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2016高考数学二轮专题复习 专题突破篇 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数专题限时训练2 文

专题限时训练(二)
一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)

函数的图象与性质

(时间:45 分钟 分数:80 分)

1.(2015·豫东、豫北十校联考)下列函数既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递减的 是( ) A.f(x)=sin x C.f(x)=-|x+1| 答案:B 解析:对于 A,y=sin x 是奇函数,但它在[-1,1]上为增函数;对于 B,由(2-x)(2+ B.f(x)=ln 2-x 2+x

1 x -x D.f(x)= (e -e ) 2

x)>0,得-2<x<2,所以 f(x)=ln
ln

2-x 的定义域是(-2,2),关于原点对称,因为 f(-x)= 2+x

2+x 2-x 2- x 2-x 4 =-ln =-f(x),所以 f(x)=ln 是奇函数.又 t= =-1+ 在区 2-x 2+x 2+ x 2+x 2+x 2-x 在区间[-1,1]上单 2+x

间[-1,1]上单调递减,故由复合函数的单调性可知函数 f(x)=ln

1 x -x 调递减;对于 C,f(x)=-|x+1|为非奇非偶函数;对于 D,f(x)= (e -e )是奇函数,但 2 它在[-1,1]上为增函数,故选 B. 2.(2014·陕西卷)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是( 1 2 )

A.f(x)=x

B.f(x)=x D.f(x)=3

3

?1?x C.f(x)=? ? ?2?
答案:D

x

解析:根据各选项知,选项 C,D 中的指数函数满足

f(x+y)=f(x)f(y).又 f(x)=3x 是增函数,所以 D 正确.
3.(2015·山西太原模拟)函数 f(x)=

x
2

x +a

的图象不可能是(

)

1

答案:D 解析:当 a=0 时,f(x)= 当 a≠0 时,f(0)=

x
2

x +a x

1 = ,C 选项有可能.

x =0,所以 D 选项不可能,故选 D. x2+a

4.设 f(x)是定义在实数集 R 上的函数,满足条件 y=f(x+1)是偶函数,且当 x≥1 时,

f(x)=? ?x-1,则 f? ?,f? ?,f? ?的大小关系是( 2 3 2 3

?1? ? ?

?2? ? ?

?3? ? ?

?1? ? ?

)

?2? ?3? ?1? A.f? ?>f? ?>f? ? ?3? ?2? ?3? ?2? ?1? ?3? B.f? ?>f? ?>f? ? ?3? ?3? ?2? ?3? ?2? ?1? C.f? ?>f? ?>f? ? ?2? ?3? ?3? ?1? ?3? ?2? D.f? ?>f? ?>f? ? ?3? ?2? ?3?
答案:A 解析:函数 y=f(x+1)是偶函数,所以 f(-x+1)=f(x+1),即函数关于 x=1 对称.

?2? ?4? ?1? ?5? 所以 f? ?=f? ?,f? ?=f? ?, ?3? ?3? ?3? ?3? ?1?x 当 x≥1 时,f(x)=? ? -1 单调递减, ?2?
4 3 5 所以由 < < ,可得 3 2 3

f? ?>f? ?>f? ?, 3 3 3

?4? ?2? ?5? ? ? ? ? ? ?

?2? ?3? ?1? 即 f? ?>f? ?>f? ?,故选 A. ?3? ?2? ?3?
5.若定义在[-2 015,2 015]上的函数 f(x)满足:对任意 x1,x2∈[-2 015,2 015]有

f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-2 014,且 x>0 时,f(x)>2 014,记 f(x)在[-2 015,2 015]上的
最大值和最小值为 M,N,则 M+N 的值为( A.2 015 C.4 027 答案:D 解析:令 x1=x2=0,得 f(0)=2 014. 设-2 015<x1<x2<2 015,且 x2=x1+h(h>0), 则 f(h)>2 014. ) B.2 016 D.4 028

2

所以 f(x2)=f(x1+h)=f(x1)+f(h)-2 014>f(x1). 可知 f(x)在[-2 015,2 015]上是增函数. 故 M+N=f(2 015)+f(-2 015)=f(2 015-2 015)+2 014=f(0)+2 014=4 028. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)

?3 ? 6.(2015·山西太原模拟)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f? -x?=f(x),f(-2) ?2 ?
=-3, 数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 a1=-1, Sn=2an+n(n∈N ), 则 f(a5)+f(a6)=________. 答案:3
*

?3 ? 解析:∵奇函数 f(x)满足 f? -x?=f(x), ?2 ? ?3 ? ∴f? -x?=-f(x), ?2 ? ? 3? ∴f(x)=-f?x+ ?=f(x+3), ? 2?
∴f(x)是以 3 为周期的周期函数, ∵Sn=2an+n,① ∴Sn+1=2an+1+n+1,② ②-①可得 an+1=2an-1, 结合 a1=-1,可得 a5=-31,a6=-63, ∴f(a5)=f(-31)=f(2)=-f(-2)=3,

f(a6)=f(-63)=f(0)=0,
∴f(a5)+f(a6)=3. 7.(2015·浙江温州模拟)已知奇函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x),且当 x∈(0,1)时,

f(x)=2x,则 f? ?=________. 2
答案:- 2 解析:由 f(x+2)=-f(x),得 f(x+4)=f(x), 所以 f(x)是周期为 4 的周期函数.

?7? ? ?

?7? ?7 ? ? 1? ?1? 所以 f? ?-f? -4?=f?- ?=-f? ?, ?2? ?2 ? ? 2? ?2? ?1? 1 x 又当 x∈(0,1)时,f(x)=2 ,所以 f? ?=2 = 2, ?2? 2 ?7? 所以 f? ?=- 2. ?2?
8.(2015·河北保定模拟)已知定义在 R 上的偶函数满足:f(x+4)=f(x)+f(2),且当

x∈[0,2]时,y=f(x)单调递减,给出以下四个命题:
3

①f(2)=0; ②x=-4 为函数 y=f(x)图象上的一条对称轴; ③函数 y=f(x)在[8,10]上单调递增; ④若方程 f(x)=m 在[-6,-2]上的两根为 x1,x2,则 x1+x2=-8. 则所有正确命题的序号为________. 答案:①②④ 解析:令 x=-2,得 f(2)=f(-2)+f(2), 又函数 f(x)是偶函数,故 f(2)=0; 根据 f(x+4)=f(x)+f(2)可得 f(x+4)=f(x), 可得函数 f(x)的周期是 4, 由于偶函数的图象关于 y 轴对称, 故 x=-4 也是函数 y=f(x)图象的一条对称轴; 根据函数的周期性可知,函数 f(x)在[8,10]上单调递减,③不正确; 由于函数 f(x)的图象关于直线 x=-4 对称, 故如果方程 f(x)=m 在区间[-6,-2]上的两根为 x1,x2, 则

x1+x2
2

=-4,即 x1+x2=-8.

故正确命题的序号为①②④. 三、解答题(9 题 12 分,10 题、11 题每题 14 分,共 40 分) 9.(2015·山东阶段测试)已知函数 f(x)=ax +bx+1(a,b 为实数,a≠0,x∈R). (1)若函数 f(x)的图象过点(-2,1), 且方程 f(x)=0 有且只有一个根, 求 f(x)的表达式; (2)在(1)的条件下,当 x∈[-1,2]时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求实数 k 的取值范 围. 解:(1)因为 f(-2)=1,即 4a-2b+1=1,所以 b=2a. 因为方程 f(x)=0 有且只有一个根, 所以 Δ =b -4a=0. 所以 4a -4a=0,所以 a=1,所以 b=2. 所以 f(x)=(x+1) .
2 2 2 2

? k-2?2+1-?k-2? . (2)g(x)=f(x)-kx=x +2x+1-kx=x -(k-2)x+1=?x- 2 ? 4 ? ?
2 2

2

由 g(x)的图象知,要满足题意,则

k-2
2

≥2 或

k-2
2

≤-1,即 k≥6 或 k≤0,

∴所求实数 k 的取值范围为(-∞,0]∪[6,+∞). 1-x 10.(2015·潍坊模拟)已知函数 f(x)=-x+log2 . 1+x

4

(1)求 f?

? 1 ?+f?- 1 ?的值; ? ? ? ?2 015? ? 2 015?

(2)当 x∈(-a,a],其中 a∈(0,1),a 是常数,函数 f(x)是否存在最小值?若存在,求 出 f(x)的最小值;若不存在,请说明理由. 1-x 解:(1)由 >0,得(x+1)(x-1)<0, 1+x 解得-1<x<1. 所以函数 f(x)的定义域为(-1,1). 1+x 1-x 又因为 f(-x)=x+log2 =x-log2 =-f(x), 1-x 1+x 所以函数 f(x)为奇函数,即 f(-x)+f(x)=0, 所以 f?

? 1 ?+f?- 1 ?=0. ? ? ? ?2 015? ? 2 015?

(2)存在最小值,任取 x1,x2∈(-1,1)且设 x1<x2, 1-x2 1-x1 则 f(x2)-f(x1)=(x1-x2)+log2 -log2 , 1+x2 1+x1 易知 f(x2)-f(x1)<0, 所以函数 f(x)为(-1,1)上的减函数, 又 x∈(-a,a]且 a∈(0,1), 1-a 所以 f(x)min=f(a)=-a+log2 . 1+a 11. 设 f(x)=a +b 同时满足条件 f(0)=2 和对任意 x∈R 都有 f(x+1)=2f(x)-1 成立. (1)求 f(x)的解析式; (2)设函数 g(x)的定义域为[-2,2],且在定义域内 g(x)=f(x),且函数 h(x)的图象与
x

g(x)的图象关于直线 y=x 对称,求 h(x)的解析式,并标注出定义域;
(3)求函数 y=g(x)+h(x)的值域. 解:(1)由 f(0)=2,得 b=1, 由 f(x+1)=2f(x)-1,得 a (a-2)=0, 由 a >0,得 a=2, 所以 f(x)=2 +1. (2)由题意知,当 x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)=2 +1. 设点 P(x,y)是函数 h(x)的图象上任意一点,它关于直线 y=x 对称的点为 P′(y,x), 依题意点 P′(y,x)在函数 g(x)的图象上, 即 x=2 +1, 所以 y=log2(x-1),
y x x x x

5

? ?5 ?? 即 h(x)=log2(x-1)?x∈? ,5??. ? ?4 ?? ?5 ? x (3)由已知,得 y=log2(x-1)+2 +1,且两个函数的公共定义域是? ,2?, ?4 ?
所以函数 y=g(x)+h(x)=log2(x-1)+2 +1
x

?x∈?5,2??. ? ?4 ?? ? ? ?? ?5 ? x 由于函数 g(x)=2 +1 与 h(x)=log2(x-1)在区间? ,2?上均为增函数, ?4 ?
5 4 当 x= 时,y=2 2-1, 4 当 x=2 时,y=5, 4 ? ?5 ?? 所以函数 y=g(x)+h(x)?x∈? ,2??的值域为[2 2-1,5]. ? ?4 ??

6


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