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高中数学选修2-1第2章《圆锥曲线与方程》单元测试题


选修 2-1 第二章《圆锥曲线与方程》单元测试题
一.选择题 1
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以椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点为顶点,离心率为 2 的双曲线的方程( 25 16
B



A

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x2 y2 ? ?1 16 48

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x2 y2 ? ?1 9 27

C

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x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 16 48 9 27

D

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以上都不对

5 5 x2 2 2 ? y2 ? 1; 2.已知两点 M (1, ), N ( ?4,? ) ,给出下列曲线方程: ① 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 ;② x ? y ? 3 ;③ 4 4 2


x2 ? y 2 ? 1 .在曲线上存在点 P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是( ) 2
(A)①③ (B)②④ (C)①②③ (D)②③④

3.圆心在抛物线 y 2 ? 2 x( y ? 0) 上,并且与抛物线的准线及 x 轴都相切的圆的方程是( ) A. x ? y ? x ? 2 y ?
2 2

1 ?0 4

B. x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 D. x ? y ? x ? 2 y ?
2 2

C. x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 1 ? 0

1 ?0 4

4.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F ( 7 ,0) ,直线 y ? x ? 1 与其相交于 M , N 两点, MN 中点横坐 标为 ?

2 ,则此双曲线的方程是( 3
(B)

)

x2 y2 ? ?1 (A) 3 4
2 2

x2 y2 ? ?1 4 3

x2 y2 ? ?1 (C) 5 2

x2 y2 ? ?1 (D) 2 5

5.过双曲线 x -y =8 的左焦点 F1 有一条弦 PQ 在左支上,若|PQ|=7,F2 是双曲线的右焦点,则△PF2Q 的 周长是( A.28 ) B.14-8 2 C.14+8 2 D.8 2 )

6.设 P 是椭圆 + =1 上一动点,F1、F2 是椭圆的两个焦点,则 cos∠F1PF2 的最小值是( 9 4 A. 1 2 1 B. 9 1 C.- 9 5 D.- 9
2 2

x2 y2

5-1 x y 7 .定义:离心率 e = 的椭圆为“黄金椭圆”,已知椭圆 E : 2 + 2 = 1(a>b>0) 的一个焦点为 2 a b

F(c,0)(c>0),P 为椭圆 E 上的任意一点,若 a,b,c 不是等比数列,则(
A.E 是“黄金椭圆” B. E 一定不是“黄金椭圆”

)

C.

E 不一定是“黄金椭圆” x2 y2 a b

D. 可能不是“黄金椭圆”

8.已知 F1、F2 分别为椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A,B 两点,若△ABF2 为钝角三角形,则椭圆 C 的离心率 e 的取值范围为( A.(0, 2-1) C.( 2-1,1)
2 2

)

B.(0, 3-1) D.( 3-1,1)

x y 1 2 9.设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 e= ,右焦点为 F(c,0),方程 ax +bx-c=0 的两个实根分别为 a b 2 x1 和 x2,则点 P(x1,x2)(
A.必在圆 x +y =2 内 C.必在圆 x +y =2 外
2 2 2 2

) B.必在圆 x +y =2 上 D.以上三种情形都有可能
2 2 2

10.已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,抛物线 y =4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离 之和的最小值是( A.2 二.填空题 11.双曲线的渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 ,焦距为 10 ,这双曲线的方程为_______________
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) C. 11 5 37 D. 16

B.3

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12. 当以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积的最大值为 1 时, 椭圆长轴的最小值为 . 13.椭圆具有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一 个焦点.今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点 A、B 是它的焦点,壁反射后第一次回到点 A 时,小 球经过的路程是________. 14.以双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线,若一条双曲线与它的共轭 双曲线的离心率分别为 e1,e2,则当它们的实、虚轴都在变化时,e1+e2的最小值是________. 15.点 P 到 A(1,0)和直线 x=-1 的距离相等,且点 P 到直线 l:y=x 的距离等于 数为________. 三.解答题
2 2 16. k 代表实数,讨论方程 kx ? 2 y ? 8 ? 0 所表示的曲线.
2 2

2 ,则这样的点 P 的个 2

17.已知椭圆的一个顶点为 A(0,-1) ,焦点在 x 轴上.若右焦点到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为 3. (1)求椭圆的方程; (2)设椭圆与直线 y ? kx ? m (k ? 0) 相交于不同的两点 M、N.当 AM ? AN 时,求 m 的取值范围.

18.已知椭圆方程为 x ?
2

y2 ? 1 ,射线 y ? 2 2 x (x≥0)与椭圆的交点为 M,过 M 作倾斜角互补的两条 8

直线,分别与椭圆交于 A、B 两点(异于 M) . (1)求证直线 AB 的斜率为定值; (2)求△ AMB 面积的最大值.

19.已知直线 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 相切于点 T,且与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 相交于 A、B 两点.若 T 是线段 AB 的中点,求直线 l 的方程.

20.抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点,且与双曲线实轴垂直,已知抛物线 a 2 b2

?3 ? 与双曲线的交点为 ? , 6 ? .求抛物线与双曲线的方程. ?2 ?

21.某隧道横断面由抛物线和矩形的三边组成,尺寸如图 2 所示,某卡车载一集装箱,箱宽 3m,车与箱共 高 4m,此车能否通过此隧道?请说明理由.

选修 2-1 第二章《圆锥曲线与方程》单元测试题
命题人:王琴 答案 一.选择题 1.B 2. D 3. D 4. D 5.解析:|PF2|+|PQ|+|QF2| =|PF2|-|PF1|+|QF2|-|QF1|+2·|PQ| =14+8 2. 答案:C 6.解析:设|PF1|=m,|PF2|=n,由题意 m+n=6, 审题人:朱杏平

m2+n2-(2c)2 (m+n)2-4c2-2mn 4b2 2×4 1 c= 5,则 cos∠F1PF2= = = -1≥ -1=- . 2mn 2mn 2mn m + n 9 ? ?2

? 2 ? ? ?

答案:C 7. 解析:假设 E 为黄金椭圆,则 e= = 5-1 a, 2
2 2 2

c a

5-1 , 2

即 c=

∴b =a -c =a -?
2

5-1 2 ? 5- 1 ? 2 a =ac. a? = 2 ? 2 ?

即 a,b,c 成等比数列,与已知矛盾,故椭圆 E 一定不是“黄金椭圆”. 答案:B 8.解析:由△ABF2 为钝角三角形,得 AF1>F1F2,∴ >2c,化简得 c +2ac-a <0,∴e +2e-1<0,又 0<e<1, 解得 0<e< 2-1,选 A. 答案:A 9.解析:∵x1+x2=- ,x1·x2=- ,

b2 a

2

2

2

b a

c a

b 2c b +2ac 2 2 2 ∴x1+x2=(x1+x2) -2x1·x2= 2+ = , 2 a a a c 1 1 ∵e= = ,∴c= a, a 2 2

2

2

?1 ?2 3 2 2 2 2 2 ∴b =a -c =a -? a? = a , ?2 ? 4
3 2 1 a +2a× a 4 2 7 2 2 ∴x1+x2= = <2. 2 a 4 ∴P(x1,x2)在圆 x +y =2 内.故应选 A. 答案:A 10.解析:如图所示,动点 P 到 l2:x=-1 的距离可转化为 P 到 F 的距离,由图可知,距离和的最小值即
2 2

F 到直线 l1 的距离 d=

|4+6| 3 +4
2

2

=2,故选 A.

答案:A 二.填空题

x2 y 2 ? ? ?1 11. 20 5
12. 2 2 13.解析:设靠近 A 的长轴端点为 M,另一长轴的端点为 N.若小球沿 AM 方向运动,则路程应为 2(a-c); 若小球沿 AN 方向运动,则路程为 2(a+c);若小球不沿 AM 与 AN 方向运动,则路程应为 4a. 答案:4a 或 2(a-c)或 2(a+c) 14.解析:∵e1=
2

a2+b2 2 a2+b2 ,e2= 2 , a2 b

∴e1+e2=

2

2

a2+b2 a2+b2 + 2 a2 b

=2+ 2+ 2≥2+2

b2 a2 a b

=4(当且仅当 a=b 时等号成立). 答案:4

? ? 2 15.解析:由抛物线定义,知点 P 的轨迹为抛物线,其方程为 y =4x,设点 P 的坐标为? ,y0?,由点到直 ?4 ? ?y0-y0? ?4 ? ? ?
2
2

2 y0

线的距离公式,知 答案:3



2 2 ,即 y0-4y0±4=0,易知 y0 有三个解,故点 P 个数有三个. 2

三.解答题 16.解:当 k ? 0 时,曲线

y2 x2 ? ? 1 为焦点在 y 轴的双曲线; 4 ?8 k

当 k ? 0 时,曲线 2 y 2 ? 8 ? 0 为两条平行于 x 轴的直线 y ? 2或y ? ?2 ; 当 0 ? k ? 2 时,曲线

x2 y 2 ? ? 1 为焦点在 x 轴的椭圆; 8 4 k

当 k ? 2 时,曲线 x2 ? y 2 ? 4 为一个圆; 当 k ? 2 时,曲线

y 2 x2 ? ? 1 为焦点在 y 轴的椭圆 8 4 k

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17.(1)依题意可设椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1 ,则右焦点 F( a 2 ? 1,0 )由题设 2 a
2

a2 ?1 ? 2 2 2

?3

解得 a ? 3

故所求椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 3

x2 ? y2 ? 1 3
? y ? kx ? m (2)设 P 为弦 MN 的中点,由 ? ? x2 2 ? ? y ?1 ?3
得 (3k ? 1) x ? 6mkx? 3(m ? 1) ? 0
2 2 2

由于直线与椭圆有两个交点,? ? ? 0, 即 m ? 3k ? 1
2 2



? xp ?

xM ? x N 3m k ?? 2 2 3k ? 1

从而 y p ? kx p ? m ?

m 3k 2 ? 1

? k Ap ?
?

yp ?1 xp

??

m ? 3k 2 ? 1 3mk

又 AM ? AN ,? AP ? MN ,则
2

m ? 3k 2 ? 1 1 ?? 3m k k

即 2m ? 3k ? 1
2

② 由②得

把②代入①得 2m ? m m 的取范围是(

解得 0 ? m ? 2

k2 ?

2m ? 1 1 ? 0 解得 m ? 3 2

.故所求

1 ,2 ) 2

18.解析: (1)∵ 斜率 k 存在,不妨设 k>0,求出 M (

2 2 ,2) .直线 MA 方程为 y ? 2 ? k ( x ? ), 2 2

直线 AB 方程为 y ? 2 ? ?k ( x ?

2 ). 2
2 k 2 ? 4k 2 . ? 2 k ?8 2

2 分别与椭圆方程联立,可解出 x A ? 2k2 ? 4k ? 2 , xB ? k ?8 2



y A ? y B k ( x A ? xB ) ? ?2 2. ∴ x A ? xB x A ? xB

. k AB ? 2 2 (定值)

y2 ? 1 联立,消去 y 得 16x 2 ? 4 2mx (2)设直线 AB 方程为 y ? 2 2 x ? m ,与 x ? 8
2

? (m2 ? 8) ? 0 .
由 ? ? 0 得 ? 4 ? m ? 4 ,且 m ? 0 ,点 M 到 AB 的距离为 d ? 设 ?AMB 的面积为 S . ∴

|m| . 3

1 1 2 1 16 2 | AB | 2 d 2 ? m (16 ? m 2 ) ? ?( ) ? 2 . 4 32 32 2 当 m ? ?2 2 时,得 Smax ? 2 . S2 ?

19.解:直线 l 与 x 轴不平行,设 l 的方程为 x ? ky ? a 代入双曲线方程 整理得

(k 2 ? 1) y 2 ? 2kay ? a 2 ? 1 ? 0
而 k ?1 ? 0
2

,于是 从而 xT ? ky T ? a ? ?

yT ?

y A ? yB ak ?? 2 2 k ?1

a ak a , ) 即 T( 2 k ?1 1? k 1? k 2
2

? 点 T 在圆上
由圆心 O ?(?1,0)

ak 2 a 2 2a ?( ) ?( ) ? ?0 2 2 1? k 1? k 1? k 2
. O ?T ? l 得 kO?T ? kl ? ?1

即k ? a ? 2
2


2

则 k ?0

或 k ? 2a ? 1

当 k ? 0 时,由①得 a ? ?2,

? l 的方程为 x ? ?2 ;

2 当 k ? 2a ? 1 时,由①得 a ? 1 K ? ? 3,?l 的方程为 x ? ? 3 y ? 1 . 故所求直线 l 的方程为 x ? ?2

或 x ? ? 3y ? 1 20.解:由题意知,抛物线焦点在 x 轴上,开口方向向右,可设抛物线方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) ,
?3 ? 将交点 ? , 6 ? 代入得 p ? 2 , ?2 ?
, 0) , 故抛物线方程为 y 2 ? 4 x ,焦点坐标为 (1

这也是双曲线的一个焦点,则 c ? 1 . ?3 ? 又点 ? , 6 ? 也在双曲线上, ?2 ? 因此有

9 6 ? 2 ?1. 2 4a b

1 3 又 a 2 ? b2 ? 1 ,因此可以解得 a 2 ? ,b2 ? , 4 4

4 y2 ? 1. 3 21.解:取抛物线顶点为原点,水平向右为 x 轴正方向建立直角
因此,双曲线的方程为 4 x2 ? 坐标系,设抛物线方程为 x2 ? ?2 py( p ? 0) ,
? 3) , 当 x ? 3 时, y ? ?3 ,即取抛物线与矩形的结合点 (3,

代入 x2 ? ?2 py ,得 9 ? 6 p ,则 p ? 故抛物线方程为 x2 ? ?3 y . 已知集装箱的宽为 3m,取 x ?

3 , 2

3 , 2

1 3 则 y ? ? x2 ? ? . 3 4

3 1 而隧道高为 5m, 5m ? m ? 4 m ? 4m . 4 4 所以卡车可以通过此隧道.


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