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高 中 数 学 竞 赛 辅 导 三角函数


高中数学竞赛辅导
三角函数与立体几何

5.已知 F ( a , ? ) ?

a ? 2 a sin ? ? 2
2

a ? 2 a cos ? ? 2
2

, a , ? ? R , a ? 0 ,那么,对于任意的 a , ? ,

F ( a , ? ) 的最大值为

拓展实数数列{an}定义如下:a1=t,an+1=4an(1-an),n=1,2,… .问:有多少个不同的实数值 t,使得 a2011=0?

第一节
1. 函 数 f ( x ) ? 2 x ?
2 4 x ? x 的 值 域 是 ____________

拓 展 若 实 数 x,y 满 足 4 +4 =2

x

y

x+1

+2

y+1

,则 u=2 +2 的 取 值 范 围 是

x

y

2. 若

?
4

? x?

?
2

, 则 函 数 y ? tan 2 x tan x 的 最 大 值 为
3

拓 展 已 知 ? , ? ? [0,

?
4

] , 则 sin(? ? ? ) ? 2 sin(? ? ? ) 的 最 大 值 为

7.若 0<a< 3 sin ? , ? ∈[ 最小值是

? 5?
4 , 6

],则 f ( a , ? ) ? sin ? ?
3

4 3 a sin ? ? a
2 3



拓展已知函数 f ( x ) ?

sin( πx ) ? cos( πx ) ? 2 1 5 ( ? x ? ) ,求 f(x)的最小值。 4 4 x

9.已知关于 x 的方程 x sin ? ? 2 x ? 4 ? 0 有两个正实根,
2

求S ?

9 sin ? ? 4 sin ? ? 3
2

?1 ? cos ? ? ? 2 cos ?

? 6 sin ? ? 3 sin 2? ? 2 ?

的最小值.

第二节
2. 在△ABC 中, A, , 分别对应边 a, , 则函数 f(x)= 角 B C b c,
x ? b ? c + 2bc ? a ? x
2 2 2 2 2

是否存在最大值?若存在,求出最大值,并用角 A 表示出来;若不存在,请说明理由. 3.已知 a,b,c,u,t∈R+,u<1,t<1 且 at+bu=c,a2+2bcu=b2+c2.
1 3a ? 求 w= ( 2 c 1? u b 1? t
2

) 的最小值,

4.设 0 ? ? , ? , ? ?

?
2

,且 sin ? ? sin ? ? sin ? ? 1 ,
3 3 3

求证: tan ? ? tan ? ? tan ? ?
2 2 2

3 3 2

.

2 5 . 数 列 { a n } 定 义 如 下 : a 1 ? 2 , a n ? 1 ? 2 ? 4 ? a n , 数 列 {b n } 定 义 为 :

bn ? 2

n ?1

a n , n ? N * 。 1)求 { a n } 的 通 项 ; 2)证 明 :bn ? bn ? 1 , n ? N * ; 3) ( ( (

证 明 : b n ? 7, n ? N * 。
6.设 x1,x2,x3,x4 都是正实数,且 x1+x2+x3+x4= ? ,求表达式:
(2 sin x1 ?
2

1 sin x1
2

)(2 sin x 2 ?
2

1 sin x 2
2

)(2 sin x3 ?
2

1 sin x3
2

)(2 sin x 4 ?
2

1 sin x 4
2

)

的最小值


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