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2011年高考数学 题型专题冲刺精讲, 三角函数(教师版)


年高考题型专题冲刺精讲(数学) 2011 年高考题型专题冲刺精讲(数学)专题一 三角函数
【命题特点】 纵观前五年的三角试题,我们不难发现,对三角函数的考查力度较大,题型是一大一小或两小一大, 总体难度不大,解答题通常放在第一个,属容易题,要求每一位同学不失分。主要考查三大方面; 一. 三角变换.主要考查的内容有三角函数的恒等变形(用到的公式主要有二倍角公式,辅助角公式) 已知三角函数值求角(要注意已知角的范围,有的是条件直接给出,有的是三角形的内角,要留心锐角三角 形的内角的限制条件).同角三角函数的基本关系式和辅助角公式等。

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二. 三角函数的图象与性质。要注意图象的特征点(最高点,零点和对称中心)、特征线(对称轴) 及最小正周期的求法,也要注意三角函数的最值问题,包括利用辅助公式将已知三角函数式转化为一个 三角函数求最值,或转化为以某一三角函数为自变量的二次函数的最值问题。 三. 解三角形问题。正弦、余弦定理的应用。注意面积公式的应用。 最后,要注意向量和三角函数的交汇性试题的备考,及书写格式的规范性与完整性。同时,要控制 复习的难度,重点突破以上三方面问题及理解、记忆它们涉及到的所有公式和知识点。 【试题常见设计形式】 三角函数题在试卷中所处的位置基本上是第一或第二题,本章高考重点考查基础知识,仍将以容易题 及中档为主,题目的难度保持稳定,估计这种情况会继续保持下去。 特点:由于三角函数中,和差化积与积化和差公式的淡出,考查主体亦发生了变化。文科:偏重化简求 值,三角函数的图象和性质。理科:偏重三角变换,解斜三角形,与向量相结合,考查运算和图形变换也成为 了一个趋势。三角函数试题注重立足于课本,注重考查基本知识、基本公式及学生的运算能力和合理变形 能力,对三角变换的要求有所降低。三角化简、求值、恒等式证明。图象。最值。解斜三角形为考查热点。 常见题型① 三角函数的图象与性质;② 化简和求值;③ 三角形中的三角函数;④ 最值。 对高考重点、常考题型进一步总结,强化规律。解法定模,便于考试中迅速提取,自如运用。 【突破方法技巧】 要正确对待命题趋势与备考实践的关系:它们的对应与错位用命题趋势来指导备考实践,我们就会多 一份清醒,少一份盲目,比如试题的来源为我们开发备考资源指明了方向;主干内容的基本取向指导我们 恰当地选择 例题和编选例题,把复习引向必要的深度;创新题目设计的思路也会给我们一些警示,有助 于我们调整复习方式。这是问题的重要方面,同时我们应该注意,两者之间除了一致之外,还有必要的错 位,比如近几年高考在三角方面的要求降低了,从逻辑难度讲,三角变换题简单了,但考生在三角题上的 表现反而不尽如人意,这说明,当我们对某一内容的要求标准降低时,产生的效果可能更低。我们把这种 现象叫做“低标准暗示效应”,命题研究中的很多观点,“多考一点理解,少考一点记忆”,“多考一点 想,少考一点算”,“重点与非重点”在实际操作中是可做而不可说的——做,有利于提高效益:说,可 能产生负效应。三角函数可以当成函数内容中的重要一支,要注意与平面向量、解三角形相联系。复习时 可作为学生重要得分点加以落实。 突破方法技巧: 1.三角函数恒等变形的基本策略。 2 2 (1)常值代换:特别是用“1”的代换,如 1=cos θ+sin θ=tanx·cotx=tan45°等。

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1

2

2

2

2

2

2

(2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:sin x+2cos x=(sin x+cos x)+cos x=1+cos x;配凑角:α=(α +β)-β,β= α + β - α ? β 等。 2 2 (3)降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。 (4)化弦(切)法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦(切) 。 战略合作伙伴:有机蔬菜网 http://www.like-green.com

(5) 引入辅助角。asinθ+bcosθ= a + b sin(θ+ ? ),这里辅助角 ? 所在象限由 a、b 的符号确定,?
2 2

角的值由 tan ? =

b 确定。 a

θ
的有理式。

(6)万能代换法。巧用万能公式可将三角函数 化成 tan

2
2.证明三角等式的思路和方法。 (1)思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式。 (2)证明方法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3.证明三角不等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利用正、余弦函数 的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。 4.解答三角高考题的策略。 (1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析” 。 (2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。 (3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化。 典型例题分析】 【典型例题分析】 要想做好三角函数解答题, 考生必须要熟练记忆诱导公式, 两角和、 差的三角函数公式及二倍角公式。 另外对与特殊角的三角函数值应非常熟悉。掌握一些技巧,培养自己的观察能力,寻找角与角之间联系的 能力都将有助于高考三角函数题的解答。 考点 1.三角函数的求值与化简:此类题目主要有以下几种题型:⑴考查运用诱导公式和逆用两角和的正 弦、余弦公式化简三角函数式能力,以及求三角函数的值的基本方法.⑵考查运用诱导公式、倍角公式, 两角和的正弦公式,以及利用三角函数的有界性来求的值的问题.⑶考查已知三角恒等式的值求角的三角 函数值的基本转化方法,考查三角恒等变形及求角的基本知识. 【命题意图】 :本题考三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能. 【例 1】2010 重庆、设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,且 3 b +3 c -3 a =4 2 bc .(Ⅰ) 例
2 2 2

2sin( A + ) sin( B + C + ) 4 4 的值. 求 sin A 的值;(Ⅱ)求 1 ? cos 2 A
b2 + c2 ? a2 2 2 1 2 = 【解析】(Ⅰ)由余弦定理得 cos A = : 又 0 < A < π 故 sin A = 1 ? cos A = 2bc 3 3

π

π

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2

【例 3 】已知 例

cos α =

1 13 π , cos(α ? β) = , 且0 < β < α < , 7 14 2

(Ⅰ)求 tan 2α 的值.(Ⅱ)求 β . 解: (Ⅰ)由 cos α =
2 1 π , 0 < α < ,得 sin α = 1 ? cos 2 α = 1 ? ? 1 ? = 4 3 ? ? 7 2 7 ?7?

∴ tan α = sin α = 4 3 × 7 = 4 3 ,于是 tan 2α = 2 tan α = 2 × 4 3 = ? 8 3 cos α 7 1 1 ? tan 2 α 1 ? 4 3 2 47

(

)

(Ⅱ)由 0 < α < β < 又∵ cos (α ? β ) =

π
2

,得 0 < α ? β <

π
2
2

13 3 3 13 ,∴ sin (α ? β ) = 1 ? cos 2 (α ? β ) = 1 ? ? ? = ? ? 14 14 ? 14 ?

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3

由 β = α ? (α ? β ) 得: cos β = cos ?α ? (α ? β ) ? = cos α cos (α ? β ) + sin α sin (α ? β ) ? ?

π 1 13 4 3 3 3 1 = × + × = 所以 β = 3 7 14 7 14 2
突破方法技巧:三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:一角二名三结构。即首先观 察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心!第二看函数名称之间的 关系,通常“切化弦” ;第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有: ① 变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的 变换. 如 α = (α + β ) ? β = (α ? β ) + β , 2α = (α + β ) + (α ? β ) ,

考点 2.解三角形:此类题目以考查正弦定理,余弦定理,两角差的正弦公式,同角三角函数间 三角形: 以 三角形 的关系式和诱导公式等基本知识, 以及考查基本的运算为主要特征.解此类题目要注意综合应用上 述知识. 【命题意图】主要考查三角恒等变形、利用正弦、余弦定理处理三角形中的边角关系,突出考查边角互化

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4

的转化思想的应用. 【例 4】2010 全国 I (本小题满分 10 分)已知 VABC 的内角 A , B 及其对边 a , b 例 = a cot A + b cot B ,求内角 C . 【解析】 由 a + b = a cot A + b cot B 及正弦定理得 sinA + sinB = cosA + cosB , : 满足 a + b

sinA ? cosA = cosB ? sinB ,从而 sin A cos

π

sin( A ? ) = sin( ? B ) .又 0 < A + B < π 故 A ? = ? B , A + B = ,所以 C = . 4 4 4 4 2 2
【例 5 】2010 辽宁 例 辽宁(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且

π

π

4

? cos A sin

π

π

π

4

= cos B sin

π

4

? sin B cos

π


π

4

π

2asin A = (2a + c)sin B + (2c + b)sin C. (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)求 sin B + sin C 的最大值.
【解析】(Ⅰ)由已知,根据正弦定理得 2a 2 = (2b + c)b + (2c + b)c : 即 a = b + c + bc 由余弦定理得 a = b + c ? 2bc cos A 故 cos A = ?
2 2 2 2 2 2

1 ,A=120°……6 分 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得: sin B + sin C = sin B + sin(60° ? B ) = 故当 B=30°时,sinB+sinC 取得最大值 1。…12 分 【例 6】2010 重庆 例 重庆(本小题满分 13 分设函数 f ( x ) = cos ? x +

3 1 cos B + sin B = sin(60° + B ) 2 2

? ?

2 ? x (Ⅰ)求 f ( x ) 的值 π ? + 2 cos 2 , x ∈ R 。 3 ? 2

域; (Ⅱ)记 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a,b,c,若 f ( B ) =1,b=1,c= 3 ,求 a 的值。 【解析】 (Ⅰ) f ( x ) = cos x cos

2π 2π 1 3 ? sin x sin + cos x + 1 = ? cos x ? sin x + cos x + 1 3 3 2 2

=

1 3 5 cos x ? sin x + 1 = sin( x + π ) + 1 , f ( x ) 的值域为 [ 0, 2] 2 2 6 5 5 π π ) + 1 = 1 即 sin( B + π ) = 0 又 因 0 < B < π 故 B = 由 余 弦 定 理 6 6 6

( Ⅱ ) 由 f ( B ) =1 得 sin( B +

b 2 = a 2 + c 2 ? 2ac cos B 得 a 2 ? 3a + 2 = 0 解得 a = 2 或 a = 1
【例 7】2010 陕西(本小题满分 12 分) 如图,A,B 是海面上位于东西 例 方向相聚 5(3+ 3 )海 里的两个 观测点,现位于 A 点北偏东 45°,B 点 其航 北偏西 60°且与 B 点相距 20 3 海里的 C 点的救援船立即前往营救,

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行速度为 30 海里/小时,该救援船达到 D 点需要多长时间? 解 由题意知 AB=5(3+ 3 )海里,∠ DAB=90°—60°=30°,∠ DAB=90°—45°=45°,

∴∠ADB=180°—(45°+30°)=105°,在△ADB 中,有正弦定理得

BD AB = sin ∠DAB sin ∠ADB

【例 8】2010 福建 例 福建(本小题满分 13 分)

某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在 航行 的轮船上 。 在小艇出发时 ,轮船位于港口 O 北偏西 30o 且与该港口相距 20 海里的 A 处,并以 30 海里/
小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时与轮船相遇。 (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?(2)假设 小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向与航行速度的大小) ,使 得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由。

里/小时,小艇 能以最短时间与轮船相遇。 【例 9】2010 江苏 例 江苏(本小题满分 14 分)某兴趣小组测量电视塔 AE 的

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高度 H(单位:m) ,如示意图,垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m,仰角∠ABE= α ,∠ADE= β 。该小组已经测 得一组 α 、 β 的值,tan α =1.24,tan β =1.20,请据此算出 H 的值; (1)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位:m) ,使 α 与 β 之差较大, 可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为 125m,试问 d 为多少时, α - β 最大?

突破方法技 巧: (1)内角和定理:三角形三角和为 π ,这是三角形中三角函数问题的特殊性,解题可不能忘记!任意 两角和与第三个角总互补,任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形 ? 三内角都是锐角 ? 三 内角的余弦值为正值 ? 任两角和都是钝角 ? 任意两边的平方和大于第三边的平方. (2)正弦定理:

a = b = c = 2 R (R 为三角形外接圆的半径). sin A sin B sin C 注意:①正弦定理的一些变式: ( i ) a : b : c = sin A : sin B : sin C ;

( ii ) sin A =

a b c , sin B = ,sin C = ; ( iii ) a = 2 R sin A, b = 2 R sin B, b = 2 R sin C ; 2R 2R 2R
2 2 2

②已知三角 形两边一对角,求解三角形时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解.
2 2 2 (3)余弦定理:a = b + c ? 2bc cos A, cos A = b + c ? a 等,常选用余弦定理鉴定三角形的形状.

2bc

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(4)面积公式: S = 1 aha = 1 ab sin C . 特别提醒: (1)求解三角形中的问题时,一定要注意 A + B + C = π 这个特殊性: A + B = π ? C ,

2

2

sin( A + B ) = sin C ,sin

A+ B C = cos ; (2)求解三角形中含有边角混合关系的问题时,常运用正弦定理、 2 2
o

余弦定理实现边角互化。 如(1) ?ABC 中,A、B 的对边分别是 a、b ,且 A=60 , a = 6 , b = 4 ,那么满足条件的 ?ABC A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定(答:C) ; (2)在 ?ABC 中,A>B 则 sin A > sin B 成立;

1 ) ; 2 (4)在 ?ABC 中,a,b,c 分别是角 A、B、C 所对的边,若 ( a + b + c )(sin A + sin B ? sin C ) = 3a sin B ,
(3)在 ?ABC 中, ( 1 + tan A )( 1 + tan B ) = 2 ,则 log 2 sin C =_____(答: ? 则 ∠C =____(答: 60 ) ;
o

a2 + b2 ? c2 o ,则 ∠C =____(答: 30 ) ; 4 3 o (6)在 ?ABC 中, A = 60 , b = 1 ,这个三角形的面积为 3 ,则 ?ABC 外接圆的直径是___(答:
(5)在 ?ABC 中,若其面积 S =

2 39 ) ; 3
(7)在△ABC 中 AB=1,BC=2,则角 C 的取值范围是 (答: 0 < C ≤

π
) ;

6

考点 3.求三角函数的定义域、值域或最值:此类题目主要有以下几种题型:⑴考查运用两角和的正弦公 式化简三角函数式,以及利用三角函数的有界性来求值域的能力.⑵考查利用三角函数的性质, 诱导公式、 同角三角函数的关系式、两角差的公式,倍角公式等基本知识,考查运算和推理能力.⑶考查利用三角函 数的有界性来求最大值与最小值的能力. 【命题意图】考查运用两角和的正弦公式化简三角函数式,以及利用三角函数的有界性来求值域的能力. 【例 10 江西(本小题满分 12 分) 例 10】2010 江西 已知函数 f ( x) = (1 + cot x) sin x + m sin( x +
2

π

(1)当 m = 0 时,求 f ( x) 在区间 [

π 3π
8 , 4

) sin( x ? ) . 4 4
3 ,求 m 的值. 5

π

] 上的取值范围; (2)当 tan α = 2 时, f (α ) =

【命题立意】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。依托三角函数化 简,考查函数值域,作为基本的知识交汇问题,考查基本三角函数变换,属于中等题. 解: (1)当 m = 0 时,

f ( x) = sin 2 x + sin x cos x = 1 (sin 2 x ? cos 2 x ) + 1 =
2 2
又由 x ∈ [

2 π 1 sin(2 x ? ) + 2 4 2

π 3π
8 , 4

] 得 2x ?

π
4

∈ [0,

5π π 2 ] ,所以 sin(2 x ? ) ∈ [? ,1] ,[来源:学科网] 4 4 2

从而 f ( x ) =

2 π 1 1+ 2 sin(2 x ? ) + ∈ [0, ]. 2 4 2 2

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(2) f ( x ) = sin x + sin x cos x ?
2

m 1 ? cos 2 x 1 m cos 2 x = + sin 2 x ? cos 2 x 2 2 2 2

1 1 = [sin 2 x ? (1 + m) cos 2 x] + 2 2 2 sin α cos α 2 tan α 4 = = , 由 tan α = 2 得 sin 2α = 2 2 2 sin α + cos α 1 + tan α 5

cos 2α =

cos 2 α ? sin 2 α 1 ? tan 2 α 3 3 1 4 3 1 = = ? ,所以 = [ + (1 + m) ] + ,得 m = ?2 . 2 2 2 sin α + cos α 1 + tan α 5 5 2 5 5 2
2

【例 11 例 11】2010 北京 北京(本小题共 13 分) 已知函数 f (x) = 2 cos 2 x + sin x ? 4 cos x 。 (Ⅰ)求 f = ( ) 的

π

3

值; (Ⅱ)求 f (x) 的最大值和最小值。 解: (I) f ( ) = 2 cos

π

3 (II) x ∈ R

2π π π 3 9 + sin 2 ? 4 cos = ?1 + = ? 3 3 3 4 4

2 7 f ( x) = 2(2 cos 2 x ? 1) + (1 ? cos 2 x) ? 4 cos x = 3cos 2 x ? 4 cos x ? 1 = 3(cos x ? ) 2 ? , 3 3 2 7 因为 cos x ∈ [ ?1,1] , 所以,当 cos x = ?1 时, f ( x) 取最大值 6;当 cos x = 时, f ( x) 取最小值 ? 3 3
【例 12 2010 湖北 例 12】 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = cos ?

1 1 ?π ? ?π ? + x ? cos ? ? x ? ,g ( x ) = sin 2 x ? 2 4 ?3 ? ?3 ?

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 h ( x ) = f ( x ) ? g ( x ) 的最大值,并求使 h ( x ) 取得最大值 的 x 的集合. 解: (Ⅰ) f ( x ) = cos ?

?? 1 ? 3 3 ?π ? ?π ? ?1 + x ? cos ? ? x ? = ? cos x ? sin x ?? cos x + sin x ? ?? ? 2 2 ?3 ? ?3 ? ?2 ? ?? 2 ?

=

1 3 1 + cos 2 x 3 ? 3cos 2 x 1 1 2π cos 2 x ? sin 2 x = ? = cos 2 x ? , f ( x) 的的最小正周期为 =π 。 4 4 8 8 2 4 2 1 1 2 π π cos 2 x ? sin 2 x = cos(2 x + ) 当 2 x + = 2kπ ( k ∈ Z )时,h( x) 2 2 2 4 4

(Ⅱ)h( x ) = f ( x) ? g ( x ) =

取得最大值

2 π ? ? , h( x ) 取得最大值时,对应的 x 的集合为 ? x x = kπ ? , k ∈ Z ? ? 2 8 ? ?

突破方法技巧: 三角函数的最值主要有以下几种 类型:①、形如 y=Asin(ωx+?)、y= asinx+bcosx 的,充分利用其有 2 界性去求最值;②、形如 y=sinx+cosx+sinxcosx 的,换元去处理;③、形如 y= asinx+bsin x 的,转化为

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2-cosx 的,可采用反表示的方法,再利用三角函数的有界性去解决,也可 2-sinx 转化为 斜率去通过数形结合解决。 考点 4.三角函数的图象和性质:考查三角函数的图象和性质的题目,是高考的重点题型.此类题目要 求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用.会用数形结合的思想来解题. 【命题意图】考查三角函数的诱导公式及二倍角等基本公式的灵活应用、图象变换问题、分析问题与解决 问题的能力。 二次函数去处理;④、形如 y= 【例 13 例 13】2010 天津 天津(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) = 2 3 sin x cos x + 2 cos x ? 1( x ∈ R ) (Ⅰ)求函
2

数 f ( x ) 的最小正周期及在区间 ? 0,

6 ? π? ?π π ? (Ⅱ) f ( x0 ) = , x0 ∈ ? , ? , cos 2x0 若 求 ? 上的最大值和最小值; 5 ? 2? ?4 2?

的 值 。



π? π? 4 π ? 2π 7π ? ?π π ? ? ? x0 ∈ ? , ? ,得 2 x0 + ∈ ? , ? 从而 cos ? 2 x0 + ? = ? 1 ? sin 2 ? 2 x0 + ? = ? 6? 6? 5 6 ? 3 6 ? ?4 2? ? ?
所以 cos 2 x0 = cos ?? 2 x0 +

?? ??

π? π?

π? π π ? π 3? 4 3 ? ? ? ? ? = cos ? 2 x0 + ? cos + sin ? 2 x0 + ? sin = 6? 6? 6? 6 6? 6 10 ? ?

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【例 14 例 14】2010 广东 广东(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) = A sin(3 x + ? )( A > 0, x ∈ ( ?∞, +∞), 0 < ? < π 在

x=

π
12

时取得最大值 4. (1 ) 求 f ( x ) 的最小正周期; (2) 求 f ( x ) 的解析式; (3) 若 f (

2 π 12 α + )= , 3 12 5

求 sinα.

π 3 3 3 1 5 sin(2α + ) = , cos 2α = , 1 ? 2sin 2 α = , sin 2 α = , sin α = ± 2 5 5 5 5 5
【例 15 例 15】2010 山东(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) =

1 1 ?π ? sin 2 x sin ? + cos 2 x cos ? ? sin ? + ? ? 2 2 ?2 ?

π 1 , )(Ⅰ)求 ? 的值; . (Ⅱ)将函数 y = f ( x ) 的图象上各点的横坐标缩短 6 2 1 π 到原来的 ,纵坐标不变,得到函数 y = g ( x ) 的图象,求函数 g ( x ) 在[0, ]上的最大值和最小值. 2 4

( 0<?<π ) ,其图象过点(

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突破方法技 巧: 研究复杂三角函数的性质,一般是将这个复杂的三角函数化成 y=Asin(ωx+φ)的形式再求解,这是 解决所有三角函数问题的基本思路. 如果由图象来求正弦曲线 y = A sin(ω x + ? )(ω > 0, ? <

π
2

, x ∈ R ) 的解析式时, 其参数 A 、 、 的 ω φ

确定:由 图象的最高点或最低点求振幅 A ,由周期 或半个周期(相邻最值点的横坐标间的距离)确定 ω , 考虑到 φ 的唯一性,在确定 A 、ω 的基础上将最值点的坐标代入正弦函数的解析式,在给定的区间内求出

φ 的值.
π
对于单调区间,要把ωx+φ看作一个整体,如由 2kπ≤ωx+φ≤2kπ+

π
(k∈Z)解出的 x 的取值区 Z

2
间即为 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的增区间. 突破训练】 【突破训练】

2

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1. 已知 sin

x x ? 2 cos = 0 , (Ⅰ)求 tan x 的值; (Ⅱ)求 2 2

cos 2 x 2 cos(

π
4

的值.

+ x) ? sin x

解: (Ⅰ)由 sin

x x x ? 2 cos = 0 , ? tan = 2 , 2 2 2 x 2 tan 2 = 2× 2 = ? 4 . ∴ tan x = x 1 ? 22 3 1 ? tan 2 2

cos 2 x ? sin 2 x
(Ⅱ) 原式=

2( =

2 2 cos x ? sin x) sin x 2 2

=

(cos x ? sin x)(cos x + sin x) (cos x ? sin x) sin x

cos x + sin x 3 1 = cot x + 1 = (? ) + 1 = . sin x 4 4 π 4 π π 2. 已知 cos(θ ? ) = ? ,且 < θ < π ,求 cos(2θ + ) 的值. 12 5 2 12

3.已知 cos α =

1 13 π , cos(α ? β) = , 且0 < β < α < ,(Ⅰ)求 tan 2α 的值.(Ⅱ)求 β .[来源:Zxxk.Com] 7 14 2
2 1 π , 0 < α < ,得 sin α = 1 ? cos 2 α = 1 ? ? 1 ? = 4 3 ? ? 7 2 7 ?7?

解: (Ⅰ)由 cos α =

∴ tan α = sin α = 4 3 × 7 = 4 3 ,于是 tan 2α = 2 tan α = 2 × 4 3 = ? 8 3 cos α 7 1 1 ? tan 2 α 1 ? 4 3 2 47

(

)

(Ⅱ)由 0 < α < β < 又∵ cos (α ? β ) =

π
2

,得 0 < α ? β <

π
2
2

13 3 3 13 ,∴ sin (α ? β ) = 1 ? cos 2 (α ? β ) = 1 ? ? ? = ? ? 14 14 ? 14 ?

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13

由 β = α ? (α ? β ) 得: cos β = cos ?α ? (α ? β ) ? = cos α cos (α ? β ) + sin α sin (α ? β ) ? ?

π 1 13 4 3 3 3 1 = × + × = 所以 β = 3 7 14 7 14 2
4. 在三角形 ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边,且满足 4 sin (1)求角 A 的度数; (2)若 a =
2

B+C 7 ? cos 2 A = 。 2 2

3, b + c = 3, b < c ,求 b, c 的值。

5. 在 ?ABC 中, 角 A、B、C 的对边分别为 a 、 b 、 c .若 ?ABC 的外接圆的半径 R = 出 B 和 b 的大小.

3 ,且

cos C 2a ? c = , 分别求 cos B b

6. 在△ABC 中, 角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,角 B 为锐角,且 sin B = (1)求 sin
2

2 2 3

A+C + cos 2 B 的值; (2)若 b=2,求 ac 的最大值。 2

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14

? 1 ? 解: (1) 2 2 ? ? cos B = 3 sin B = ? 3 ? B为锐角
sin 2 A+C 1 ? cos( A + C ) + cos 2 B = + 2 cos 2 B ? 1 2 2 1 1+ 1 + cos B 3 + 2 × (1) 2 ? 1 = ? 1 = + 2 cos 2 B ? 1 = 2 2 3 9

(2)由余弦定理得 cos B =

a2 + c2 ? b2 1 2 = ∴ a 2 + c 2 ? b 2 = ac, b = 2 代入得 2ac 3 3

a2 + c2 =

2 2 ac + 4 又Q a 2 + c 2 ≥ 2ac ∴ ac + 4 ≥ 2ac 即 ac≤3(当且仅当 a=c 时取等号成立) 3 3

∴ac 的最大值为 3。 7.在 ?ABC 中, ∠A、∠B、∠C 的对边的边长分别为 a、b、c 且 a、b、c 成等比数列. (1) 求角 B 的取值范围;(2) 若关于 B 的不等式 cos 2 B ? 4 sin( 的取值范围.

π

4

+

B π B ) cos( + ) + m > 0 恒成立, m 求 2 4 2

8. 已知函数 f ( x ) = 2 cos 2 x + 3 sin 2 x + a ( a ∈ R ) . (2)若 x∈[0,

(1)若 x∈R,求 f ( x ) 的单调递增区间;

π ]时, f ( x ) 的最大值为 4,求 a 的值,并指出这时 x 的值. 2 π (1) f ( x ) = 3 sin 2 x + cos 2 x + 1 + a = 2 sin( 2 x + ) + 1 + a .[来源:学科网] 解: 6 π π π π π 解不等式 2k π ? ≤ 2 x + ≤ 2k π + . 得 k π ? ≤ x ≤ k π + ( k ∈ Z) 2 6 2 3 6

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15

π π , k π + ](k ∈ Z) . 3 6 π π π 7π (2)∵ x ∈ [0 , ], ∴ ≤ 2x + ≤ . 2 6 6 6 π π π π ∴ 当 2 x + = 即 x = 时, f ( x) max = 3 + a .∵ 3+a=4,∴ a=1,此时 x = . 6 2 6 6 3 2 9. 已知函数 f ( x) = 3 sin ωx ? cos ωx ? cos ωx + (ω ∈ R, x ∈ R ) 的最小正周期为,且其图象关于直线 2
∴ f ( x ) 的单调增区间为 [ k π ?

x=

π

6

对称. (1)求 f (x) 的解析式; (2)若函数 y = 1 ? f ( x) 的图象与直线 y = a 在 [0,

π

2

] 上只有一个交

点,求实数 a 的取值范围. 解: (1)Q f ( x ) =

3 sin ωx ? cos ωx ? cos 2 ωx +

3 3 1 3 = sin 2ωx ? (1 + cos 2ωx) + 2 2 2 2

=

3 1 π sin 2ωx ? cos 2ωx + 1 = sin(2ωx ? ) + 1 2 2 6

10. 已 知 函 数

f ( x) = sin(2 x + α ) + a cos(2 x + α ) ,其中 a > 0 且 0 < α < π ,若 f ( x) 的图象关于直线 x = f ( x) 的最大值为 2.⑴求 a 和 α 的值; ⑵如何由 y = f ( x) 的图象得到 y = 2 sin(2 x +

π
对称,且

π
3

6

) 的图象?

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16

2 解:(1)由 f ( x) = sin( 2 x + α ) + a cos( 2 x + α ) ≤ 1 + a 有 1 + a = 2 又 a > 0, ∴ a =

2

3

于是 f ( x ) = sin( 2 x + α ) + 3 cos( 2 x + α ) = 2 sin( 2 x + 又 f (x ) 的图象关于直线 x = 所以 2 ?

π
3

+α),

π π
6

对称,则在 x =

π
6

时, f (x ) 取最值.

π
6

6 7π 5π π (2) 由 (1) 知 f ( x ) = 2 sin( 2 x + ) = 2 sin[2( x + ) + ] , 所 以 , 只 要 将 y = f ( x) 的 图 象 按 向 量 6 12 3 → 5π π 5π a = ( ,0) 平移就得到 y = 2 sin(2 x + ) 的图象(或将 y = f ( x) 的图象向右平移 个单位). 12 3 12
11. 已知函数 f ( x ) = sin( x + 期; (2)若 x ∈ [ ?

+

π
3

+ α = kπ +

2

,所以 α = kπ ?

π

(k ∈ z ) ,又 0 < α < π 所以 α =

5π 6

π

π π

) + sin( x ? ) + cos x + a ( a ∈ R, a 是常数) (1)求函数 f ( x ) 的最小正周 6 6

π

, ] 时, f ( x) 的最大值为 1,求 a 的值。 2 2

解: (1) f ( x ) = sin( x +

π

) + sin( x ? ) + cos x + a = 3 sin x + cos x + a 6 6

π

π 2π = 2 sin( x + ) + a所以, T = = 2π 6 1 π π π π 2π (2) Q x ∈ [? , ],∴ x + ∈ [? , ]∴ f ( x)的最大值为a + 2 ∴ a + 2 = 1∴ a = ?1 2 2 6 3 3
12. 在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,且 b + c = a + bc .
2 2 2

(1)求角 A 的大小; (2)若 sin B ? sin C = sin A ,判断△ABC 的形状.
2

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17

13.

已 知

uuu uuur r △ ABC 的面积为 3 ,且满足 0 ≤ AB ? AC ≤ 6 ,设 AB 和 AC 的夹角为 θ .[来源:学#科#网 Z#X#X#K]
(I)求 θ 的取值范围; (II)求函数 f (θ ) = 2sin 2 ?

?π ? + θ ? ? 3 cos 2θ 的最大值与最小值. ?4 ?

(Ⅰ)设 △ ABC 中角 A B,C 的对边分别为 a,b,c ,[来源:学科网 ZXXK] , 解: 则由

1 cos θ ?π π? bc sin θ = 3 , 0 ≤ bc cos θ ≤ 6 ,可得 0 ≤ ≤ 1 ,∴θ ∈ ? , ? . 2 sin θ ?4 2?

(Ⅱ) f (θ ) = 2sin 2 ?

? ?π ?? ?π ? + θ ? ? 3 cos 2θ = ?1 ? cos ? + 2θ ? ? ? 3 cos 2θ ?4 ? ?2 ?? ?

π? ? = (1 + sin 2θ ) ? 3 cos 2θ = sin 2θ ? 3 cos 2θ + 1 = 2 sin ? 2θ ? ? + 1 . 3? ? π ? π 2π ? π? ?π π? ? ∵θ ∈ ? , ? , 2θ ? ∈ ? , ? ,∴ 2 ≤ 2sin ? 2θ ? ? + 1 ≤ 3 . 3 ?6 3 ? 3? ?4 2? ?
即当 θ =

5π π 时, f (θ ) max = 3 ;当 θ = 时, f (θ ) min = 2 . 12 4 3 sin x cos x + cos 2 x + m (1)写出函数 f (x) 的最小正周期及单调递增区间;

14 设函数 f ( x ) = (2) x ∈ [ ?

π π

, ] 时,函数 f (x) 的最小值为2,求此时函数 f (x) 的最大值,并指出 x 取何值时,函 数 6 3

f (x) 取到最大值.

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18

解: f ( x ) = 由 2kπ ?

3 1 + cos 2 x π 1 sin 2 x + + m = sin(2 x + ) + m + 2 2 6 2
≤ 2x +

∴T = π

π
2

π
6

≤ 2kπ +

π
2

得 kπ ?

π π
3
6

≤ x ≤ kπ +

π
6

故函数 f (x ) 的单调区间为 [ kπ ? (2)Q ?

π
3

, kπ +

](k ∈ Z ) .

5π 1 π ∴ ? ≤ sin(2 x + ) ≤ 1 6 3 6 6 6 2 6 π 1 1 1 当∴ sin( 2 x + ) = ? 时,原函数取最小值2,即 ? + m + = 2 ∴ m = 2 6 2 2 2 π 5 π π π π 7 ∴ f ( x) = sin(2 x + ) + ∴ 当 sin(2 x + ) = 1 ,即 2 x + = , x = 时, f ( x) 取到最大值 . 6 2 6 6 2 6 2 1 15.使函数 y = f ( x ) 图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标缩小到原来的 ,然后再将其图象沿x轴 2
≤x≤
,Q ?

π

π

π

≤ 2x +

π



π

向左平移

6

个单位, 得到的曲线与 y = sin 2 x 相同. y = f ( x ) 的表达式; y = f ( x ) 的单调递 减区间. 求 求

(1)先将 y = sin 2 x 的图象向右平移 解: 再将 y = sin( 2 x ?

π
6

得 y = sin 2( x ?

π

π

) ,即 y = sin(2 x ? ) 的图象. 6 3

π

) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍, 而纵坐标不变, 得到 y = sin( x ? ) 的 3 3

π

图象.则 y = sin( x ? (2)由 2kπ +

π

3 5 11 ≤ 2kπ + π 得 2kπ + π ≤ x ≤ 2kπ + π 2 3 2 6 6 5 11 即 y = f ( x ) 的单调递减区间为 [ 2kπ + π ,2kπ + π ] ( k ∈ Z ) . 6 6

π

3

) 即为所求.

≤ x?

π

16. 函数 f ( x ) 是定义在 [ ?2π ,2π ] 上的偶函数,当 x ∈ [0, π ] 时, y = f ( x ) = cos x ;当 x ∈ [π ,2π ] 时,

y = f ( x) 的图象是斜率为

2

π

,在 y 轴上截距为-2的直线在相应区间上的部分. (1)求 f ( ?2π ), f ( ?

π
3

)

的值;(2)写出函数 y = f ( x ) 的表达式,作出其图象并根据图象写出函数的单调区间.

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