当前位置:首页 >> 数学 >> 新课标人教A版高一数学必修1知识点总结

新课标人教A版高一数学必修1知识点总结

高中数学必修 1 知识点
第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念: 1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性: (1)元素的确定性; (2)元素的互异性; (3)元素的无序性 说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的 元素。 (2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样, 不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示:{ … } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法:列举法与描述法。 (Ⅰ)列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。 (Ⅱ)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示 某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法:例:不等式 x-3>2 的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2} (3)图示法(文氏图): 4、常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 5、“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A 记作 a∈A ,相反,
a 不属于集合 A 记作 a?A
6、集合的分类: 1.有限集 含有有限个元素的集合 2.无限集 含有无限个元素的集合 3.空集 不含任何元素的集合 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系———子集 对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们就说两集合有包含关系,称
集合 A 为集合 B 的子集,记作 A ? B
注意: 有两种可能(1)A 是 B 的一部分,;(2)A 与 B 是同一集合。
反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A ? B 或 B ? A
集合 A 中有 n 个元素,则集合 A 子集个数为 2n. 2.“相等”关系(5≥5,且 5≤5,则 5=5) 实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同” 结论:对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,同时,集合 B 的任何一个元
素都是集合 A 的元素,我们就说集合 A 等于集合 B,即:A=B ? A ? B且B ? A
① 任何一个集合是它本身的子集。A ? A ②真子集:如果 A ? B,且 A ? B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A ? B(或 B ? A) ③如果 A ? B, B ? C ,那么 A ? C ④ 如果 A ? B 同时 B ? A 那么 A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的运算

1.交集的定义:一般地,由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集.

记作 A∩B(读作”A 交 B”),即 A∩B={x|x∈A,且 x∈B}.

2、并集的定义:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的并集。记作:

A∪B(读作”A 并 B”),即 A∪B={x|x∈A,或 x∈B}.

3、交集与并集的性质:A∩A = A,A∩φ = φ , A∩B = B∩A,A∪A = A,A∪φ = A , A∪B = B∪A.

4、全集与补集

(1)全集:如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。通常

用 U 来表示。

(2)补集:设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集(即 A ? S),由 S 中 S

所有不属于 A 的元素组成的集合,叫做 S 中子集 A 的补集(或余集)。

记作: CSA ,即 CSA ={x | x? S 且 x?A}

A

(3)性质:⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(C UA)∪A=U

CsA

(4)(C UA)∩(C UB)=C U(A∪B) (5)(C UA)∪(C UB)=C U(A∩B)

二、函数的有关概念 1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记 作: y=f(x),x∈A.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫 做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意:1、如果只给出解析式 y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义 的实数的集合;2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 定义域补充: 能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1) 分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数 式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义 域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义 域还要保证实际问题有意义. (注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 2、构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 注意:(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以, 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)。 (2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。 相同函数的判断方法:①定义域一致;②表达式相同 (两点必须同时具备) 值域补充 (1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2)、应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基 础。 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐标的点 P(x,y) 的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.
C 上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系 y=f(x),反过来,以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为 坐标的点(x,y),均在 C 上 . 即记为 C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }
图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行于 Y 轴的直线最多只有一个交点

的若干条曲线或离散点组成。

(2) 画法:

A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出 x,y 的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标系内描出相

应的点 P(x, y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来.

B、图象变换法:

常用变换方法有三种,即平移变换、对称变换和伸缩变换

Ⅰ、对称变换: (1)将 y= f(x)在 x 轴下方的图象向上翻得到 y=∣f(x)∣的图象如:书上 P21 例 5

(2)

y= f(x)和 y= f(-x)的图象关于 y 轴对称。如 y

? ax与y

? a?x

?

? ??

1 a

? ??

x

(3) y= f(x)和 y= -f(x)的图象关于 x 轴对称。如 y ? loga x与y ? ? loga x ? log 1 x

a

Ⅱ、平移变换: 由 f(x)得到 f(x ? a)

左加右减;

由 f(x)得到 f(x) ? a

上加下减

(3)作用:A、直观的看出函数的性质;B、利用数形结合的方法分析解题的思路;C、提高解题的速度;发

现解题中的错误。

4.区间的概念

(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示.

5.映射

定义:一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的任意一

个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A ? B 为从集合 A 到集合 B 的

一个映射。记作“f:A ? B”

给定一个集合 A 到 B 的映射,如果 a∈A,b∈B.且元素 a 和元素 b 对应,那么,我们把元素 b 叫做元素 a

的象,元素 a 叫做元素 b 的原象

说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合 A、B 及对应法则 f 是确定的;②对应法则

有“方向性”,即强调从集合 A 到集合 B 的对应,它与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的;

③对于映射 f:A→B 来说,则应满足:(Ⅰ)集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一

的;(Ⅱ)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个;(Ⅲ)不要求集合 B 中的每一个元

素在集合 A 中都有原象。

6、函数的表示法:

常用的函数表示法及各自的优点:

1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图

象的依据:作垂直于 x 轴的直线与曲线最多有一个交点。

2 解析法:必须注明函数的定义域;

3 图象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征;

4 列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.

注意:解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法:便于量出函数值

补充一:分段函数

在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相

应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左

大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.注意:(1)分段函数是一个函数,不要把它误认

为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.

补充二:复合函数

如果 y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x),(x∈A) 称为 f 是 g 的复合函数。

7.函数单调性

(1).增函数

设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,

都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数。区间 D 称为 y=f(x)的 单调增区间;
如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1) >f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区 间. 注意:1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部 性质;

u=g(x) 增 增 减 减

y=f(u) 增 减 增 减

y=f[g(x)] 增 减 减 增

2、必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2) (或 f(x1)>f(x2))。 (2) 图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单 调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2;2 作差 f(x1)-f(x2);3 变形(通常是因式分解和配方);4 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负);5 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性).
(B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性:复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规 律如下:

复合函数单调性:口诀:同增异减

注意:1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. (4)判断函数的单调性常用的结论
①函数 y ? ? f (x) 与 y ? f (x) 的单调性相反;

y? 1 ②当函数 y ? f (x) 恒为正或恒有负时, f (x) 与函数 y ? f (x) 的单调性相反;

③函数 y ? f (x) 与函数 y ? f (x) ? C (C 为常数)的单调性相同; ④当 C > 0(C 为常数)时, y ? f (x) 与 y ? C f (x) 的单调性相同; 当 C < 0(C 为常数)时, y ? f (x) 与 y ? C f (x) 的单调性相反; ⑤函数 f (x) 、 g(x) 都是增(减)函数,则 f (x) ? g(x) 仍是增(减)函数;

⑥若 f (x) ? 0, g(x) ? 0 且 f (x) 与 g(x) 都是增(减)函数,则 f (x) g(x) 也是增(减)函数;

若 f (x) ? 0, g(x) ? 0 且 f (x) 与 g(x) 都是增(减)函数,则 f (x) g(x) 也是减(增)函数;

⑦设 f (x) ? 0 ,若 f (x) 在定义域上是增函数,则 n f (x) 、 k f (x)(k ? 0) 、 f n (x)(n ? 1) 都是增函数,

1

而 f (x) 是减函数.
8.函数的奇偶性 (1)偶函数

一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数. (2)奇函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=—f(x),那么 f(x)就叫做奇函数.

注意:1、 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; 函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。
2、 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个 x,

则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称). (3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称.

总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对

称;2 确定 f(-x)与 f(x)的关系;3 作出相应结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数;

若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数.

注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,

若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)有时判定 f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑根

据是否有 f(-x)±f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=±1 来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 .

函数奇偶性的性质

① 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;

偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反.

②奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称.

③若 f (x) 为偶函数,则 f (?x) ? f (x) ? f (| x |) .

④若奇函数 f (x) 定义域中含有 0,则必有 f (0) ? 0.

⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数 F(x) 与一个偶函数 G(x) 的和(或

差)”.如设 f (x) 是定义域为 R 的任一函数, 则 F (x) ? f (x) ? f (?x) , G(x) ? f (x) ? f (?x) .

2

2

⑥复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”.

⑦既奇又偶函数有无穷多个( f (x) ? 0 ,定义域是关于原点对称的任意一个数集).

9、函数的解析表达式

(1)函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对

应法则,二是要求出函数的定义域.

(2)求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,A、如果已知函数解析式的构造时,

可用待定系数法;B、已知复合函数 f[g(x)]的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;当已知

表达式较简单时,也可用凑配法;C、若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出 f(x)

10.函数最大(小)值(定义见课本 p30 页)

(1) 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;

(2) 利用图象求函数的最大(小)值;

(3) 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,

c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b);如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,

c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b);

第二章 基本初等函数

一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:

负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 =0。

注意:(1) ( n a )n ? a

(2)当 n 是奇数时, n an ? a

,当

n 是偶数时, n

an

?|

a

|?

?a, a ???a,

?0 a?0

2.分数指数幂

m
正数的正分数指数幂的意义,规定: a n ? n am (a ? 0, m, n ? N ?, 且n ? 1)

_m
正数的正分数指数幂的意义: a n ?

1
m

(a

?

0, m, n ?

N ?, 且n

? 1)

an

0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义

3.实数指数幂的运算性质

(1) aras ? ar?s (a ? 0, r, s ? R)

(2) (ar )s ? ars (a ? 0, r, s ? R)

(3) (ab)r ? arbr (a ? 0, b ? 0, r ? R)

1
注意:在化简过程中,偶数不能轻易约分;如[(1? 2)2 ]2 ? 1? 2而应= 2 ?1

(二)指数函数及其性质

1、指数函数的概念:一般地,函数 y ? ax 叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R.
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1.即 a>0 且 a≠1 2、指数函数的图象和性质

0<a<1

a>1

图 像

性质

定义域 R ,

值域(0,+∞)

(1)过定点(0,1),即 x=0 时,y=1

(2)在 R 上是减函数

(3)当 x>0 时,0<y<1; 当 x<0 时,y>1

(2)在 R 上是增函数
(3)当 x>0 时,y>1; 当 x<0 时,0<y<1

图象特征

函数性质

向 x 轴正负方向无限延伸

函数的定义域为 R

共性

函数图象都在 x 轴上方 图象关于原点和 y 轴不对称

函数的值域为 R+ 非奇非偶函数

函数图象都过定点(0,1)

过定点(0,1)

自左向右看,图象逐渐下降

减函数

在第一象限内的图象纵坐标都小于 1

当 x>0 时,0<y<1;

0<a<1 在第二象限内的图象纵坐标都大于 1

当 x<0 时,y>1

图象上升趋势是越来越缓

函数值开始减小极快,

到了某一值后减小速度较慢;

自左向右看,图象逐渐上升

增函数

在第一象限内的图象纵坐标都大于 1

当 x>0 时,y>1;

a>1 在第二象限内的图象纵坐标都小于 1

当 x<0 时,0<y<1

图象上升趋势是越来越陡

函数值开始增长较慢,

到了某一值后增长速度极快;

注意: 指数增长模型:y=N(1+p)x

指数型函数: y=kax

3 考点:(1)ab=N, 当 b>0 时,a,N 在 1 的同侧;当 b<0 时,a,N 在 1 的 异侧。

(2)指数函数的单调性由底数决定的,底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较幂的大小, 同底找对应的指数函数,底数不同指数也不同插进 1(=a0)进行传递或者利用(1)的知识。

(3)求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子,值域求法用单调性。 (4)分辨不同底的指数函数图象利用 a1=a,用 x=1 去截图象得到对应的底数。

(5)指数型函数:y=N(1+p)x 简写:y=kax

二、对数函数

(一)对数

1.对数的概念:一般地,如果 ax ? N ,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作: x ? loga N
( a— 底数, N— 真数, loga N — 对数式)
说明:1. 注意底数的限制,a>0 且 a≠1;2. 真数 N>0 3. 注意对数的书写格式. 2、两个重要对数:
(1)常用对数:以 10 为底的对数, log10 N记为lg N ; (2)自然对数:以无理数 e 为底的对数的对数 , loge N记为ln N .
3、对数式与指数式的互化

x ? loga N ? ax ? N

对数式

指数式

对数底数← a → 幂底数

对数← x → 指数

真数← N → 幂

结论:(1)负数和零没有对数

(2)logaa=1, loga1=0 特别地, lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0

(3) 对数恒等式: aloga N ? N

(二)对数的运算性质

如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有:

1、 log( a M ? N)? loga M ? loga N

两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和

2

、 log a

M N

? log a

M

? log a

N

两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差

3 、 loga M n ? n loga M(n ? R)

一个正数的 n 次方的对数等于这个正数的对数 n 倍

说明:

1) 简易语言表达:”积的对数=对数的和”……

2) 有时可逆向运用公式

3) 真数的取值必须是(0,+∞)

4) 特别注意: log a MN ? log a M ? log a N
log a ?M ? N ? ? log a M ? log a N

注意:换底公式

loga

b

?

logc logc

b a

?

lg b lg a

?a

?

0, a

? 1, c

?

0, c

?

1, b

?

0?

利用换底公式推导下面的结论



log a

b

?

1 log b

a



loga

b ? logb

c

?

logc

d

?

loga

d

③ logam

bn

?

n m

loga

b

(二)对数函数

1、对数函数的概念:函数 y ? loga x (a>0,且 a≠1) 叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是
(0,+∞). 注意:(1) 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。

如: y ? loga x ?1 , y ? loga x ? 2 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.
(2) 对数函数对底数的限制:a>0,且 a≠1

2、对数函数的图像与性质:对数函数 y ? loga x (a>0,且 a≠1)

0<a<1 y

a>1 y



像0

(1,0)

x

0

(1,0)

x

定义域:(0,+∞)

值域:R

过点(1 ,0), 即当 x =1 时,y=0

性 在(0,+∞)上是减函数

在(0,+∞)上是增函数

质 当 x>1 时,y<0

当 x>1 时,y>0

当 x=1 时,y=0

当 x=1 时,y=0

当 0<x<1 时,y>0

当 0<x<1 时,y<0

重要结论:在 log b 中,当 a ,b 同在(0,1) 或(1,+∞)内时,有 log b>0;

a

a

当 a,b 不同在(0,1) 内,或不同在(1,+∞) 内时,有 log b<0. a
口诀:底真同大于 0(底真不同小于 0). (其中,底指底数,真指真数,大于 0 指 log b 的值)
a

3、如图,底数 a 对函数 y ? log a x 的影响。
规律: 底大枝头低, 头低尾巴翘。 4 考点:
Ⅰ、logab, 当 a,b 在 1 的同侧时, logab >0;当 a,b 在 1 的异侧时, logab <0 Ⅱ、对数函数的单调性由底数决定的,底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较对数的大
小,同底找对应的对数函数,底数不同真数也不同利用(1)的知识不能解决的插进 1(=logaa)进行 传递。 Ⅲ、求指数型函数的定义域要求真数>0,值域求法用单调性。 Ⅳ、分辨不同底的对数函数图象利用 1=logaa ,用 y=1 去截图象得到对应的底数。 Ⅴ、y=ax(a>0 且 a ≠1) 与 y=logax(a>0 且 a ≠1) 互为反函数,图象关于 y=x 对称。

5 比较两个幂的形式的数大小的方法: (1) 对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断. (2) 对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较,可以利用比商法来判断. (3) 对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较,则应通过中间值来判断.常用 1 和 0. 6 比较大小的方法 (1) 利用函数单调性(同底数);(2) 利用中间值(如:0,1.);(3) 变形后比较;(4) 作差比较 (三)幂函数
1、幂函数定义:一般地,形如 y ? x? 的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,α 为常数.
2、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1); (2)α >0 时,幂函数的图象通过原点,并且在[0,+ ∞)上是增函数.特 别地,当α >1 时,幂函数的图象下凸;当 0<α <1 时,幂函数的图象 上凸; (3)α <0 时,幂函数的图象在(0,+∞)上是减函数.在第一象限 内,当 x 从右边趋向原点时,图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴, 当 x 趋于+∞时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴.
第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数 y=f(x),使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数的零点。(实质上是函数 y=f(x)与 x 轴交 点的横坐标) 2、函数零点的意义:方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y=f(x)有零点 3、零点定理:函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的,并且有 f(a)f(b)<0,那么函数 y=f(x)在区间(a,b) 至少有一个零点 c,使得 f( c)=0,此时 c 也是方程 f(x)=0 的根。 4、函数零点的求法:求函数 y=f(x)的零点: (1) (代数法)求方程 f(x)=0 的实数根; (2) (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y=f(x)的图象联系起来,并利用函数的性 质找出零点. 5、二次函数的零点:二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 1)△>0,方程 f(x)=0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有两个交点,二次函数有两个零点. 2)△=0,方程 f(x)=0 有两相等实根(二重根),二次函数的图象与 x 轴有一个交点,二次函数有一个二 重零点或二阶零点. 3)△<0,方程 f(x)=0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数无零点. 二、二分法 1、概念:对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)f(b)<0 的函数 y=f(x),通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间 一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。 2、用二分法求方程近似解的步骤: ⑴确定区间[a,b],验证 f(a)f(b)<0,给定精确度ε ; ⑵求区间(a,b)的中点 c; ⑶计算 f(c),
①若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点; ②若 f(a)f(c)<0,则令 b=c(此时零点 x0∈(a,c)) ③若 f(c)f(b)<0,则令 a=c(此时零点 x0∈(c,b)) (4)判断是否达到精确度ε :即若|a-b|<ε ,则得到零点近似值为 a(或 b);否则重复⑵~⑷ 三、函数的应用:

(1)评价模型: 给定模型利用学过的知识解模型验证是否符合实际情况。

(2)几个增长函数模型:一次函数:y=ax+b(a>0)

指数函数:y=ax(a>1)

指数型函数: y=kax(k>0,a>1)

幂函数: y=xn( n?N*)

对数函数:y=logax(a>1)

二次函数:y=ax2+bx+c(a>0)

增长快慢:V(ax)>V(xn)>V(logax)

解不等式 (1) log2x< 2x < x2

(2) log2x< x2 < 2x

(3)分段函数的应用:注意端点不能重复取,求函数值先判断自变量所在的区间。

(4)二次函数模型: y=ax2+bx+c(a≠0) 先求函数的定义域,在求函数的对称轴,看它在不在定义域内,

在的话代进求出最值,不在的话,将定义域内离对称轴最近的点代进求最值。

(5)数学建模:

(6)一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的 根的分布

两个根都在(m,n )内

两个有且仅有一个在(m,n)内 x1∈(m,n) x2∈(p,q)

y

m

nx

mn

m np q

?? ? 0

? ??m ? ?

b

?n

?

2a

? f (m) ? 0 ? ?? f (n) ? 0

两个根都小于 K
y

f(m)f(n)<0
两个根都大于 K

kx

k

? f (m) ? 0

?? f (n) ? 0

? ?

f

(

p)

?

0

?? f (q) ? 0

一个根小于 K,一个根大于 K

k

?? ? 0

???? ?

b 2a

?k

?? f (k ) ? 0

?? ? 0

???? ?

b 2a

?

k

?? f (k ) ? 0

f(k)<0


更多相关文档:

新课标人教A版高一数学必修1知识点总结.doc

新课标人教A版高一数学必修1知识点总结 - 高中数学必修 1 知识点 第一章 集

新课标人教A版高一数学必修1知识点总结大全.doc

新课标人教A版高一数学必修1知识点总结大全 - 高中数学必修 1 知识点 第一章

新课标人教A版高中数学必修1知识点总结.doc

新课标人教A版高中数学必修1知识点总结 - 高中数学必修 1 知识点总结 第一章

...点总结:新课标人教A版高中数学必修1知识点总结.pdf

人教版高中数学知识点总结:新课标人教A版高中数学必修1知识点总结 - 高中数学必

...点总结:新课标人教A版高中数学必修1知识点总结模板.doc

人教版高中数学知识点总结:新课标人教A版高中数学必修1知识点总结模板 - 高中数

人教A版高一数学必修1重点 知识点总结.doc

人教A版高一数学必修1重点 知识点总结 - 高中数学必修 1 知识点 第一章 集

人教A版高中数学必修1知识点总结.doc

人教A版高中数学必修1知识点总结 - 第一章 集合与函数概念 课时一:集合有关概

新课标人教A版高一数学必修1集合间的基本关系知识点.doc

新课标人教 A 版高一数学必修 1 集合间的基本关 系知识点新课标人教 A 版高一数学 必修 1 集合 间的基本关系 知识点第 页新 课标人教 A 版高一数学 必修 ...

新课标人教A版高一数学必修1集合的运算知识点.doc

新课标人教A版高一数学必修1集合的运算知识点 - 优选精品 欢迎下载 人教 A 版高一数学必修 1 集合的运算知识点 运算是集合考试中的重点知识点,整理了高一数学...

高中数学全知识点归纳总结(新课标人教A版)._图文.doc

高中数学全知识点归纳总结(新课标人教A版). - 高中数学必修+选修知识点归纳 新课标人教 A 版 纸上得来终觉浅 引言 1.课程内容: 必修课程由 5 个模块组成:...

新课标人教A版高一数学必修1知识点总结.doc

新课标人教A版高一数学必修1知识点总结_高一数学_数学_高中教育_教育专区。新课标人教A版高一数学必修1知识点总结,内容详实。 高中数学必修 1 知识点第一章 集合...

人教版高一数学必修一知识点总结大全.doc

人教版高一数学必修知识点总结大全_数学_高中教育_教育专区。人教版高中数学...新课标人教A版高一数学必... 10页 3下载券 高一数学必修2知识点总结......

高中数学必修+选修全部知识点精华归纳总结(新课标人教A版).doc

高中数学必修+选修全部知识点精华归纳总结(新课标人教A版) - 高中数学必修+选修知识点归纳 高三第一轮复习资料 引言 1.课程内容: 必修课程由 5 个模块组成: ...

高中数学必修1--4知识点精华归纳总结-修改版 (新课标人....doc

高中数学必修1--4知识点精华归纳总结-修改版 (新课标人教A版)_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修1--4知识点精华归纳总结-修改版 (新课标人教A版) ...

新课标人教A版高一数学必修1知识点总结.doc

新课标人教A版高一数学必修1知识点总结 - 高中数学必修 1 知识点 第一章 集

...数学必修+选修全部知识点归纳总结(新课标人教A版).doc

【精品推荐】高中数学必修+选修全部知识点归纳总结(新课标人教A版) - 高中数学必修+选修知识点归纳 新课标人教 A 版 复习寄语: 高三第一轮复习资料 引言 1....

新课标人教A版高中数学必修2知识点总结.doc

新课标人教A版高中数学必修2知识点总结 - 高中数学必修 2 知识点总结 第一章

新课标人教A版高中数学必修2知识点总结(完整版).doc

新课标人教A版高中数学必修2知识点总结(完整版) - 高中数学必修 2 知识点总结 第一章 1.1 柱、锥、台、球的结构特征 空间几何体 (1)棱柱:定义:有两个面...

高一数学 各章知识点总结 新人教A版必修1.doc

高一数学 各章知识点总结 新人教A版必修1 - 高一数学必修 1 各章知识点总结第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三...

...版高中数学知识点总结:新课标人教A版高中数学必修4....doc

人教版高中数学知识点总结:新课标人教A版高中数学必修4知识点总结 - 高中数学必修 4 知识点总结 第一章:三角函数 §1.1.1、任意角 1、 正角、负角、零角...

网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com