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2017_2018学年高中数学课后提升训练二1.1.3导数的几何意义新人教A版选修2_2

课后提升训练 二 导数的几何意义 (30 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 60 分) 1.(2017·天津高二检测)已知曲线 f(x)= x +2x 的一条切线斜率是 4,则切点的横坐标为 ( A.-2 B.-1 C.1 D.2 2 ) 【解析】选 D.Δ y=f(x+Δ x)-f(x)= (x+Δ x) +2(x+Δ x)- x -2x 2 2 =x·Δ x+ (Δ x) +2Δ x, 2 所以 =x+ Δ x+2,所以 f′(x)= =x+2. 设切点坐标为(x0,y0),则 f′(x0)=x0+2. 由已知 x0+2=4,所以 x0=2. 2.y=- 在点 处的切线方程是 ( ) A.y=x-2 C.y=4x-4 B.y=xD.y=4x-2 【解析】选 C.先求 y=- 的导数 , 因为Δ y=- + = , 所以 = , 所以 = = , 即 y′= , -1- 所以 y=- 在点 处的切线斜率 k=y′ =4, 所以切线方程为 y+2=4 即 y=4x-4. , 3.(2017·泰安高二检测)曲线 y= x -2 在点 A.30° B.45° C.135° 3 处切线的倾斜角为 ( D.60° ) 【解析】选 B.Δ y= (-1+Δ x) - ×(-1) =Δ x-Δ x + (Δ x) , 3 3 2 3 =1-Δ x+ (Δ x) , 2 = =1, 所以曲线 y= x -2 在点 3 处切线的斜率是 1,倾斜角为 45°. 4.设 f(x)为可导函数且满足 为 A.2 ( ) B.-1 C.1 =-1,则过曲线 y=f(x)上点(1,f(1))处的切线斜率 D.-2 【解析】选 B. = = =f ′(1)=-1. 5.设曲线 y=ax 在点(1,a)处的切线与直线 2x-y-6=0 平行,则 a 的值为 ( 2 ) A.1 B. C.- D.-1 【解析】选 A.因为 y′= -2- = (2a+aΔ x)=2a. 所以 2a=2,a=1. 6.函数 f(x)=x-x -1 的图象在点(1,-1)处的切线与直线 4x+ay+3=0 垂直,则 a= ( A.8 B.-8 C. 2 D.-2 2 3 ) 【解析】 选 B.由导函数的定义可得函数 f(x)的导数为 f′(x)=1-3x ,所以 f′(1)=-2,所以在点(1,-1)处的 切线的斜率为-2, 所以直线 4x+ay+3=0 的斜率为 , 所以- = ,所以 a=-8. 7.(2017·贵阳高二检测)已知函数 y=f(x)的图象如图,f′(xA)与 f′(xB)的大小关系是 ( ) A.0>f′(xA)>f′(xB) C.f′(xA)=f′(xB) B.f′(xA)<f′(xB)<0 D.f′(xA)>f′(xB)>0 【解析】选 B.f′(xA)和 f′(xB)分别表示函数图象在点 A,B 处的切线斜率, 故 f′(xA)<f′(xB)<0. 【补偿训练】已知 y=f(x)的图象如图所示,则 f′(xA)与 f′(xB)的大小关系是 ( ) A.f′(xA)>f′(xB) B.f′ (xA)=f′(xB) -3- C.f′(xA)<f′(xB) D.f′(xA)与 f′(xB)大小不能确定 【解析】选 A.由 y=f(x)的图象可知,kA>kB,根据导数的几何意义有:f′(xA)> f′(xB). 8.若曲线 y=x 的一条切线 l 与直线 x+2y-8=0 平行,则 l 的方程为 ( A.8x+16y+3=0 C.16x+8y+3=0 【解析】选 A.由 y=x 得 y′=4x , 设切点坐标为(x0,y0),则 y′ 因为切线 l 与直线 x+2y-8=0 平行, =4 , 4 3 4 ) B.8x-16y+3=0 D.16x-8y+3=0 所以 4 =- ,所以 x0=- , 所以 y0= = , 所以 l:y- =- , 即 8x+16y+3=0. 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 9.设 P 为曲线 C:y=x +2x+3 上的点,且曲线 C 在点 P 处的切线倾斜角的范围为 范围为________. 2 ,则点 P 横坐标的取值 【解析】因为 f′(x)= = = (Δ x+2x+2)=2x+2. 所以可设 P 点横坐标为 x0,则曲线 C 在 P 点处的切线斜率为 2x0+2. 由已知得 0≤2x0+2≤1,所以-1≤x0≤- , -4- 所以点 P 横坐标的取值范围为 . 答案: 10.(2017·兴义高二检测)已知二次函数 f(x)=ax +bx+c 的导数为 f′(x), 2 f′(0)>0,对于任意实数 x,有 f(x)≥0,则 的最小值为________. 【解题指南】 由导数的定义,先求出 f′(0)的值,从而求出 ≥0”这一条件,借助不等式的 知识即可求解. 的表达式,再利用 “对于任意实数 x,有 f(x) 【解析】由导数的定义,得 f′(0)= = = [a·(Δ x)+b]=b. 又因为对于任意实数 x,有 f(x)≥0, 则 所以 ac≥ ,所以 c>0. 所以 答案:2 三、解答题 = ≥ ≥ =2. 11.(10 分)已知直线 l1 为曲线 y=x +x-2 在(1,0)处的切线,l2 为该曲线的另一条切线,且 l1⊥l2. (1)求直线 l2 的方程. (2)求由直线 l1,l2 和 x 轴围成的三角形的面积. 2 【解析】(1)y′= = y′|x=1=2×1+1=3, = (2x+Δ x+1)=2x+1. -5- 所以直线 l1 的方程为 y=3(x-1),即 y=3x-3. 设直线 l2 过曲线 y=x +x-

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