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合情推理与演绎推理


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9.1 合情推理与演绎推理
【知识网络】 1、合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用。
2、演绎推理的含义,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理 。 3、三段论推理是演绎推理的主要形式,常用格式为:M—P(M 是 P)大前提

S—M(S 是 M)小前提 S—P(S 是 P)结论 4、合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明;演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正 确的前提下,得到的结论一定正确。 【典型例题】 例 1:(1)迄今为止,人类已借助“网格计算”技术找到了 630 万位的最大质数。小王 发现由 8 个质数组成的数列 41,43,47,53,61,71,83,97 的一个通项公式,并根据通项公式得 出数列的后几项,发现它们也是质数。小王欣喜万分,但小王按得出的通项公式,再往后写几个数发 现它们不是质数。他写出不是质数的一个数是 ( ) A.1643 B.1679 C.1681 D.1697 答案:C。解析:观察可知:

a2 ? a1 ? 2, a3 ? a2 ? 4, a4 ? a3 ? 6,?, an ? an?1 ? 2(n ? 1),
累加可得: an ? a1 ? 2 ? 4 ? ? ? 2(n ? 1) ? (n ? 1)(2 ? 2n ? 2) ? (n ? 1)n ,
2 2

? an ?

n2 n ? ? 41, 验证可知 1681 符合此式,且 41× 41=1681。 2 2

(2)下面给出了关于复数的四种类比推理: ①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则; ②由向量 a 的性质|a|2=a2 类比得到复数 z 的性质|z|2=z2; ③方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a, b, c ? R) 有两个不同实数根的条件是 b 2 ? 4ac ? 0 可以类比得到: 方程

az 2 ? bz ? c ? 0 (a, b, c ? C ) 有两个不同复数根的条件是 b 2 ? 4ac ? 0 ;
④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义. 其中类比错误的是 A.①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③ ( )

答案:D 。解析:由复数的性质可知。

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(3)定义 A ? B, B ? C, C ? D, D ? A 的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4),那么下图中的 (A)、(B)所对应的运算结果可能是 ( )

(1)

(2)

(3) B. B ? D, A ? C

(4)

(A)

(B)

A. B ? D, A ? D 答案:B。

C. B ? C, A ? D

D. C ? D, A ? D

(4)在平面几何里,可以得出正确结论:“正三角形的内切圆半径等于这正三角形的高的 拓展到空间,类比平面几何的上述结论,则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高 的 。 答案: r ?

1 ”。 3

1 h 。解析:采用解法类比。 4

(5)在中学数学中,从特殊到一般,从具体到抽象是常见的一种思维形式。如从指数函数中可 抽象出 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的性质;从对数函数中可抽象出 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的性质。 那么从函数 (写出一个具体函数即可)可抽象出 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的性质。

答案:y=2x。解析:形如函数 y=kx (k≠0)即可,答案不惟一。 例 2:已知: sin 2 30 ? ? sin 2 90 ? ? sin 2 150 ? ?

3 3 ; sin 2 5? ? sin 2 65 ? ? sin 2 125 ? ? 2 2

通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题: _____________________________________________________= 并给出( * )式的证明。 答案:一般形式: sin 2 ? ? sin 2 (? ? 60 ? ) ? sin 2 (? ? 120 ? ) ?

3 2

( * )

3 2

1 ? cos 2? 1 ? cos(2? ? 120 ? ) 1 ? cos(2? ? 240 ? ) ? ? 证明:左边 = 2 2 2
=

3 1 ? [cos 2? ? cos(2? ? 120 ? ) ? cos(2? ? 240 ? )] 2 2 3 1 ? [cos 2? ? cos 2? cos120 ? ? sin 2? sin120 ? ? cos 2 cos 240 ? ? sin 2? sin 240 ? ] 2 2

=

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=

3 1 1 3 1 3 3 ? [cos 2? ? cos 2? ? sin 2? ? cos 2? ? sin 2? ] = ? 右边 2 2 2 2 2 2 2

(将一般形式写成 sin 2 (? ? 60? ) ? sin 2 ? ? sin 2 (? ? 60? ) ?

3 , 2

sin 2 (? ? 240? ) ? sin 2 (? ? 120? ) ? sin 2 ? ?

3 等均正确。) 2
a 2 ? b2 2

例 3:在△ABC 中,若∠C=90° ,AC=b,BC=a,则△ABC 的外接圆的半径 r ? 结论推广到空间,写出相类似的结论。 答案:本题是“由平面向空间类比”。考虑到平面中的图形是一个直角三角形, 所以在空间中我们可以选取有 3 个面两两垂直的四面体来考虑。 取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体 A—BCD,且 AB=a,AC=b,AD=c, 则此三棱锥的外接球的半径是 r ?
a 2 ? b2 ? c2 2

,把上面的



2 a12 a 2 ? ? a1 ? a 2 ”推广到一般情形,并证明你的 例 4: 请你把不等式“若 a1 , a 2 是正实数,则有 a 2 a1

结论。 答案: 推广的结论:若 a1 , a 2 ,?, a n 都是正数,
2 a2 a2 a12 a 2 ? ? ? n ? n ? a1 ? a 2 ? ? a n a 2 a3 a n ?1 a1

证明: ∵ a1 , a 2 ,?, a n 都是正数



a12 a2 ? a 2 ? 2a1 , 2 ? a1 ? 2a 2 a2 a1

………,

2 an a2 ?1 ? a n ? 2a n ?1 , n ? a1 ? 2a n an a1

2 2 2 an an a12 a 2 ? ?? ? ? a1 ? a 2 ? ? a n a 2 a3 a n ?1 a1

【课内练习】 1. 给定集合 A、 B, 定义 A ? B ? {x | x ? m ? n, m ? A, n ? B} , 若 A={4,5,6},B={1,2,3},则集合 A ? B 中的所有元素之和为 ( )

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A.15

B.14

C.27

D.-14

答案:A 。 解析: A ? B ? {1,2,3,4,5} ,1+2+3+4+5=15。 2.观察式子: 1 ? A、 1 ? C、 1 ?
1 22 ? 1 32 ??

1 22
?

?

3 1 1 5 1 1 1 7 ,1 ? 2 ? 2 ? ,1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 3 4 2 3 2 3 4

,…,则可归纳出式子为(
1 n2 ? 1 2n ? 1



1 n2

1 2n ? 1

B、 1 ? D、 1 ?

1 22

?

1 32

??

1 22

?

1 32

??

1 n2

?

2n ? 1 n

1 22

?

1 32

??

1 n2

?

2n 2n ? 1

答案:C。解析:用 n=2 代入选项判断。 3.有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线

b? ? 平面 ? ,直线 a ? 平面 ? ,直线 b ∥平面 ? ,则直线 b ∥直线 a ”的结论显然是错误的,这是因为
?



) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误

答案:A。解析:直线平行于平面,并不平行于平面内所有直线。 4.古希腊数学家把数 1,3,6,10,15,21,……叫做三角数,它有一定的规律性,第 30 个三 角数与第 28 个三角数的差为 。 答案:59。解析:记这一系列三角数构成数列 an ,则由 a2 ? a1 ? 2, a3 ? a2 ? 3, a4 ? a3 ? 4,? 归纳猜测
a30 ? a29 ? 30, a29 ? a28 ? 29 ,两式相加得 a30 ? a28 ? 59 。或由 a1 ? 1, a2 ? 1 ? 2, a3 ? 1 ? 2 ? 3 ,猜测 an ? 1 ? 2 ? ? ? n 。

??

a1 ? 2a 2 ? 3a3 ? ? ? nan ,则数列 {bn } 也为等差数列. 类比上 1? 2 ? 3 ??? n 述结论,写出正项等比数列 {c n } ,若 d n = ,则数列{ d n }也为等比数列.
5.数列 {a n } 是正项等差数列,若 bn ? 答案: (c1 ? c ? c ? ?? ? c )
2 2 3 3 1 n 1? 2?3??? n n



6.“?AC,BD 是菱形 ABCD 的对角线,?AC,BD 互相垂直且平分。”补充以上推理的大前提 是 。 答案:菱形对角线互相垂直且平分。 7.在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是 1 颗珠宝, 第二件首饰是由 6 颗 珠宝构成如图 1 所示的正六边形, 第三件首饰是由 15 颗珠宝构成如图 2 所示的正六边形, 第四件首饰 是由 28 颗珠宝构成如图 3 所示的正六边形, 第五件首饰是由 45 颗珠宝构成如图 4 所示的正六边形, 以 后 每 件 首 饰 都 在 前 一 件 上 , 按 照 这 种 规 律 增 加 一 定 数 量 的 珠 宝 , 使 它 构 成 更 大 的 正 六 边形 , 依 此 推 断 第 6 件 首饰上应有_______________颗珠宝;则前 n 件 首 饰 所 用 珠 宝 总 数 为 ________________颗.(结果用 n 表示)

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图1

图2 图3 图4

答案:66,

n ? n ? 1?? 4n ? 1? 6

。解析:利用归纳推理知。

8.在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形, 按图所标边长,由勾股定理有: c 2 ? a 2 ? b 2 . 设想正方形换成正方体, 把截线换成如图的截面, 这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱 锥 O—LMN,如果用 s1 , s 2 , s 3 表示三个侧面面积, s 4 表示截面面积,那么你类比得到的结论 是 .

2 2 ? S 32 ? S 4 答案: S12 ? S 2 。

9.已知椭圆 C:

x2 a2

?

y2 b2

? 1 具有性质:若

M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两点,点 P 是椭圆 C

上任意一点,当直线 PM、PN 的斜率都存在,并记为 KPM、KPN 时,那么 KPM 与 KPN 之积是与点 P 位 置无关的定值。试对双曲线
x2 a2 ? y2 b2 ? 1 写出具有类似特性的性质,并加以证明。 x2 a
2

答案:本题明确要求进行“性质类比”。类似的性质:若 M、N 是双曲线

?

y2 b2

? 1 上关于原点对

称的两点,点 P 是双曲线上任意一点,当直线 PM、PN 的斜率都存在,并记为 KPM、KPN 时,那么 KPM 与 KPN 之积是与点 P 位置无关的定值。证明如下: 设 M (m, n), 则N (?m,?n) ,其中
m2 a
2

?

n2 b2

?1

设 P( x, y) ,由 KPM ? y ? n , KPN ? y ? n ,
x?m x?m

得 K PM ? K PN ?

y?n y?n y 2 ? n2 ? ? 2 x ? m x ? m x ? m2

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将 y2 ?

b2 a2

x 2 ? b2 , n2 ?

b2 a

m2 ? b2 代入得 K PM ? K PN ? 2

b2 a2



10.观察下面由奇数组成的数阵,回答下列问题:
3

1 5 9 15 17 11 19 7 13

(Ⅰ)求第六行的第一个数. (Ⅱ)求第 20 行的第一个数. (Ⅲ)求第 20 行的所有数的和. 答案:(Ⅰ)第六行的第一个数为 31

? ? ? ? ? ? ?

(Ⅱ)∵第 n 行的最后一个数是 n2 ? n ? 1 ,第 n 行共有 n 个数,且这些数构成一个等差数列, 设第 n 行的第一个数是 an1 ∴ n 2 ? n ? 1 ? an1 ? 2(n ? 1) ∴ an1 ? n 2 ? n ? 1 ∴第 20 行的第一个数为 3 (Ⅲ)第 20 行构成首项为 381,公差为 2 的等差数列,且有 20 个数 设第 20 行的所有数的和为 S 20 则 S20 ? 381? 20 ? 【作业本】 A组 1.在数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,……中,第 25 项为 A.25 B.6 C.7 D.8 ( )

20(20 ? 1) ? 2 ? 8000 2

答案:C。解析:对于

n(n ? 1) 6? 7 中,当 n=6时,有 ? 21, 所以第25项是7。 2 2
??? ? ??? ?

2.如图,椭圆中心在坐标原点,F 为左焦点,当 FB ? AB 时,其离心率为 金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出”黄金双曲线”的离心率 e 等于 (

5 ?1 ,此类椭圆被称为“黄 2


A.

5 ?1 2

B.

5 ?1 2

y B F O A x

C. 5 ? 1

D. 5 ? 1

答案:A。解析: 猜想出“黄金双曲线”的离心率 e 等于

5 ?1 .事实上对直角△ ABF 应用勾股定理, 2 2 2 2 得 AF ? BF ? AB ,即有 (a ? c)2 ? (b 2 ? c 2 ) ? (a 2 ? b2 ) ,

注意到 b2 ? c 2 ? a 2 , e ?

c ,变形得 e2 ? e ? 1 ? 0, 从而e ? a

5 ?1 . 2
( )

3.下面几种推理过程是演绎推理的是

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A、 两条直线平行, 同旁内角互补, 如果∠A 和∠B 是两条平行直线的同旁内角, 则∠A+∠B=180° B、由平面三角形的性质,推测空间四面体性质 C、某校高三共有 10 个班,1 班有 51 人,2 班有 53 人,三班有 52 人,由此推测各班都超过 50 人 D、在数列 an 中, a1 ? 1, an ? (an ?1 ?

??

1 2

1 an ?1

)( n ? 2) ,由此推出 an

? ?的通项公式

答案:A。解析:B 是类比推理,C、D 是归纳推理。 4.由①正方形的对角线相等;②平行四边形的对角线相等;③正方形是平行四边形,根据 “三 段论”推理出一个结论,则这个结论是 。 答案:②③ ? ①。解析:②是大前提,③是小前提,①是结论。 5.公比为 4 的等比数列 ?bn ? 中,若 Tn 是数列 ?bn ? 的前 n 项积,则有

且公比为 4100 ;类比上述结论,相应地在公差为 3 的等差数列 ?a n ? 中,若 S n 是 ?a n ? 的前 n 项和,则数 列 也成等差数列,且公差为 。 答案: S 20 ? S10 , S 30 ? S 20 , S 40 ? S 30 ;300。解析:采用解法类比。

T20 T30 T40 , , 也成等比数列, T10 T20 T30

6.二十世纪六十年代,日本数学家角谷发现了一个奇怪现象:一个自然数,如果它是偶数就用 2 除它,如果是奇数,则将它乘以 3 后再加 1,反复进行这样两种运算,必然会得到什么结果,试考查 几个数并给出猜想。 答案:取自然数 6,按角谷的作法有:6÷ 2=3,3× 3+1=10,3× 5+1=16,16÷ 2=8,8÷ 2=4,4÷ 2=2, 2÷ 2=1,其过程简记为 6→3→10→5→16→8→4→2→1。 取自然数 7,则有 7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→……→1。 取自然数 100,则 100→50→25→76→38→19→58→29→88→44→22→……→1。 归纳猜想:这样反复运算,必然会得到 1。 7.圆的垂径定理有一个推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,这一性质能推广到椭圆吗? 设 AB 是椭圆
x2 a2 ? y2 b2 ? 1(a ? b ? 0) 的任一弦,M

是 AB 的中点,设 OM 与 AB 的斜率都存在,并设为

KOM、KAB,则 KOM 与 KAB 之间有何关系?并证明你的结论。 答案:KOM· KAB= ?
b2 a2

。证明:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M ( x0 , y0 ) ,

2 ? x1 y2 ?1 ? 2? 1 ( x ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) a b2 则? ? 1 ? ? 2 2 a2 b2 ? x2 y2 ? ? 1 ? 2 b2 ?a

=0

∵ x1 ? x2 ? 2 x0 , y1 ? y2 ? 2 y0 ,?

y0 y1 ? y2 b2 ? ?? 2 a x0 x1 ? x2

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即 KOM· KAB= ?

b2 a2

,而 a ? b ,即 KOM· KAB≠-1

∴OM 与 AB 不垂直,即不能推广到椭圆中。 8.已知 α、β 是锐角, ? ? ? ? ? ,且满足 3sin ? ? sin(2? ? ? ) 。
2

(1)求证: tan(? ? ? ) ? 2 tan? ;(2)求证: tan ? ? 2 ,并求等号成立时 tan? , tan ? 的值。
4

答案:(1)证明:∵ 3sin ? ? sin(2? ? ? ),?3sin[(? ? ? ) ? ? ] ? sin[? ? (? ? ? )] 即 3sin(? ? ? ) cos? ? 3cos(? ? ? ) sin? ? sin? cos(? ? ? ) ? cos? sin(? ? ? ) ∴ sin(? ? ? ) cos? ? 2sin? cos(? ? ? ),? tan(? ? ? ) ? 2 tan? 。 (2)证明: tan ? ? tan[(? ? ? ) ? ? ] ?
tan(? ? ? ) ? tan ? tan ? ? ? 1 ? tan(? ? ? ) tan ? 1 ? 2 tan 2 ? 1 1 ? 2 tan ? tan ?



∵α、β 为锐角,∴ tan ? ? 0. ? tan ? ?

1 1 2 ? ? 1 4 2 2 ? 2 tan ? tan ?



当且仅当 1 ? 2 tan ? ,即tan ? ? 2 时,取“=”号,此时, tan ? ? 2 。
tan ? 2 4

B组 1.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知 加密规则为:明文 a, b, c, d 对应密文 a ? 2b, 2b ? c, 2c ? 3d , 4d ,例如,明文 1, 2,3, 4 对应密文 5,7,18,16 . 当接收方收到密文 14,9, 23, 28 时,则解密得到的明文为( ) A. 4, 6,1, 7 B. 7, 6,1, 4 C. 6, 4,1, 7 D. 1, 6, 4, 7

? a ? 2b ? 14 ?a ? 6 ? 2b ? c ? 9 ?b ? 4 ? ? 答案:C。解析:本题考查阅读获取信息能力,实则为解方程组 ? ,解得 ? ,即解密 2 c ? 3 d ? 23 c ? 1 ? ? ? ? 4 d ? 28 ? ?d ? 7 得到的明文为 6, 4,1, 7 。
2.平面上有 n 个圆,其中每两个都相交于两点,每三个都无公共点,它们将平面分成 f (n) 块区 域,有 f (1) ? 2, f (2) ? 4, f (3) ? 8 ,则 f (n) 的表达式为 ( ) A、 2 n B、 n2 ? n ? 2 C、 2n ? (n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) D、 n3 ? 5n2 ? 10n ? 4

答案:B。解析:由 f (2) ? f (1) ? 2, f (3) ? f (2) ? 4, f (4) ? f (3) ? 6,?猜测f (n ? 1) ? f (n) ? 2n ,利用累加法,得 f (n) ? n2 ? n ? 2 。

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3.设 f ( x) ?

1 2x ? 2

,利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法,可求得 ( D、4 2 )

f (?5) ? f (?4) ? ? ? f (0) ? ? ? f (5) ? f (6) 的值为

A、 2

B、2 2

C、3 2

答案:C。解析: f ( x) ? f (1 ? x) ? 2 。
2

4.考察下列一组不等式:

2 3 ? 53 ? 2 2 ? 5 ? 2 ? 5 2 , 2 4 ? 5 4 ? 2 3 ? 5 ? 2 ? 53 , 2 5 ? 55 ? 2 3 ? 5 2 ? 2 2 ? 53 ,?? .
将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广,使以上的不等式成为推广不等式的特例, 则推广的不等式可以是___________________. 答案: a m? n ? b m? n ? a m b n ? a n b m ?a, b ? 0, a ? b, m, n ? 0?(或 a, b ? 0, a ? b, m, n 为正整数)。解 析:填 2 m? n ? 5 m? n ? 2 m 5 n ? 2 n 5 m 以及是否注明字母的取值符号和关系,也行。 5.如下图,第(1)个多边形是由正三角形“扩展“而来,第(2)个多边形是由正四边形“扩展” 而来,……如此类推.设由正 n 边形“扩展”而来的多边形的边数为 an , 则 a6 ? ;

1 1 1 1 = ? ? ? ??? ? a3 a4 a5 a99

.

答案:42;

97 。 300

6.指出下面推理中的大前提和小前提。 (1)5 与 2 2 可以比较大小; (2)直线 a, b, c, 若a // b, c // b, 则a // c 。

答案:(1)大前提是实数可以比较大小,小前提是 5 与 2 2 是实数。 (2)大前提是平行于同一条直线的两直线互相平行,小前提是 a // b, c // b 。 7. 已知函数 y ? f ( x) , 对任意的两个不相等的实数 x1 , x2 , 都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立, 且 f (0) ? 0 , 求 f (?2006) ? f (?2005)? f (2005) ? f (2006) 的值。 答案:∵当 x1 ? 0, x2 ? x时, f (0 ? x) ? f (0) ? f ( x) ,由 f (0) ? 0,? f (0) ? 1,? f (?x) ? f ( x) ? f (0) ? 1 , 从而可得: f (?2006) ? f (?2005)? f (2005) ? f (2006) =
f (?2006) ? f (2006) ? f (?2005) ? f (2005)? f (0) ? f (0) ? f (0)? f (0) ? 1

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8.已知数列{an}满足 Sn+an=2n+1, (1) 写出 a1, a2, a3,并推测 an 的表达式; (2)证明所得的结论。 答案:(1) a1=

3 7 15 , a2= , a3= , 2 4 8

猜测 an=2-

1 2n

(2) ①由(1)已得当 n=1 时,命题成立; ②假设 n=k 时,命题成立,即 ak=2-

1 , 2k

当 n=k+1 时, a1+a2+……+ak+ak+1+ak+1=2(k+1)+1, 且 a1+a2+……+ak=2k+1-ak ∴2k+1-ak+2ak+1=2(k+1)+1=2k+3, ∴2ak+1=2+2-

1 1 , ak+1=2- k ?1 , k 2 2 1 都成立 2n

即当 n=k+1 时,命题成立.

根据①②得 n∈N+ , an=2-


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