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高一数学函数单调性考点解析及习题辅导


第二章 高考要求
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函数——函数的单调性
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了解函数单调性的概念, 掌握判断一些简单函数的单调性的方法。 会用函数单调性解决 一些问题. 知识点归纳
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函数的性质是研究初等函数的基石, 也是高考考查的重点内容. 在复习中要肯于在对定 义的深入理解上下功夫. 复习函数的性质,可以从“数”和“形”两个方面,从理解函数的单调性定义入手,在 判断和证明函数的性质的问题中得以巩固, 在求复合函数的单调区间、 函数的最值及应用问 题的过程中得以深化. 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论.函数 y=f(x)在给定区间上的单调性,反映 了函数在区间上函数值的变化趋势, 是函数在区间上的整体性质, 但不一定是函数在定义域 上的整体性质.函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制. 1.函数单调性的定义: 2. 证明函数单调性的一般方法: ①定义法:设 x1 , x 2 ? A 且 x1 ? x 2 ;作差 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) (一般结果要分解为若干个因式 的乘积,且每一个因式的正或负号能清楚地判断出) ;判断正负号。
( ②用导数证明: 若 f ( x ) 在某个区间 A 内有导数,则 f ( x ) ? 0, x ? A )



? f ( x ) 在 A 内为增函数; f ( x ) ? 0,( x ? A ) ? f ( x ) 在 A 内为减函数。

3. 求单调区间的方法:定义法、导数法、图象法。 4.复合函数 y ? f ? g ( x ) ? 在公共定义域上的单调性: ①若 f 与 g 的单调性相同,则 f ? g ( x ) ? 为增函数;
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②若 f 与 g 的单调性相反,则 f ? g ( x ) ? 为减函数。 注意:先求定义域,单调区间是定义域的子集。 5.一些有用的结论: ①奇函数在其对称区间上的单调性相同; ②偶函数在其对称区间上的单调性相反; ③在公共定义域内: 增函数 f ( x ) ? 增函数 g ( x ) 是增函数; 减函数 f ( x ) ? 减函数 g ( x ) 是减函数; 增函数 f ( x ) ? 减函数 g ( x ) 是增函数; 减函数 f ( x ) ? 增函数 g ( x ) 是减函数。
? ? b ? b? , ?? ? 上 单 调 递 增 ; 在 ( a ? 0 , b ? 0 ) 在 ? ?? , ? ?或 ? ? ? a? x ? ? a ?

④ 函 数 y ? ax ?

b

? b ? ? b? , 0 ? 或 ? 0, ? 上是单调递减。 ?? ? ? a ? ? a? ?

题型讲解

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例 1 若 y=log a (2-ax)在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是 A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.[2,+∞)

分析:本题存在多种解法,但不管哪种方法,都必须保证:①使 log a (2-ax)有意义,即 a>0 且 a≠1, 2-ax>0. ②使 log a (2-ax)在[0, 1]上是 x 的减函数. 由于所给函数可分解为 y=log a u, u=2-ax,其中 u=2-ax 在 a>0 时为减函数,所以必须 a>1;③[0,1]必须是 y=log a (2-ax)定义

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域的子集. 解法一:因为 f(x)在[0,1]上是 x 的减函数,所以 f(0)>f(1), 即 log a 2>log a (2-a).

解法二:由对数概念显然有 a>0 且 a≠1,因此 u=2-ax 在[0,1]上是减函数,y= log a u 应
2 为增函数,得 a>1,排除 A,C,再令 a=3,则 y ? log 3 (2 ? 3 x ) 的定义域为 ( ?? , ) ,但[0, 3

1]不是该区间的子集。故排除 D,选 B. 说明:本题为 1995 年全国高考试题,综合了多个知识点,无论是用直接法,还是用排除法 都需要概念清楚,推理正确. 例 2(1)求函数 y ? log 0.7 ( x ? 3 x ? 2) 的单调区间;
2

(2)已知 f ( x ) ? 8 ? 2 x ? x , 若 g ( x ) ? f (2 ? x ) 试确定 g ( x ) 的单调区间和单调性.
2 2

解: (1)单调增区间为: (2, ?? ), 单调减区间为 ( ?? ,1) ,

(2) g ( x ) ? 8 ? 2(2 ? x ) ? (2 ? x ) ? ? x ? 2 x ? 8 ,
2 2 2
4 2

g ?( x ) ? ? 4 x ? 4 x ,
3

令 g ?( x ) ? 0 ,得 x ? ? 1 或 0 ? x ? 1 , 令 g ?( x ) ? 0 , x ? 1 或 ? 1 ? x ? 0 ∴单调增区间为 ( ?? , ? 1), (0,1) ;单调减区间为 (1, ?? ), ( ? 1, 0) .

例 3 设 a ? 0 , f ( x) ?

e

x

a

?

a e
x

是 R 上的偶函数.

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(1)求 a 的值; (2)证明 f ( x ) 在 (0, ?? ) 上为增函数.

解: (1)依题意,对一切 x ? R ,有 f ( ? x ) ? f ( x ) ,即

1 ae
x

? ae ?
x

e

x

a

?

a e
x

∴ (a ?

1 a

)( e ?
x

1 e
x

) ? 0 对一切 x ? R 成立,则 a ?

1 a

? 0 ,∴ a ? ? 1 ,

∵ a ? 0 ,∴ a ? 1 . (2)(定义法)设 0 ? x1 ? x 2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? e 1 ? e
x x2

?

1 e
x1

?

1 e
x2

? (e

x2

? e )(
x1

1 e
x1 ? x 2

? 1) ? e ( e
x1

x 2 ? x1

? 1)

1? e e

x 2 ? x1

x 2 ? x1



由 x1 ? 0, x 2 ? 0, x 2 ? x1 ? 0 ,得 x1 ? x 2 ? 0, e ∴ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ,

x 2 ? x1

? 1 ? 0 ,1 ? e

x 2 ? x1

? 0,

即 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,∴ f ( x ) 在 (0, ?? ) 上为增函数. (导数法)∵ a ? 1 , x ? (0, ?? )

∴ f ?( x ) ? ( e ?
x

1 e

)? ? e ? x
x

1 e
x

?

(e ) ? 1
x 2

e

x

?0

∴ f ( x ) 在 (0, ?? ) 上为增函数.
a 例 4 函数 f ( x ) ? log 9 ( x ? 8 ? ) 在 [1, ?? ) 上是增函数,求 a 的取值范围. x

分析:由函数 f ( x ) ? log 9 ( x ? 8 ?

a x

) 在 [1, ?? ) 上是增函数可以得到两个信息:①对任 a x ? 0 恒成立.

意的 1 ? x1 ? x 2 , 总有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ;②当 x ? 1 时, x ? 8 ? 解:∵函数 f ( x ) ? log 9 ( x ? 8 ?
a x

) 在 [1, ?? ) 上是增函数,

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∴对任意的 1 ? x1 ? x 2 , 有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,

即 log 9 ( x1 ? 8 ?

a x1

) ? log 9 ( x 2 ? 8 ?

a x2

) ,得

x1 ? 8 ?

a x1

? x2 ? 8 ?

a x2

,即 ( x1 ? x 2 )(1 ?

a x1 x 2

)?0,

∵ x1 ? x 2 ? 0 ,∴ 1 ?

a x1 x 2

? 0,

a x1 x 2

? ? 1,

a ? ? x1 x 2 ,

∵ x 2 ? x1 ? 1 ,∴要使 a ? ? x1 x 2 恒成立,只要 a ? 1 ; 又∵函数 f ( x ) ? log 9 ( x ? 8 ?
a x ) 在 [1, ?? ) 上是增函数,∴ 1 ? 8 ? a ? 0 ,

即 a ? 9 ,综上 a 的取值范围为 [ ? 1, 9) . 另解: (用导数求解) 令 g ( x) ? x ? 8 ? ∴ g ( x) ? x ? 8 ?
a x
a x

,函数 f ( x ) ? log 9 ( x ? 8 ?

a x

) 在 [1, ?? ) 上是增函数,
a x
2

在 [1, ?? ) 上是增函数, g ?( x ) ? 1 ?
a x
2



∴ 1 ? 8 ? a ? 0 ,且 1 ? 学生练习

? 0 在 [1, ?? ) 上恒成立,得 ? 1 ? a ? 9 .

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1.判断函数 f(x)=ax/(x2?1) (a≠0)在区间(?1,1)上的单调性。 2.已知函数 f(x)=a(ax?a?x)/(a?2) (a>0,且 a≠1)是 R 上的增函数,求 a 的取值范围。 3. 设函数 f(x)= x ? 1 ? ax (a>0),求 a 的取值范围, 使函数 f(x)在区间[0,+?)上是单调函数。
2

4.函数 y= x ? 2 x ? 3 的递减区间是
2

5.求 y=log0.7(x2?3x+2)的单调区间及单调性
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6.求 y=8+2log0.5x ?log0.52x 的单调区间及单调性. 7.函数 y=lncos(x/3+?/4)的递减区间是 8.函数 y=loga(2?ax)在[0,1]上是减函数,则 a 的取值范围是 9.已知奇函数 f(x)在定义域[?2,2]上递减,求满足 f(1?m)+f(1?m2)<0 的实数 m 的取值范围。
a ( x ? 1)
2

10.已知 a>0,a≠1,有 f(logax)=

( a ? 1) x
2

(1)求 f(x)的表达式,并证明 f(x)在(??,+?)上是增函数; (2)求证:对于任意大于 1 的自然数 n,f(n)>n 成立。 11.写出函数 f(x)=log0.5|x2?x?12|的单调区间
? 3 4 ? 3 2 ? 3 2

12.比较下面三个数的大小: 0 . 16

, 0 . 16

, 0 .5

13.设奇函数 f(x)在[0,+?)上是增函数,若对于任意实数 x,不等式 f(kx)+f(x?x2?2)<0 恒成 立,求实数 k 的取值范围。 14.已知 q>0,且 q≠1,数列{an}是首项和公比都为 q 的等比数列,设 bn=anlog5an (n?N), (1)当 q=5 时,求数列{bn}的前 n 项和 Sn;
Sn na n

(2) 在(1)的条件下,求 lim

n? ?

;

(3)在数列{bn}中,对于任意自然数 n,当 m>n 时,都有 bm>bn,求 q 的取值范围。

参考答案: 1. a>0,f(x)递减;a<0,f(x)递增
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2. a?(0,1)?(2,+?) 3. a?1 时,f(x)递减; 0<a<1 时,存在两点 x1=0,x2=2a/(1?a2) ,f(x1)=f(x2)=1,故无单调性。 4. ((??,?3)]) 5.在(??,1)上递增;在(2,+?)上递减 6.在(0,1/2]上递增;在[1/2,+?)上递减 7. [6k??3?/4,6k?+3?/4] k?Z 8. (1,2) 9. ?1?m<1 10. (1)f(x)=a(ax?a?x)/(a2?1); (2)用数学归纳法:f(n)>n ? f(n)+1>n+1,证明 f(n+1)>f(n)+1>n+1 11.作图,在(?3,1/2]和(4,+?)上递减,在(??,?3)和[1/2,4)上递增。 )
? 3 4 ? 3 2 ? 3 2

12. 0 . 16

> 0 . 16

> 0 .5

13. ?2 2 ?1<k<2 2 ?1
n?5 4
n ?1

14. (1)Sn=

?

1 16

(5

n ?1

? 5 ) ;(2)5/4;

(3)q>1 或 q<1/2

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