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2015-2016学年高中数学 第二章 随机变量及其分布 3.2 离散型随机变量的方差课件 新人教B版选修2-3


2.3.2

离散型随机变 量的方差

1.了解离散型随机变量的方差、标准差的意义, 会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准

差.
2.了解方差公式“D(aX+b)=a2D(X)”,以及

“若X~B(n,p),则D(X)=np(1-p)”,并会应
用上述公式计算有关随机变量的方差. 3.感悟数学与生活的和谐之美,体现数学的文

化功能与人文价值.

本节是一节概念新课,通过具体实例引出期望相 同时如何考察两个样本分布情况,再由初中知识样 本方差来衡量样本的稳定性,进入引入课题-----离 性型随机变量方差概念、离散型随机变量期望方差 公式、性质。 进一步利用练习、典型例题的分析与讲解引导学 生正确运用离性型随机变量方差解决实际问题。引 导学生分析问题、解决问题,培养学生归纳、概括 等合情推理能力,再通过实际应用,培养学生把实 际问题抽象成数学问题的能力和学以致用的意识, 培养其严谨治学的态度.

要从两名同学中看挑出一名 , 代表班级参加射击比 赛.根据以往的成绩纪录,第一名同学击中目标靶的 环数X 1~ B(10,0.8), 第二名同学击中目标靶的环数 X 2 = Y + 4 , 其 中 Y ~ B ( 5 , 0 . 8 ) . 请 问 应该派哪名同学参赛?

比较X1,X2的均值

E(X1)=10×0.8=8 E(X2)=E(Y)+4=5×0.8+4=8
平均射击水平没有差异
还有其它刻画两名同学各自射击 特点的指标吗?

X1分布列图

X2分布列图

第二名比第一名 同学射击成绩稳 定,且集中于8环

回忆
怎样刻画样本数据的稳定性? 样本方差 用类似的量来刻画随机变量的稳定性

设离散型随机变量X的分布列为
X

x1

x2

...

xi

...

xn

P

p1
2

p2

...

pi

...

pn

? xi ? EX ?

描述了xi ? i ? 1, 2,? , n ? 相对于均值E ( X )的偏离程度
2

D( X ) ? ? ? xi ? E ( X ) ? pi 为这些偏离程度的加权平均
i ?1

n

D(X)为随机变量X的方差

D( X ) 为随机变量X的标准差

方差的意义
随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏 离于均值的平均程度. 方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的平均程 度越小.

随机变量的方差是常数,样本方差是随机变量.
对于简单随机样本,随着样本容量的增加,样本方差 越来越接近总体方差.

两名同学射击成绩的方差:

D(X1)=1.6 D(X2)=0.8
如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右,本 班应该派哪一名选手参赛? 如果其他班级参赛选手的射击成绩都在7环左右,本

班又应该派哪一名选手参赛?

方差的性质

D(aX+b)=a2D(X)
若X服从两点分布,则D(X)=p(1-p) 若X~B(n,p),则D(X)=np(1-p)

例:随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点 数X的均值、方差和标准差. 解:抛掷骰子所得点数X 的分布列为
X

1
1 6

2
1 6

3
1 6

4
1 6

5
1 6

6
1 6

P

1 1 1 2 2 2 D( X ) ? ?1 ? 3.5 ? ? ? ? 2 ? 3.5 ? ? ? ? 3 ? 3.5 ? ? 6 6 6 1 1 1 2 2 2 ? ? 4 ? 3.5 ? ? ? ? 5 ? 3.5 ? ? ? ? 6 ? 3.5 ? ? ? 2.92 6 6 6

1 1 1 1 1 1 E ( X ) ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 6 ? ? 3.5 6 6 6 6 6 6

DX ? 1.71

练习 已知随机变量X的分布列
X P 0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1

求D(X).
E ( X ) ? 0 ? 0.1 ? 1? 0.2 ? 2 ? 0.4 ? 3 ? 0.2 ? 4 ? 0.1 ? 2
D( X ) ? ? 0 ? 2 ? ? 0.1 ? ?1 ? 2 ? ? 0.2 ? ? 2 ? 2 ? ? 0.4
2 2 2

? ? 3 ? 2 ? ? 0.2 ? ? 4 ? 2 ? ? 0.1 ? 1.2
2 2

例.有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息: 甲单位不同职位月工资X1/元 1200 1400 1600 1800 获得相应职位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1

乙单位不同职位月工资X2/元 1000 1400 1800 2200 获得相应职位的概率P2 0.4 0.3 0.2 0.1
根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位?

解:根据月工资的分布列,有
E( X1 ) ? 1200 ? 0.4 ? 1400 ? 0.3 ? 1600 ? 0.2 ? 1800 ? 0.1 ? 1400
D( X1 ) ? ?1200 ? 1400 ? ? 0.4 ? ?1400 ?1400 ? ? 0.3 ?
2 2

?1600 ?1400 ?

2

? 0.2 ? ?1800 ?1400 ? ? 0.1 ? 40000
2

E( X 2 ) ? 1000 ? 0.4 ?1400 ? 0.3 ?1800 ? 0.2 ? 2200 ? 0.1 ? 1400
D( X 2 ) ? ?1000 ? 1400 ? ? 0.4 ? ?1400 ? 1400 ? ? 0.3 ?
2 2

?1800 ? 1400 ?

2

? 0.2 ? ? 2200 ? 1400 ? ? 0.1 ? 112000
2

两家单位的工资均值相等 甲单位不同职位的工资相对集中,乙单位不同职 位的相对分散

某投资者有 10 万元 , 现有两种投资方案 : 一是购 买股票,二是存入银行获取利息.买股票的收益主要 取决于经济形势 , 假设可分三种状态 : 形势好 ( 获利 40000元)、形势中等(获利10000元)、形势不好(损 失 20000 元 ). 如果存入银行 , 假设年利率 8%, 即可得 利息 8000 元 . 又设经济形势好、中等、不好的概率 分别为30%、50%和20%.试问该投资者应该选择哪一 种投资方案?

分析 购买股票的收益与经济形势有关,存入银行的收

益与经济形势无关.因此,要确定选择哪一种方案,就必
须通过计算两种方案对应的收益期望值来进行判断.设 ?1为购买股票收益, ?2为存入银行收益.

购买股票
?1 P 40000 0.3 10000 0.5 —20000 0.2

E?1 ? 40000? 0.3 ? 10000? 0.5 ? 20000 ? 0.2 ? 13000
D?1 ? 4.41?108
存入银行
?2 P 8000 0.3 8000 0.5 8000 0.2

E? 2 ? 8000

D? 2 ? 0

随机变量的方差

性质

意义

D(aX+b)=a2D(X)
若X服从两点分布,则D(X)=p(1-p) 若X~B(n,p),则D(X)=np(1-p)

课本习题2.3A组题1,4


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