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O012005年普通高等学校招生全国统一考试数学及答案(辽宁卷)

2005 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)





本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择)题两部分,满分 150 分.考试用时 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A· B)=P(A)· P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k
k k 次的概率 Pn (k ) ? Cn P (1 ? P) n?k

球的表面积公式

S ? 4?R 2
其中 R 表示球的半径 球的体积公式
4 V球 ? ?R 3 3

其中 R 表示球的半径

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.复数 z ?

?1? i ? 1. 在复平面内,z 所对应的点在 1? i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限





A.第一象限
x ? x0

2.极限 lim f ( x ) 存在是函数 f ( x) 在点 x ? x0 处连续的 A.充分而不必要的条件 C.充要条件 B.必要而不充分的条件 D.既不充分也不必要的条件





3.设袋中有 80 个红球,20 个白球,若从袋中任取 10 个球,则其中恰有 6 个红球的概率为 ( A.
4 6 C80 ? C10 10 C100



B.

6 4 C80 ? C10 10 C100

C.

4 6 C80 ? C 20 10 C100

D.

6 4 C80 ? C 20 10 C100

4.已知 m、n 是两条不重合的直线,α 、β 、γ 是三个两两不重合的平面,给出下列四个命 题:①若 m ? ? , m ? ? , 则? // ? ; ②若 ? ? ? , ? ? ? , 则? // ? ; ③若 m ? ? , n ? ? , m // n, 则? // ? ;

④若 m、n 是异面直线, m ? ? , m // ? , n ? 其中真命题是 A.①和② 5.函数 y ? ln(x ? A. y ?

? , n // ? , 则? // ?
( ) D.①和④ ( D. y ? ? )

B.①和③

C.③和④

x 2 ? 1 )的反函数是
B. y ? ?

e x ? e?x 2

e x ? e?x e x ? e?x C. y ? 2 2

e x ? e?x 2
( )

6.若 log2 a

1? a2 ? 0 ,则 a 的取值范围是 1? a
B. (1,??) C. ( ,1)

A. ( ,?? )

1 2

1 2

D. (0, )

1 2

7.在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y). 若不等式 ( x ? a) ? ( x ? a) ? 1 对任意实数 x 成立, 则 A. ? 1 ? a ? 1 B. 0 ? a ? 2 C. ? ( )

1 3 ?a? 2 2

D. ?

3 1 ?a? 2 2

8.若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为 m,则 m 的范 围是 ( ) A. (1,2) B. (2,+∞) C.[3,+∞ ) D. (3,+∞) )

9.若直线 2 x ? y ? c ? 0 按向量 a ? (1,?1) 平移后与圆 x 2 ? y 2 ? 5 相切,则 c 的值为( A.8 或-2 B.6 或-4 C.4 或-6 D.2 或-8

10.已知 y ? f ( x) 是定义在 R 上的单调函数,实数 x1 ? x 2 , ? ? ?1, a ?

x1 ? ?x 2 , 1? ?
( )

??

x 2 ? ?x1 ,若 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| f (? ) ? f ( ? ) | ,则 1? ?
B. ? ? 0 C. 0 ? ? ? 1 D. ? ? 1
2

A. ? ? 0

11.已知双曲线的中心在原点,离心率为 3 .若它的一条准线与抛物线 y ? 4 x 的准线重合, 则该双曲线与抛物线 y ? 4 x 的交点到原点的距离是
2

( D.21



A.2 3 + 6

B. 21

C. 18 ? 12 2

12.一给定函数 y ? f ( x) 的图象在下列图中,并且对任意 a1 ? (0,1) ,由关系式 an?1 ? f (an ) 得到的数列

{an } 满足 an?1 ? an (n ? N * ) ,则该函数的图象是





A

B

C

D 共 90 分)

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.
1 ? 1 2 n

13. ( x 2 ? 2 x

) 的展开式中常数项是

.

14.如图,正方体的棱长为 1,C、D 分别是两条棱的中点, A、B、M 是顶点,那么点 M 到截面 ABCD 的距离是 . 15.用 1、2、3、4、5、6、7、8 组成没有重复数字的八位数,要求 1 和 2 相邻,3 与 4 相邻, 5 与 6 相邻,而 7 与 8 不 相邻,这样的八位数共有 个.(用数字作答) . 16. ? 是正实数,设 S? ? {? | f ( x) ? cos[? ( x ? ? )] 是奇函数},若对每个实数 a , S? ? (a, a ? 1) 的元素 不超过 2 个,且有 a 使 S? ? (a, a ? 1) 含 2 个元素,则 ? 的取值范围是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知三棱锥 P—ABC 中,E、F 分别是 AC、AB 的中点, △ABC,△PEF 都是正三角形,PF⊥AB. (Ⅰ)证明 PC⊥平面 PAB; (Ⅱ)求二面角 P—AB—C 的平面角的余弦值; (Ⅲ)若点 P、A、B、C 在一个表面积为 12π 的 球面上,求△ABC 的边长.

18. (本小题满分 12 分) 如图,在直径为 1 的圆 O 中,作一关于圆心对称、 邻边互相垂直的十字形,其中 y ? x ? 0. (Ⅰ)将十字形的面积表示为 ? 的函数; (Ⅱ) ? 为何值时,十字形的面积最大?最大面积是多少?

19. (本小题满分 12 分) 已 知 函 数 f ( x) ?

x?3 ( x ? ?1). 设 数 列 {a n } 满 足 a1 ? 1, an?1 ? f (an ) , 数 列 {bn } 满 足 x ?1

bn ?| an ? 3 |, S n ? b1 ? b2 ? ?? bn (n ? N * ).
(Ⅰ)用数学归纳法证明 bn ?

( 3 ? 1) n ; 2 n?1

(Ⅱ)证明 S n ?

2 3 . 3

20. (本小题满分 12 分) 某工厂生产甲、乙两种产品,每种产品都是经过第一和第二工序加工而成,两道工序的加工结果相互 独立,每道工序的加工结果均有 A、B 两个等级.对每种产品,两道工序的加工结果都为 A 级时,产品为 一等品,其余均为二等品. 工序 (Ⅰ)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结 概 第一工序 第二工序 率 果为 A 级的概率如表一所示,分别求生产 产品 出的甲、乙产品为一等品的概率 P 甲、P 乙; 甲 0.8 0.85 (Ⅱ)已知一件产品的利润如表二所示,用ξ 、 乙 0.75 0.8 η 分别表示一件甲、乙产品的利润,在 等级 (I)的条件下,求ξ 、η 的分布列及 利 一等 二等 润 Eξ 、Eη ; 产品 (Ⅲ)已知生产一件产品需用的工人数和资金额 甲 5(万元) 2.5(万元) 如表三所示.该工厂有工人 40 名,可用资. 乙 2.5(万元) 1.5(万元) 金 60 万元.设 x、y 分别表示生产甲、乙产 项目 品的数量,在(II)的条件下,x、y 为何 用 工人 (名) 资金(万元) 量 值时, z ? xE? ? yE? 最大?最大值是多少?
产品

(解答时须给出图示)

甲 乙

8 2

8 10

21. (本小题满分 14 分) 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1(-c,0) 、F2(c,0) ,Q 是椭圆外的动点, a2 b2

满足 | F1Q |? 2a. 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点,点 T 在线段 F2Q 上,并且满足 PT ? TF2 ? 0, | TF2 |? 0. (Ⅰ)设 x 为点 P 的横坐标,证明 | F1 P |? a ?

c x; a

(Ⅱ)求点 T 的轨迹 C 的方程; (Ⅲ)试问:在点 T 的轨迹 C 上,是否存在点 M, 使△F1MF2 的面积 S= b 2 . 若存在,求∠F1MF2 的正切值;若不存在,请说明理由.

22. (本小题满分 12 分) 函数 y ? f ( x) 在区间(0,+∞)内可导,导函数 f ?( x) 是减函数,且 f ?( x) ? 0. 设

x0 ? (0,??), y ? kx ? m 是曲线 y ? f ( x) 在点( x0 , f ( x0 ) )得的切线方程,并设函数 g ( x) ? kx ? m.
(Ⅰ)用 x0 、 f ( x0 ) 、 f ?( x0 ) 表示 m; (Ⅱ)证明:当 x0 ? (0,??)时, g ( x) ? f ( x) ; (Ⅲ)若关于 x 的不等式 x 2 ? 1 ? ax ? b ?

3 3 x 在[0,??) 上恒成立,其中 a、b 为实数, 2

2

求 b 的取值范围及 a 与 b 所满足的关系.

2005 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)

数学参考答案与评分标准
说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法 与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。 二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答 有较严重的错误,就不再给分。 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分。 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算,每小题 5 分,满分 60 分. 1.B 2.B 3.D 4.D 5.C 6.C 7.C 8.B 9.A 10.A 11.B 12.A 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分,满分 16 分。 13.-160 14.

2 3

15.576

16. (? ,2? ]

三、解答题 17.本小题主要考查空间中的线面关系,三棱锥、球的有关概念及解三角形等基础知识,考 查空间想象能力及运用方程解未知量的基本方法,满分 12 分. (Ⅰ)证明: 连结 CF.

? PE ? EF ?

1 1 BC ? AC ,? AP ? PC . 2 2

? CF ? AB, PF ? AB,? AB ? 平面PCF. ? PC ? 平面PCF,? PC ? AB. ? PC ? 平面PAB. ……4 分
(Ⅱ)解法一:? AB ? PF, AB ? CF ,

? ?PFC 为所求二面角的平面角. 设 AB=a,则 AB=a,则 PF ? EF ? a , CF ? 3 a
2 2

a 3 ? cos?PFC ? 2 ? . ……………………8 分 3 3 a 2
解法二:设 P 在平面 ABC 内的射影为 O. ? ?PAF ≌ ?PAE,? ?PAB ≌ ?PAC . 得 PA=PB=PC. 于是 O 是△ABC 的中心. ? ?PFO 为所求二面角的平面角.

设 AB=a,则 PF ?

a 1 3 , OF ? ? a. 2 3 2

?c o ? s PFO ?

OF 3 ? . …………8 分 PF 3

(Ⅲ)解法一:设 PA=x,球半径为 R. ? PC ? 平面PAB, PA ? PB,

? 3x ? 2R.? 4?R 2 ? 12? ,? R ? 3.得x ? 2.? ?ABC 的边长为 2 2 .………12 分
解法二:延长 PO 交球面于 D,那么 PD 是球的直径. 连结 OA、AD,可知△PAD 为直角三角形. 设 AB=x,球半径为 R.

? 4?R 2 ? 12? ,? PD ? 2 3. ? PO ? OF tan?PFO ?

6 2 3 x, OA ? ? x, 6 3 2

?(

3 2 6 6 x) ? x( 2 3 ? x).于是x ? 2 2. ? ?ABC的边长为2 2 .……12 分 3 6 6

18.本小题主要考查根据图形建立函数关系、三角函数公式、用反三角函数表示角以及解和 三角函数有关的极值问题等基础知识,考查综合运用三角函数知识的能力. 满分 12 分. (Ⅰ)解:设 S 为十字形的面积,则 S ? 2xy ? x 2

? 2 sin ? cos ? ? cos 2 ? (

?
4

?? ?

?
2

). ………………4 分

(Ⅱ)解法一: S ? 2 sin ? cos? ? cos2 ? ? sin 2? ? 其中 ? ? arccos2 5 . ………8 分 5 所以,当 ? ?

1 1 5 1 cos 2? ? ? sin(2? ? ? ) ? , 2 2 2 2 ? 当 sin( 2? ? ? ) ? 1,即2? ? ? ? 时, S 最大.……10 分 2

?

1 2 5 5 ?1 ? arccos 时, S 最大. S 的最大值为 . …………12 分 4 2 5 2

解法二: 因为 S ? 2 sin ? cos? ? cos2 ? , 所以 S ? ? 2 cos2 ? ? 2 sin 2 ? ? 2 sin ? cos?

? 2 cos 2? ? sin 2? . ……………………8 分
令 S′=0,即 2 cos 2? ? sin 2? ? 0, 可解得 ? ?

?
2

?

1 arctan( ?2) 2 ?

………………10 分

所以,当 ? ?

?
2

1 5 ?1 arctan( ?2) 时,S 最大,S 的最大值为 . 2 2

…………12 分

19.本小题主要考查数列、等比数列、不等式等基本知识,考查运用数学归纳法解决有关问题的能力,满 分 12 分。 (Ⅰ)证明:当 x ? 0时, f ( x ) ? 1 ?

2 ? 1. x ?1

因为 a1=1,

所以 a n ? 1(n ? N*). ………………2 分

下面用数学归纳法证明不等式 bn ?

( 3 ? 1) n . 2 n ?1

(1)当 n=1 时,b1= 3 ? 1 ,不等式成立,

( 3 ? 1) k (2)假设当 n=k 时,不等式成立,即 bk ? . 2 k ?1
那么

bk ?1 ?| ak ?1 ? 3 |?

( 3 ? 1) | ak ? 3 | 1 ? ak

………………6 分

?

3 ?1 ( 3 ? 1) k ?1 bk ? . 2 2k
…………8 分

所以,当 n=k+1 时,不等也成立。 根据(1)和(2) ,可知不等式对任意 n∈N*都成立。

( 3 ? 1) n (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知, bn ? . 2 n ?1
所以

S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ( 3 ? 1) ?

( 3 ? 1) 2 ( 3 ? 1) n ??? 2 2 n?1

3 ?1 n ) 1 2 2 ? ( 3 ? 1) ? …………10 分 ? ( 3 ? 1) ? ? 3. 3 ?1 3 ?1 3 1? 1? 2 2 1? (
? 故对任意 n ? N , S n ?

2 3. ………………(12 分) 3

20. (本小题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的分布列及期望、线性规划模型的建 立与求解等基础知识,考查通过建立简单的数学模型以解决实际问题的能力,满分 12 分. (Ⅰ)解: P , 甲 ? 0.8 ? 0.85 ? 0.68 (Ⅱ)解:随机变量 ? 、 ? 的分别列是

P 乙 0.75? 0.8 ? 0.6. …………2 分

?
P

5 0.68

2.5 0.32

?
P

2.5 0.6

1.5 0.4

E? ? 5 ? 0.68 ? 2.5 ? 0.32 ? 4.2, E? ? 2.5 ? 0.6 ? 1.5 ? 0.4 ? 2.1. …………6 分

?5 x ? 10 y ? 60, ? (Ⅲ)解:由题设知 ?8 x ? 2 y ? 40, 目标函数为 z ? xE? ? yE? ? 4.2 x ? 2.1y. ……8 分 ? ? x ? 0, ? ? y ? 0.
作出可行域(如图) : 作直线 l : 4.2 x ? 2.1y ? 0, 将 l 向右上方平移至 l1 位置时,直线经过可行域上 的点 M 点与原点距离最大,此时 z ? 4.2 x ? 2.1y …………10 分

取最大值. 解方程组 ?

?5 x ? 10 y ? 60, ?8 x ? 2 y ? 40.

得 x ? 4, y ? 4. 即 x ? 4, y ? 4 时,z 取最大值,z 的最大值为 25.2 .……………12 分 21.本小题主要考查平面向量的概率,椭圆的定义、标准方程和有关性质,轨迹的求法和应 用,以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分 14 分. (Ⅰ)证法一:设点 P 的坐标为 ( x, y). 由 P ( x, y ) 在椭圆上,得

| F1 P |? ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? b 2 ? ? (a ? c 2 x) . a

b2 2 x a2

由 x ? a, 知a ?

c c x ? ?c ? a ? 0 ,所以 | F1 P |? a ? x. ………………………3 分 a a

证法二:设点 P 的坐标为 ( x, y). 记 | F1 P |? r1 , | F2 P |? r2 , 则 r1 ?

( x ? c) 2 ? y 2 , r2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 .

c x. a c 证法三:设点 P 的坐标为 ( x, y). 椭圆的左准线方程为 a ? x ? 0. a
2 2 由 r1 ? r2 ? 2a, r1 ? r2 ? 4cx , 得 | F1 P |? r1 ? a ?
2 由椭圆第二定义得 | F1 P | ? c ,即 | F1 P |? c | x ? a |?| a ? c x | . a c a a a2 |x? | c

由 x ? ? a , 知a ?

c c x ? ?c ? a ? 0 ,所以 | F1 P |? a ? x. …………………………3 分 a a

(Ⅱ)解法一:设点 T 的坐标为 ( x, y).

当 | PT |? 0 时,点( a ,0)和点(- a ,0)在轨迹上. 当| PT |? 0且 | TF2 |? 0 时,由 | PT | ? | TF2 |? 0 ,得 PT ? TF2 . 又 | PQ |?| PF2 | ,所以 T 为线段 F2Q 的中点. 在△QF1F2 中, | OT |?

1 | F1Q |? a ,所以有 x 2 ? y 2 ? a 2 . 2

综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程是 x 2 ? y 2 ? a 2 . …………………………7 分 解法二:设点 T 的坐标为 ( x, y). 当 | PT |? 0 时,点( a ,0)和点(- a ,0)在轨迹上. 当| PT |? 0且 | TF2 |? 0 时,由 PT ? TF2 ? 0 ,得 PT ? TF2 . 又 | PQ |?| PF2 | ,所以 T 为线段 F2Q 的中点.
x? ? c ? x? , ? ? 2 设点 Q 的坐标为( x ?, y ? ) ,则 ? ? y ? y? . ? 2 ?

?x? ? 2 x ? c, 因此 ? ? y ? ? 2 y.
由 | F1Q |? 2a 得 ( x? ? c) 2 ? y ? 2 ? 4a 2 . 将①代入②,可得 x ? y ? a .
2 2 2





综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程是 x ? y ? a . ……………………7 分
2 2 2

(Ⅲ)解法一:C 上存在点 M( x0 , y0 )使 S= b 2 的充要条件是
2 2 ? x0 ? y0 ? a2 , ? ?1 2 ? ? 2c | y 0 |? b . ?2

③ ④

2 b2 . 所以,当 a ? b 时,存在点 M,使 S= b 2 ; 由③得 | y0 |? a ,由④得 | y 0 |? c c
2 当 a ? b 时,不存在满足条件的点 M.………………………11 分

c

2 当 a ? b 时, MF1 ? (?c ? x0 ,? y0 ), MF2 ? (c ? x0 ,? y0 ) , c

2 2 由 MF1 ? MF2 ? x0 ? c 2 ? y0 ? a2 ? c2 ? b2 ,

MF1 ? MF2 ?| MF1 | ? | MF2 | cos?F1MF2 ,
S? 1 | MF1 | ? | MF 2 | sin ?F1 MF 2 ? b 2 ,得 tan?F1 MF2 ? 2. 2

解法二:C 上存在点 M( x0 , y0 )使 S= b 2 的充要条件是
2 2 ? x0 ? y0 ? a2 , ? ?1 2 ? ? 2c | y 0 |? b . ?2

③ ④

由④得 | y 0 |?

b2 b4 b2 b2 2 . 上式代入③得 x0 ? a 2 ? 2 ? (a ? )(a ? ) ? 0. c c c c

2 于是,当 a ? b 时,存在点 M,使 S= b 2 ; c
2 当 a ? b 时,不存在满足条件的点 M.………………………11 分

c

2 y0 y0 当 a ? b 时,记 k1 ? k F M ? , , k 2 ? k F2 M ? 1 c x0 ? c x0 ? c

由 | F1 F2 |? 2a, 知 ?F1 MF2 ? 90? ,所以 tan?F MF ?| k1 ? k 2 |? 2. …………14 分 1 2
1 ? k1k 2

22.本小题考查导数概念的几何意义,函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间 的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分 12 分 (Ⅰ)解: m ? f ( x0 ) ? x0 f ?( x0 ). …………………………………………2 分 (Ⅱ)证明:令 h( x) ? g ( x) ? f ( x),则h?( x) ? f ?( x0 ) ? f ?( x), h?( x0 ) ? 0. 因为 f ?( x) 递减,所以 h ?( x ) 递增,因此,当 x ? x0时, h?( x) ? 0 ;

当 x ? x0时, h?( x) ? 0 .所以 x0 是 h( x) 唯一的极值点,且是极小值点,可知 h( x) 的 最小值为 0,因此 h( x) ? 0, 即 g ( x) ? f ( x). …………………………6 分 (Ⅲ)解法一: 0 ? b ? 1 , a ? 0 是不等式成立的必要条件,以下讨论设此条件成立.

x 2 ? 1 ? ax ? b,即x 2 ? ax ? (1 ? b) ? 0 对任意 x ? [0,??) 成立的充要条件是
1

a ? 2(1 ? b) 2 .

另一方面,由于 f ( x) ? 3 x 3 满足前述题设中关于函数 y ? f ( x) 的条件,利用( II )的结果可知, 2
ax ? b ?
y ? (2b)
?
2 3 3 的充要条件是:过点( 0 , b )与曲线 3 x y ? x 3 相切的直线的斜率大于 a ,该切线的方程为 2 2

2

2

1 2

x ? b.
2

于是 ax ? b ? 3 x 3 的充要条件是 a ? (2b) 2 . …………………………10 分
2

1

综上,不等式 x 2 ? 1 ? ax ? b ?
? 1 2 1 2

3 3 x 对任意 x ? [0,??) 成立的充要条件是 2

? 1 2 1

2

(2b)

? a ? 2(1 ? b) .

显然,存在 a、b 使①式成立的充要条件是:不等式 (2b)

? 2(1 ? b) 2 . ②

有解、解不等式②得 2 ? 2 ? b ? 2 ? 2 . ③ 4 4 因此,③式即为 b 的取值范围,①式即为实数在 a 与 b 所满足的关系.…………12 分 (Ⅲ)解法二: 0 ? b ? 1, a ? 0 是不等式成立的必要条件,以下讨论设此条件成立.

x 2 ? 1 ? ax ? b,即x 2 ? ax ? (1 ? b) ? 0 对任意 x ? [0,??) 成立的充要条件是
1

a ? 2(1 ? b) 2 . ………………………………………………………………8 分

令 ? ( x) ? ax ? b ?

2 3 3 x ,于是 ax ? b ? 3 x 3 对任意 x ? [0,??) 成立的充要条件是 2 2

2

? ( x) ? 0. 由 ? ?( x) ? a ? x

?

1 3

? 0得x ? a ?3 .

当 0 ? x ? a ?3 时 ? ?( x) ? 0; 当 x ? a ?3 时, 所以, 当 x ? a ?3 时, ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 取最小值.因此 ? ( x) ? 0 成立的充要条件是 ? (a ?3 ) ? 0 ,即 a ? (2b)
2

?

1 2

. ………………10 分

综上,不等式 x 2 ? 1 ? ax ? b ? 3 x 3 对任意 x ? [0,??) 成立的充要条件是 2

(2b)

?

1 2

? a ? 2(1 ? b) .

1 2


? 1 2

显然,存在 a、b 使①式成立的充要条件是:不等式 (2b)

? 2(1 ? b)

1 2



有解、解不等式②得 2 ? 2 ? b ? 2 ? 2 . 4 4 因此,③式即为 b 的取值范围,①式即为实数在 a 与 b 所满足的关系.…………12 分


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