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高中数学课件—— 定积分的概念


1.5.3 定积分的概念 复习引入 求曲边梯形的思想和步骤: 分割 以直代曲 求和 逼近 (“以直代曲”的思想). 新课讲授 1.定积分的概念 一般地,设函数f ( x )在区间 [a , b]上连续,用 分点a ? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? xi ?1 ? xi ? ? ? xn ? b. 将区间 [a , b]等分成n个小区间,每个小区间 b?a 长度为?x( ?x ? ),在每个小区间 [ xi ?1 , xi ]上 n 取一点? i ( i ? 1,2,?, n),作和式 : n n b?a S n ? ? f (? i )?x ? ? f (? i ), n i ?1 i ?1 新课讲授 1.定积分的概念 如果?x无限接近于(亦即 0 n ? ? ?)时, 上述和式S n无限接近常数S,那么称该常数 S为函数f ( x )在区间[a , b]上的定积分,记作: b?a f (? i ), ? ?a f ( x )dx ? lim n? ? n i ?1 这里,a与b分别叫做积分下限与积分上限, 区间[a,b]叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函 数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式. b n ? b a f ( x )dx ,即 新课讲授 2.定积分的几何意义 如果在区间[a , b]上函数f ( x )连续且恒有 x ? a,x ? b(a ? b),y ? 0和曲线 y ? f ( x )所 围成的曲边梯形的面积 . y y=f(x) f(b) f(a) f ( x ) ? 0,那么定积分? f ( x )dx 表示由直线 a b O a b x 新课讲授 3.定积分的性质 性质1 性质2 ? b a 1dx ? b ? a ? ? b a kf ( x )dx ? k ? f ( x )dx a b b b 性质3 ?a [ f1 ( x ) ? f 2 ( x )]dx ? ?a f1 ( x )dx ? ?a f 2 ( x )dx b 性质4 b a f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx a c c b (其中a ? c ? b) 新课讲授 3.定积分的性质 性质5 若f ( x ) ? 0, x ? ?a, b?,则? f ( x )dx ? 0 b a 推论1 f ( x ) ? g( x ), ?a f ( x )dx ? ?a g( x )dx, (a ? b) 推论2 b b ? b a f ( x ) dx ? ? g( x )dx a b 新课讲授 3.定积分的性质 性质6 设M , m为f ( x )在[a, b]上的最大值、最 小值,则 m(b ? a ) ? ? f ( x )dx ? M (b ? a ) a b 性质7(中值定理) 若f ( x ) ? [a , b],则至少有一? ? [a , b], 使? f ( x )dx ? f (? )(b ? a ). a b 新课讲授 说明 b 推广: [ f1 ( x ) ? f 2 ( x ) ? ? ? f m ( x )]dx ? ? ? f1 ( x )dx ? ? f 2 ( x )dx ? ? ? ? f m ( x )dx a a a a b b b ? ?? b a c1 f ( x )dx f ( x )dx ? c1 ? f ( x )dx ? ? ?

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