函数.

f ( x) 是偶函数。 g ( x)

f ? x ? ? 0 既是偶函数又是奇函数

f (? x) =?1是 f ( x)

⑵对于复合函数 F ?x ? ? f ?g ?x ?? ;若 g ?x ? 为偶函数, f ? x ? 为奇(偶)函数,则 F ?x ? 都 为偶函数;若 g ?x ? 为奇函数, f ?x ? 为奇函数,则 F ?x ? 为奇函数;若 g ?x ? 为奇函数, f ?x ? 为偶函数,则 F ?x ? 为偶函数. 典形分析 题形一 例1 判断函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性,说明理由;并总结学过的常用函数的奇偶性。 ⑵ f ?x ? ? ?x ? 1?

⑴ G ?x ? ? f ?x ? ? f ?? x ?, x ? R

1? x , x ? ? ?1,1? 1? x

例2

? x 2 ? 2 x ? 3 ( x ? 0) ? ( x ? 0) 是否为奇函数,并证明。 判断函数 f ( x ) ? ?0 ? 2 ?? x ? 2 x ? 3 ( x ? 0)

跟踪练习 1.判断下列函数是否为偶函数

?1 ? ⑴ f ( x) ? ?0 ?? 1 ?

(0 ? x ? 1  ) (x ? 0) ( ? 1 ? x ? 0)

⑵ f ?x ? = 2 x ? 1 + 2x ? 1

题型二 奇偶性的简单应用 例 3 设函数 f ?x ? 对于任意 x, y ? R 都有 f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f ? y ? 求证:f ?x ? 是奇函数。

例 4 若函数 f ? x ? ? (m ?1) x2 ? 2mx ? 3 是偶函数,求 m 的值.

练习 1.已知函数 f ? x ? ? 1 ? x , x ? R 则 ( )
2

A. f ? ?x ? ? ? f ? x ?

B. f ? x ? 为偶函数 C. f ? ?x ? ? f ? x ? ? 0

D. f ? x ? 不是偶函数 ( )

2.若 f ? x ? 是偶函数,则 kf ? x ? ( k 为常数) A.是偶函数 3.函数 f ? x ? = ? A.偶函数 B.不是偶函数 C.是常数函数 D.无法确定是不是偶函数 (

?1, x ? 0. 则 f ? x? 为 ?? 1, x ? 0
C.既是奇函数又是偶函数



B.奇函数

D.既不是奇函数又不是偶函数 ( )

4.已知 f ? x ? 为奇函数,则 f ? x ? ? x 为

A 奇函数 B.偶函数 C.既不是奇函数又不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 例 5 已知 f ? x ? 是奇函数,且当 x ? 0 时 f ? x ? ? x x ? 2 ,求 x ? 0 时, f ? x ? 的表达式。

例 6 函数 f ? x ?? x ? 0? 是奇函数,且当 x ? ? 0, ? ?? 时是增函数,若 f ?1? ? 0 ,求不等 式 f ?x?

? ?

1? ? ? 0 的解集。 2?

例 7 已知 f (x ) ? x 7 ? bx 5 ? cx 3 ? dx ? 6 ,且 f (?3) ? 12 ,则 f (3)

例 8. 已知函数 f ? x ? ,当 x, y ? R 时,恒 f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f ? y ? .且 x ? 0时, f ? x ? ? 0 , 又 f ?1? ? ? (1) 求证: f ? x ? 是奇函数; (2) 求证: f ( x) 在 R 上是减函数; ( 3) 求 f ? x? 在区间 ? ?2,6? 上的最值.

1 2

?? ?, 0?上递增 ,且有 例 9.设 f ( x )在R上是偶函数,在区间
f 2a 2 ? a ? 1 ? f 2a 2 ? 2a ? 3 ,求 a 的取值范围。

?

? ?

?

练习 1.已知点 ?1,3? 是偶函数 f ? x ? 图像上一点,则 f ? ?1? 等( ) A.-3 B.3 C.1 D.-1 2 若点 ? ?1,3? 在奇函数 y ? f ? x ? 的图象上,则 f ?1? 等于 A.0 B.-1 C.3 D.-3 5 3 3.已知 f ( x) ? x ? ax ? bx ? 8 , f (?2) ? 10 , f ( 2) =___


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