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2015年高考理科数学试题汇编(含答案):三角函数 大题

(江苏)15.(本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,已知 AB ? 2, AC ? 3, A ? 60 .
?

(1)求 BC 的长; (2)求 sin 2C 的值. 【答案】 (1) 7 (2) 【解析】
4 3 7

考点:余弦定理,二倍角公式 (10)(安徽)已知函数 f ? x ? ? ? sin ?? x ? ? ? ( ? , ? , ? 均为正的常数)的最小正 周期为 ? ,当 x ?

2? 时,函数 f ? x ? 取得最小值,则下列结论正确的是( ) 3
(B) f ? 0 ? ? f ? 2 ? ? f ? ?2 ? (D) f ? 2 ? ? f ? 0 ? ? f ? ?2 ?

(A) f ? 2 ? ? f ? ?2 ? ? f ? 0 ? (C) f ? ?2 ? ? f ? 0 ? ? f ? 2 ? 【答案】A

考点:1.三角函数的图象与应用;2.函数值的大小比较. (福建) 19 .已知函数 f( x) 的图像是由函数 g ( x) = cos x 的图像经如下变换得到:先将 ,再将所得到的图像向右平 g ( x) 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变) 移

p 个单位长度. 2

(Ⅰ)求函数 f( x) 的解析式,并求其图像的对称轴方程; (Ⅱ)已知关于 x 的方程 f( x) + g( x) = m 在 [0, 2p ) 内有两个不同的解 a , b . (1)求实数 m 的取值范围;

2m 2 - 1. (2)证明: cos(a - b ) = 5
【答案】 ( Ⅰ ) f( x) = 2sin x , x = kp + 析. 【解析】 试题分析:(Ⅰ)纵向伸缩或平移: g ( x) ? kg ( x) 或 g ( x) ? g ( x) ? k ;横向伸缩或平移:

p (k 2

Z). ; ( Ⅱ ) ( 1 ) (- 5, 5) ; ( 2 )详见解

g ( x) ? g (? x) (纵坐标不变,横坐标变为原来的

1

?

倍) , g ( x) ? g ( x ? a) ( a ? 0 时,向

左平移 a 个单位; a ? 0 时,向右平移 a 个单位 ) ; ( Ⅱ ) ( 1) 由 ( Ⅰ ) 得 f( x) = 2sin x ,则

f( x) + g( x) = 2sin x + cos x ,利用辅助角公式变形为 f(x )+ g( x )= 5 sin( x +j )(其中

sin j =

1 2 ) ,方程 f( x) + g( x) = m 在 [0, 2p ) 内有两个不同的解 a , b ,等价 , cos j = 5 5

于直线 y ? m 和函数 y = 5 sin( x +j ) 有两个不同交点,数形结合求实数 m 的取值范围; (2)结合图像可得 a +b =2( 求解. 试题解析:解法一:(1)将 g ( x) = cos x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐 标不变)得到 y = 2cos x 的图像,再将 y = 2 cos x 的图像向右平移

p 3p - j ) 和 a +b =2( - j ) ,进而利用诱导公式结合已知条件 2 2

p 个单位长度后得到 2

y = 2 cos( x p x = kp + (k 2

p ) 的图像,故 f(x ) = 2 sinx ,从而函数 f(x ) = 2 sinx 图像的对称轴方程为 2 Z).

(2)1) f( x) + g( x) = 2sin x + cos x = 5(

2 1 sin x + cos x) 5 5 1 2 , cos j = ) 5 5

= 5 sin( x +j ) (其中 sin j =
依题意, sin(x +j )=

m m |< 1 ,故 m 在区间 [0, 2p ) 内有两个不同的解 a , b 当且仅当 | 5 5

的取值范围是 (- 5, 5) . 2)因为 a , b 是方程 5 sin( x +j )=m 在区间 [0, 2p ) 内有两个不同的解, 所以 sin(a +j )=

m m , sin( b +j )= . 5 5
p - j ), a - b = p - 2( b +j ); 2

当 1 ? m< 5 时, a +b =2( 当 - 5<m<1 时, a +b =2(

3p - j ), a - b = 3p - 2( b +j ); 2
2

所以 cos(a - b ) = - cos 2( b +j ) = 2sin ( b +j ) - 1 = 2( 解法二:(1)同解法一. (2)1) 同解法一.

m 2 2m2 ) - 1= - 1. 5 5

2) 因为 a , b 是方程 5 sin( x +j )=m 在区间 [0, 2p ) 内有两个不同的解, 所以 sin(a +j )=

m m , sin( b +j )= . 5 5
p - j ), 即a +j = p - ( b +j ); 2

当 1 ? m< 5 时, a +b =2( 当 - 5<m<1 时, a +b =2(

3p - j ), 即a +j = 3p - ( b +j ); 2

所以 cos(a +j ) = - cos( b +j ) 于是 cos(a - b ) = cos[(a +j ) - ( b +j )] = cos(a +j )cos( b +j ) +sin(a +j )sin( b +j )

= - cos2 ( b +j ) + sin(a +j )sin( b +j ) = - [1 - (

m 2 m 2m2 ) ] + ( )2 = - 1. 5 5 5

考点:1、三角函数图像变换和性质;2、辅助角公式和诱导公式. (湖南)17.设 ?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, a ? b tan A ,且 B 为钝 角》 (1)证明: B ? A ?

?
2

(2)求 sin A ? sin C 的取值范围 【答案】 (1)详见解析; (2) ( 【解析】 试题分析: (1)利用正弦定理,将条件中的式子等价变形为 inB=sin(

2 9 , ]. 2 8

?
2

+A) ,从而得证;

(2)利用(1)中的结论,以及三角恒等变形,将 sin A ? sin C 转化为只与 A 有关的表达 式,再利用三角函数的性质即可求解. 试 题解 析 : ( 1 )由 a=btanA 及 正弦 定理 ,得 sinB=sin(

sin A b sin B , 所 以 sinB=cosA , 即 ? ? cos A a cos B

?
2

+A).

又 B 为钝角,因此 (A+B)= ? -(2A+

?
2

+A ? (

?
2

,A) ,故 B=

?
2

+A,即 B-A=

?
2

; (2)由(I)知,C= ? -

? ? ? ? ?? )= -2A>0,所以 A ? ? 0, ? ,于是 sinA+sinC=sinA+sin( -2A)= 2 2 2 ? 4?
2 1 2 9 ? ) + ,因为 0<A< ,所以 0<sinA< ,因此 2 4 8 4

sinA+cos2A=-2 sin 2 A+sinA+1 =-2(sinA-

2 1? 9 9 ? <-2 ? sin A ? ? ? ? 2 4? 8 8 ?
由此可知 sinA+sinC 的取值范围是(

2

2 9 , ]. 2 8

考点:1.正弦定理;2.三角恒等变形;3.三角函数的性质. (四川)19.如图,A,B,C,D 为平面四边形 ABCD 的四个内角. (1)证明: tan ( 2

A 1 ? cos A ? ; 2 sin A




A ? C ? 180o , AB ? 6, BC ? 3,CD ? 4, AD? 5,



tan

A B C D ? tan ? tan ? tan 的值 . 2 2 2 2

【答案】 (1)详见解析; (2) 【解析】

4 10 . 3

A A 2 ,为了将半角变为单角,可在分子分母同时 试题分析: (1)首先切化弦得 tan ? 2 cos A 2 sin
乘以 2sin

A ,然后逆用正弦与余弦的二倍角公式即可.(2)由题设知,该四边形的两对 角 2
A B C D 2 2 ? tan ? tan ? tan ? ? ,所以只需 2 2 2 2 sin A sin B

互补.再结合(1)的结果,有 tan

求出 sin A,sin B 即可.由于已知四边,且 cos C ? ? cos A , cos D ? ? cos B ,故考虑用余 弦定理列方程组求 cos A, cos B ,从而求出 sin A,sin B .

A A sin 2sin 2 A 2 ? 2 ? 1 ? cos A . 试题解析: (1) tan ? 2 cos A 2sin A cos A sin A 2 2 2
(2)由 A ? C ? 180 ,得 C ? 180 ? A, D ? 180 ? B .

由(1) ,有 tan

A B C D ? tan ? tan ? tan 2 2 2 2

?

1 ? cos A 1 ? cos B 1 ? cos(180 ? A) 1 ? cos(180 ? B) ? ? ? sin A sin B sin(180 ? A) sin(180 ? B)

?

2 2 ? sin A sin B
2 2 2

连结 BD, 在 ?ABD 中,有 BD ? AB ? AD ? 2 AB ? AD cos A , 在 ?BCD 中,有 BD ? BC ? CD ? 2 BC ? CD cos C ,
2 2 2

所以 AB ? AD ? 2 AB ? AD cos A ? BC ? CD ? 2 BC ? CD cos A ,
2 2 2 2

则 cos A ?

AB 2 ? AD 2 ? BC 2 ? CD 2 62 ? 52 ? 32 ? 42 3 ? ? , 2( AB ? AD ? BC ? CD ) 2(6 ? 5 ? 3 ? 4) 7
2

于是 sin A ? 1 ? cos A ? 1 ? ( ) ?
2

3 7

2 10 . 7

连结 AC,同理可得

cos B ?

AB 2 ? BC 2 ? AD 2 ? CD 2 62 ? 32 ? 52 ? 42 1 ? ? , 2( AB ? BC ? AD ? CD ) 2(6 ? 3 ? 5 ? 4) 19
2

于是 sin B ? 1 ? cos B ? 1 ? ( 所以 tan

1 2 6 10 ) ? . 19 19

A B C D ? tan ? tan ? tan 2 2 2 2

?

2 2 ? sin A sin B
?
?

14 2 ?19 ? 2 10 2 10
4 10 . 3

考点:本题考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识,考 查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程、化归与转化等数学思想.


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