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人教版高中数学必修五 11 正弦定理和余弦定理 课件6_图文

千岛湖

情景问题

千岛湖
岛屿B

岛屿A

120°

?
岛屿C

情景问题

∠B=120o,求 AC
A岛屿A

千岛湖 在△ABC中,已知AB=3km,BC=2km,
岛屿B B

120°

?
岛屿C C

思考1:用刚学的正弦定理能否直接求出 AC?

1.1.2余弦定理

探 究: 在△ABC中,已知CB=a,CA=b,CB与CA 的夹角为∠C, 求边c.

? ? ? 设 CB ? a, CA ? b , AB ? c
?2 c ? c ? c ? ( a ? b) ? ( a ? b) ? a ? a ? b ?2b ? 2a ??b ?2 ? ? ? a ? b ? 2 a b cosC

由向量减法的三角形法则得

c ? a ?b



? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC

? c ? a ? b ? 2abcosC
2 2 2

探 究: 若△ABC为任意三角形,已知角C, BC=a,CA=b,求AB 边 c.

? ? ? 设 CB ? a, CA ? b , AB ? c
c ? a ?b ?2 c ? c ? c ? ( a ? b) ? ( a ? b) ? a ? a ? ? ? b ? 2a ? b b 2 ?2 ?? ? a ? b ? 2 a b cosC

由向量减法的三角形法则得



? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC

? c ? a ? b ? 2abcosC 2 2 2 a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2

探 究: 若△ABC为任意三角形,已知角C, BC=a,CA=b,求AB 边 c.

? ? ? 设 CB ? a, CA ? b , AB ? c
c ? a ?b ?2 c ? c ? c ? ( a ? b) ? ( a ? b) ? a ? a ? ? ? b ? 2a ? b b 2 ?2 ?? ? a ? b ? 2 a b cosC

由向量减法的三角形法则得

﹚ 向量法

? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC

余弦定理

? c ? a ? b ? 2abcosC 2 2 2 a ? b ? c ? 2bc cos A 2 2 2 b ? a ? c ? 2ac cos B
2 2 2

余 弦 定 理
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的 和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
C

a ? b ? c ? 2bc cos A 2 2 2 b ? a ? c ? 2ac cos B 2 2 2 c ? a ? b ? 2ab cosC
2 2 2

b A
c

a
B

b2 ? c2 ? a 2 推论:cos A ? 2bc

a ?c ?b cos B ? 2ac
2 2

2

思考2:利用余弦 定理可以解决什 么类型的三角形 问题?

a2 ? b2 ? c2 cosC ? 2ab

思考3:勾股定理指出了直角三角形中三边平方之
间的关系,余弦定理则指出了一般三角形中三边平 方之间的关系。 那么,如何看待这两个定理之间的关系? 在△ABC中,


若 若

c ? a ?b
2 2

2

,则cosC=0,即∠C=90°(直角)
,则cosC>0,即∠C<90°(锐角) ,则cosC<0,即∠C>90°(钝角)

c ? a ?b
2 2

2

c ? a ?b
2 2

2

因此,余弦定理可看作是勾股定理的推广, 勾股定理可看作是余弦定理的特例。

思考4:余弦定理作为勾股定理的推广, 能否借助勾股定理来证明余弦定理?

当角C为锐角时 A

当角C为钝角时 A c b B

b
C

c

a D

D

C

a

B

证明:在三角形ABC中,已知AB=c,AC=b和A
作CD⊥AB,则CD=bsinA,BD=c-bcosA
C
? 2

b c A D

a

a ? CD2 ? BD2 ? (bsin A)2 ?(c?bcos A)2 ? b2 sin 2 A ? c 2 ? b2 cos2 A ? 2bc cos A

B

?b2?c2?2bccos A
同理有: ? a2?c2?2accos B b
2 2 ? a2 ? 2 ?2abcosC c

几何法

b

思考5:若△ABC为钝角三角形,该如何证明? 是否还有其他证明方法?(课后自己完成)

解决“千岛湖问题”
在△ABC中,已知AB=3km,BC=2km,

∠B=120o,求 AC
A

B

120° 解:由余弦定理得
AC2 ? AB2 ? BC2 ? 2 AB ? BC cos B

? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 cos120
2 2

o

C

? 19

AC ? 19

答:岛屿A与岛屿C的距离为 19 km.

例1、在△ABC中,已知a= 6 ,b=2,c= 3 ? 1 , 解三角形。 解:由余弦定理得
22 ? ( 3 ? 1)2 ? ( 6 )2 1 cos A ? b ? c ? a ? ? 2bc 2 2 ? 2 ? ( 3 ? 1)
2 2 2

? A ? 60?

( 6 )2 ? ( 3 ? 1)2 ? 22 cos B ? a ? c ? b ? ( 3 ? 1) 2ac 2? 6 ?
2 2 2

2 ? ? B ? 45? 2 C ? 180? ? A ? B ? 180? ? 60? ? 45? ? 75?

例2、已知△ABC的三边为 7 、2、1, 求它的最大内角。
解:设三角形的三边分别为a= 7 ,b=2,c=1 则最大内角为∠A
b2 ? c2 ? a 2 由余弦定理得cos A ? 2bc 2 2 2 2 ?1 ? 7 ? 2 ? 2 ?1

? 120 ?

练习1:在△ABC中,已知a=12,b=8,c=6, 判断△ABC的形状。

a ?b ?c
2 2

2

cosA<0,A为钝角,△ABC为钝角三角形。
练习2:在锐角△ABC中,边长a=1,b=2, 求边长c的取值范围。
a 2 ? b2 ? c2 ?0 解:∵ cosC ? 2bc



3 ?c?

a 2 ? c2 ? b2 cos B ? ?0 2ac

5

b2 ? c2 ? a 2 2 2 2 cos A ? a ? b ? c ? 2bc cos A 2bc c2 ? a 2 ? b2 2 2 2 cos B ? b ? a ? c ? 2ac cos B 2ca 2 2 2 a 2 ? b2 ? c2 c ? a ? b ? 2ab cosC cos C ? 2ab 余弦定理可以解决的有关三角形的问题:
1、已知两边及其夹角,求第三边和其他两个角; 2、已知三边求三个角; 3、判断三角形的形状和边长的取值范围。

余弦定理:

推论:

作业:习题1.1

3、4题,复习参考题A组

第1题


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