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高中数学不等关系与基本不等式1不等式的性质课件北师大版_ (2)_图文

理解教 材新知 § 1 第 一 章 不 等 式 的 性 质 考点一 把握热 点考向 考点二 考点三 考点四 应用创 新演练 § 1 不等式的性质 [自主学习] 1.实数大小的比较 a>b? a-b>0 ; 求差法 a<b? a-b<0 ; a=b?a-b=0 . ? ?a>1? a>b ; ?b ?a 当 a>0,b>0 时,?b<1? a<b ; ? ?a =1? a=b . ? b ? 求商法 2.不等式的性质 (1)性质 1(对称性):如果 a>b,那么 b<a ; 如果 b<a,那么 a>b . (2)性质 2(传递性):如果 a>b,b>c,那么, a>c . (3)性质 3(加法性质):如果 a>b,那么 a+c>b+c . ①移项法则:如果 a+b>c,那么 a>c-b . ②推论(加法法则):如果 a>b,c>d,那么 a+c>b+d . (4)性质 4(乘法性质):如果 a>b,c>0,那么 ac>bc , 如果 a>b,c<0,那么 ac<bc. ①推论 1(乘法法则):如果 a>b>0,c>d>0,那么 ac>bd . ②推论 2(平方法则):如果 a>b>0,那么 a2 > b2. ③推论 3(乘方法则): 如果 a>b>0, 那么 an > bn(n 为正整数). ④推论 4(开方法则):如果 a>b>0,那么 a > b (n 为正整 数). 1 n 1 n [合作探究] 1.怎样比较两个代数式的大小? 提示:整式、分式一般用求差的方法来比较大小;而算式 则一般用求商的方法来比较大小. 2.两个不同向不等式的两边可以分别相减或相除吗? 提示:不可以,两个不同向不等式的两边不能分别相减, 也不能分别相除,在需求差或商时,可利用不等式性质化为同 向不等式相加或相乘,例如:a>b 且 c<d?a>b 且-c>-d,?a -c>b-d. 3.若 a>b>0,当 n<0 时,an>bn 成立吗? 提示:不成立,如当 a=3,b=2,n=-1 时, 1 1 -1 3 = < =2 . 3 2 -1 比较大小 [例 1] (1)比较 a4-b4 与 4a3(a-b)的大小. a b a+b (2)设 a>0,b>0,求证:a b ≥(ab) . 2 [思路点拨 ] 本题考查求差比较法及求商比较法在比较 代数式大小中的应用,同时考查了运算及转化能力,解答此 题 (1) 需要用求差的方法比较,解答 (2) 需要用求商的方法证 明. [精解详析] (1)a4-b4-4a3(a-b) =(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b) =(a-b)[(a+b)(a2+b2)-4a3] =(a-b)(a3+ab2+ba2+b3-4a3) =(a-b)[(ab2-a3)+(ba2-a3)+(b3-a3)] =(a-b)(a-b)[-a(a+b)-a2-(a2+b2+ab)] =-(a-b)2(3a2+2ab+b2) b 2 2 2 =-(a-b) [( 3a+ ) + b ]≤0 3 3 2 (当且仅当 a=b 时取等号). ∴a4-b4≤4a3(a-b). (2)证明:∵aabb>0,(ab) a?b 2 >0,∴ aabb ?ab? a?b 2 =a a?b 2 · b b?a 2 ?a? a ? b =?b? 2 . ? ? a a-b ①当 a=b 时,显然有(b) =1, 2 a-b a ②当 a>b>0 时,b>1, >0, 2 a- b a ③当 b>a>0 时,0<b<1, <0. 2 ?a?a-b 由指数函数的单调性,②③均有?b? >1. ? ? 2 a+b 综上可知,对任意正数 a,b,都有 a b ≥(ab) . 2 a b 比较大小的常用方法及步骤: 1.求差法:a≥b?a-b≥0,a≤b?a-b≤0. 一般步骤是:作差→变形→判号→定论. 变形是作差法的关键,配方和因式分解是常用的变形手段. a 2.求商法:当 a>0,b>0 时,把比较 a,b 的大小转化为比较b与 1 的大小关系,此即为作商比较法. 理论依据是不等式的性质: a a 若 a>0,b>0,则b≥1?a≥b,b≤1?a≤b. 一般步骤为:作商→变形→与 1 比较大小→定论. 1.已知 x≠0,求证:(x2-1)2<x4+x2+1. 证明:(x2-1)2-(x4+x2+1) =x4-2x2+1-x4-x2-1 =-3x2<0, ∴(x2-1)2<x4+x2+1. a2-b2 a-b 2.设 a>b>0,求证: 2 > . a +b2 a+b a2-b2 a-b ?a-b?[?a+b?2-?a2+b2?] 证明:法一: 2 - = a +b2 a+b ?a2+b2??a+b? 2ab?a-b? = 2 2 >0, ?a +b ??a+b? 所以原不等式成立. 法二:∵a>b>0,故 a2>b2>0.故左边>0,右边>0. 左边 ?a+b?2 2ab ∴ = =1+ 2 >1. 右边 a2+b2 a +b2 ∴原不等式成立. 利用不等式的性质辨别不等式的正误 [例 2] 对于实数 a,b,c 判断下列命题的真假. (1)若 a>b,则 ac<bc; (2)若 ac2>bc2,则 a>b; (3)若 a<b<0,则 a2>ab>b2; (4)若 a<b<0,则|a|>|b|; a b (5)若 c>a>b>0,则 > . c-a c-b [ 思 路 点拨 ] 本 题考查 不 等式 性质 的应 用及 逻 辑推 理能 力.解答此题需要依据实数的基本性质,实数的符号的运算法则 以及不等式性质,然后经过合理逻辑推理即可判断. [精解详析] (1)由于 c 的符号未知,因而不能判断 ac,bc 的 大小关系,故该命题是假命题. (2)由 ac2>bc2 知 c≠0,而 c2>0, ∴a>b,故该命题是真命题. ?

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