当前位置:首页 >> 能源/化工 >> 分离工程教案-第1章绪论

分离工程教案-第1章绪论


一、教学目的:通过本课程教学,使学生典型分离技术的基本内容, 掌握多组分精馏和吸收、 吸附、 膜分离等单元操作的原理和有关计算; 能进行典型化工单元操作的工艺计算。 二、时间安排: 1、绪论 2、精馏 3、特殊精馏 3、吸收 4、吸附 5、膜分离技术 6、复习 7、合计 三、重点与难点 1、重点:精馏、吸收 2、难点:吸附、膜分离 四、授课 1.2 节 (一)引入: 《化工原理》课中,我们学习了双组分物料分离的单元操作。但 是自然界存在的绝大多数物质,多数是以多种成分的混合物形式存 在,当我们需要其中的某一组分物质时,往往需要对多组分混合物重 新进行混合和分离,如选矿、冶炼、食盐的制取、石油的分馏等,所
1

60 学时 2 学时 12 学时 8 学时 12 学时 14 学时 10 学时 2 学时 60 学时

以,在工程上,多组分分离更具有实际意义,为此,特开设分离工程 课程以满足工程需要。 (二)授课: 第一章 第一节 绪论 概况

一、分离工程的作用、意义和分类: 1、概括化工生产过程: 1)原料的预处理(粉碎、加热、分离) ; 2)经预处理的原料通过化学反应而生成产物(包括中间品、产 品) ; 3)产物的分离和提纯。 4)物料的输送 5)化工过程可概括为:化学反应、分离、加热(冷)等预处理、 输送------产生学科:反应工程、分离工程、传热、流体(粉体)的 输送。 2、关于分离过程 1)物质(组分)的混合为自发的自然过程,并拌有熵增大,也是所 谓的无序程度的增加。相反,将混合物分离则不是自发过程,需要消 耗一定能量。 2)如果被分离的混合物存在两个或多个互不溶的相,一般先利 用机械方法分离各相,如利用重力场、离心力常或电场等予以分离。 随后对每相采用适当的分离技术分离之。
2

3)对于均相混合物(气相、液相或固相) ,通常是产生或加入一 个与其不互溶的另一相物质,而实现混合物的分离的。此不互溶的物 质可以利用能量分离剂 (ESA) 产生,或作为质量分离剂 (MSA) 加入。 4)能量分离剂包括热、压力、电、磁、离心运动、辐射等;质 量分离剂指过滤介质、吸收剂、表面活性剂、吸附剂、离子交换树脂、 膜材料等。 3、分离工程 1)意义:是研究多组分混合物分离成为两种或两种以上的较纯物 质的一门工程学科,是化学工程学科的一个重要分支。 2) 、分类 (1)以单元操作分类: A、通过添加或产生新相实现分离:蒸馏、吸收、干燥、结晶、蒸 发、萃取; B、采用阻挡物分离:膜分离; C、采用固体介质分离:吸附、离子交换; D、应用外力场的分离:电解、电泳、电渗析、离心分离。 (2)以分离机理分类 A、以平衡为基准:精馏、吸收、萃取等; B、以传质速率为基准:吸附、精馏、吸收、膜分离等。 4、分离技术的应用(略) 二、课程的性质与任务 1、性质
3

是自然科学领域基础理论向工程学科的专业课程过渡的重要课 程。分离工程具有奠定专业课程的理论基础之功效。 2、任务 领悟,掌握各单元操作的原理、过程计算、设备选型和实验研究 方法,以更好的理解和掌握专业课所阐述的各项工程技术,为解决工 程实际问题奠定坚实的基础。 3、注意以此为媒介,深刻理解客观事物的内在规律。在分离工 程中的许多内容都能很好的体现事物的客观规律性。 第二节 物料衡算

1、物料衡算、热量衡算、平衡关系、传递速率贯穿本课程的始 终。 2、关系式 根据质量守恒定律,进入与离开某一化工过程的物料质量之差, 必然等于该过程中累积的物料的质量。即:

?m

i int

? ? miout ? ? dmi

但是,化工过程多为连续过程,对于连续过程,若各物理量不随 时间变化,即处于稳定操作状态时,其过程中没有物料的累积,则物 料衡算式为:

?m
?m
3、步骤如下:

i入

? ? m i出 ? 0

在分离工程中,物料衡算还要结合传质,这时其衡算式为:
i ,int

? ? mi ,out ? A? N i

4

1)根据题意绘制流程示意图,并标明各物流的的流向、已知 量和待求量; 2)列出衡算式,必要情况下,列出多个衡算式; 3)求解等式或方程式。 4、物料衡算范围可任意选取,可以是一台设备,也可以为某一 微元。 5、有时解析衡算式是困难的,往往采用近似解。但是正确的物 料衡算是我们必须掌握的。 6、典型物料衡算 1.精馏塔物料衡算

图 1-2 精馏塔物料衡算图 如图,若进料为 F ,塔顶产品量为 D ,塔底产品量为 W ,可以得 到总物料衡算式:
F ? D ?W
W ? ? wi D ? ? di F ? ? fi

(1-4)

对混合物中任一 i 组分的物料衡算式:

(1-5)
5

或者 (1-6) 例 1-1 某塔进料量为 100kmol / h ,进料组成为甲烷 0.4;乙烷 0.2; 丙烷 0.3;丁烷 0.1(以上皆为摩尔分率) 。分离要求乙烷在塔顶的回 收率为 90%,不含丁烷,塔底丙烷回收率为 95%,不含甲烷。求塔 顶、塔底产品的数量? 解:1)塔顶

D ? d1 ? d 2 ? d 3

f1 ? d1 ? 40 kmol / h ,

d 2 ? ? l ? f l ? 0.9 ? 20 ? 18kmol / h ,

d 3 ? f 3 ?1 ? ? ? ? 30 ? ?1 ? 0.95 ? ? 1.5kmol / h

D ? 40 ? 18 ? 1.5 ? 59.5kmol / h

2)塔底

W ? F ? D ? 100 ? 59.5 ? 40.5kmol / h

2.固定床吸附器的物料衡算

如图,流体以活塞流的方式流过床层 t 时间后,在距离入口的 Z 处

中微小吸附层 dz 的非稳定的物料平衡。设吸附剂密度为 ? b ,填充层密 度为 ? v ,填充层空隙率为 ? ,床层断面积为 A ,到达截面 Z 时溶液浓度 为 C ,流体流速为 u ,在 t ~ t ? dt 的时间内,dz 层内吸附质的增加量 q1 可用下式表示:
? ?C ? ? ?q ? q1 ? ? ? ? Adzdt ? ? v ? ? Adzdt ? ?t ? z ? ?t ? z

FZi
(1-7)
6

图 1-3 床层内传质示意图 其中: ? ? ?
?C ? ? Adzdt 表示在 dz 增量的空隙体积( ?Adz )内由于浓度变 ? ?t ? z ?C ? ? dt 表示单位体积内吸附质浓 ? ?t ? z

? 化而导致的 dz 层内吸附质的变化量, ?

度在 dt 内的变化量, ? ? 的变化率; ? v ? ?

?C ? ? 表示单位时间内在 z 位置上吸附质浓度为 C ? ?t ? z

?q ? ? Adzdt 表示在 dz 内由于吸附剂的量( ? v Adz )的吸附 ? ?t ? z ?q ? ? dt 单位 ? ?t ? z

导致吸附质的变化量,? v Adz 表示 (Adz) 体积内吸附剂的量,? ? 质量吸剂在时间内所吸附的吸附质的量。
q2 ? uACdt

其中,uACdt 表示在 dt 时间内吸附质由 z 处流入系统的量,uA 为体积 流量, C 为吸附质在 z 处的浓度, uAC 为单位时间内位于 z 处流入系统 的吸附质的量。
? ? ?C ? ? q3 ? ?uC ? u ? ? dz? Adt ? ?z ? t ? ?

(1-9) 其中
? ? ?C ? ? uA?C ? ? ? dz? dt 表示在时间内 dt 在 z ? dz 处吸附质的流出量, ? ?z ? t ? ?

? ?C ? ? ? 表示从 t 时刻和 z 处起始,单位时间内单位体积吸附质的浓度变 ? ?z ? t

化率, uA? ?

?C ? ? dz 表示从 t 时刻和 z 处起始,单位时间内 Adz 体积吸附质 ? ?z ? t ?C ? ? dzdt 表示从 t 时刻和 z 处起始,dt 时间内 Adz 体积吸附 ? ?z ? t

的变化量,uA? ?

7

质的变化量
? ? ?C ? ? q 2 ? q3 ? uACdt ? uA?C ? ? ? dz? dt ? ?z ? t ? ?

(1-10)

显然,流入 z 与 z ? dz 流出的吸附质之差,等于在 Adz 层内吸附质的 累积量:
q 2 ? q3 ? q1

(1-11)
??
? ? ?C ? ? ?q ? ? ?C ? ? ? Adzdt ? ? v ? ? Adzdt ? uACdt ? uA?C ? ? ? dz? dt ? ?t ? z ? ?t ? z ? ?z ? t ? ?

(1-12)

化简得:
? ?C ? ? ?C ? ? ?q ? u? ? ? ?? ? ? ?v ? ? ? 0 ? ?z ? t ? ?t ? z ? ?t ? z

(1-13) 该方程为偏微分方程,是吸附过程重要的关系式。 3. 球型吸附剂(或催化剂)颗粒内物料衡算 浓度为 C 的流体被球形颗粒吸附剂所吸附可视为扩散过程,假设 其扩散系数为 De , 球表面处浓度为 C S ,颗粒中心吸附质浓度为 0, 颗粒 半径为 R ,对吸附颗粒的吸附过程做物料衡算(如图) 。

8

图 1-4 颗粒内传质示意图 对流过颗粒的单位流量的流体作 dt 时间内的物料衡算,对于球内 扩散,认为是由 r ? ?r 处流入,由 r 处流出. 设在单位时间内,吸附质在球型颗粒的 r 处的流出量为:
G1 ? 4?r 2 De ?C ?r

(1-14)
?C 为位于 r 处吸附质的扩 ?r 散速率, 4?r 2 为半径为处的球面面积, 4?r 2 De ?C 表示单位质量流体单 ?r

其中,

?C ?r

表示位于 r 处的浓度梯度, De

位时间内从半径为 ?r ? 处的的吸附质的流出量。 在单位时间内,在球型颗粒的 ?r ? r 处流入的流入量为:
?C ? ? ?? C ? ?r ? ?r 2 ? G2 ? 4? ?r ? ?r ? De ? ?r

(1-15)

其中,

?C ? ? ?? C ? ?r ? ?C ?r ? ?r 表示球内从 r 到 ?r 浓度梯度的变化量, ? ?r ?r

?C ? ? ?? C ? ?r ? ?r ? 表示位于 r ? ?r 处吸附质的扩散 表示 ?r 处的浓度梯度, De ? ?r

速 率 ,

4? ?r ? ?r ?

2

表 示 半 径 为 ?r ? ?r ? 处 的 球 面 面 积 ,

?C ? ? ?? C ? ?r ? ?r 2 ? 4? ?r ? ?r ? De ? ?r

表示单位质量流体单位时间内从半径为

?r ? ?r ? 处的吸附质流入量。
同时流体在通过 ?r 薄层时,吸附质被吸附,单位时间内的吸附量 为:
9

G3 ? 4?r 2 ?r? b

?q ?t

在 dt 时间内,流入量与流出量之差等于吸附量,即:
?C ? ? ?? C ? ?r ? ?r 2 ? dt ? 4?r 2 ?r? ?q dt ? 4?r 2 D ?C dt 4? ?r ? ?r ? De ? b e ?r ?t ?r

展开并消去同类相得:
2 De ?C ?r ?C ? 2C ? 2 C ?r 2 ? 2C ?q ? De ? rDe ? 2?rDe ? De ? r? b 2 2 2 ?r r ?r r ?t ?r ?r ?r

令 ?r ? 0 以消去含有 ?r 相,有:
2 De ?C ? 2C ?q ? rDe ? r? b 2 ?r ?t ?r

整理得:
? ? 2 C 2 ?C ? ?q ? ? ?b De ? 2 ? ? ?r ? r ?r ? ?t ?

上式即为颗粒内传质方程

第三节

化工数值计算

分离工程设计计算中,经常遇到数学问题,主要包括数据处理、 微分方程的数值解、代数方程(组)求解计算。本节简要介绍插值法、 解高次代数方程的方法和解多元线性方程组的高斯法。 1.3.1 插值法 在化工计算中,经常需要化工物性数据。这些化工数据多数是通 过图表形式得到,这种图表式的数据或为实验测定值、或其自变量与 函数值的解析表达式不明确。通过插值法可以构造一个近似的简单的 函数表示其函数关系,从而得到所需要数据。
10

拉格郎日线性插值:如果已知两组数据 ?x0 , f ( x0 ) ? 、?x1 , ( f1 )? ,则 x 的 函数值 f (x) 可通过下式估算:
f ( x) ? x ? x0 x ? x1 f ( x0 ) ? f ( x1 ) x0 ? x1 x1 ? x0


f ( x) ? f ( x0 ) ? f ( x1 ) ? f ( x0 ) ( x1 ? x0 ) x1 ? x0

拉 格 郎 日 抛 物 线 插 值 : 如 果 已 知 三 组 数 据
( x1 , f ( x1 ))、 2 , f ( x2 ))、 3 , f ( x3 )) ,则 x 的函数值 f (x) 可通过下式估算: (x (x

f ( x) ?

( x ? x 2 )( x ? x3 ) ( x ? x1 )( x ? x3 ) ( x ? x1 )( x ? x 2 ) f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ( x1 ? x 2 )( x1 ? x3 ) ( x 2 ? x1 )( x 2 ? x3 ) ( x3 ? x1 )( x3 ? x 2 )

例 1-2 根据表中丙烷数据, 确定丙烷在 1.013 ?10 4 kN / m 2、 K 下的导 372 热系数。
T/K
P ? 10 3 / kN / m 2

? /W / m ? K

T/K

P ? 10 3 / kN / m 2

? /W / m ? K

341

9.7981 13.324

0.0848 0.0897 0.0762 0.0807

379

9.7981 14.277

0.0696 0.0753 0.0611 0.0651

360

9.0078 13.355

413

9.6563 12.463

解:1)确定 P ? 10.13kN / m 2 下,温度分别为 341 K 、360 K 、379 K 、 413 K 时的导热系数: 根据 ? ?
P ? P0 P ? P1 ?0 ? ?1 P0 ? P1 P1 ? P0

10.13 ? 13.324 10.13 ? 9.7981 ? 0.0848 ? ? 0.0897 ? 0.0853 9.7961 ? 13.324 13.324 ? 9.7981 10.13 ? 13.355 10.13 ? 9.0078 360 K 时: ? ? ? 0.0762 ? ? 0.0807 ? 0.0774 9.0078 ? 13.355 13.355 ? 9.0078

341 K 时: ? ?

11

10.13 ? 14.277 10.13 ? 9.7981 ? 0.0696 ? ? 0.0753 ? 0.0699 9.7981 ? 14.277 14.277 ? 9.7981 413 K 时: ? ? 10.13 ? 12.463 ? 0.0611 ? 10.13 ? 9.6563 ? 0.0651 ? 0.0618 9.6563 ? 12.463 12.463 ? 9.6563

379 K 时: ? ?

2)确定 P ? 10.13kN / m 2 、342 K 时的导热系数:
??
(342 ? 360 )(342 ? 379 )(342 ? 413) (342 ? 341)(342 ? 379 )(342 ? 413) ? 0.0853 ? ? 0.0774 (341 ? 360 )(341 ? 379 )(341 ? 413) (360 ? 341)(360 ? 379 )(360 ? 413)

?

(342 ? 341)(342 ? 360 )(342 ? 413) (342 ? 341)(342 ? 360 )(342 ? 379 ) ? 0.0699 ? ? 0.0618 (379 ? x341)( x379 ? 360 )(379413 ) (413 ? 341)( 413 ? 360 )( 413 ? 379 )

? 0.0725W / mK

1.3.2 解高次代数方程的牛顿法和迭代法 在分离工程中经常遇到高次方程的求解问题,现介绍工程上常用 的方法--牛顿法(亦称切线法)和迭代法。 牛顿法:若需要确定方程 y ? f ?x ? 的解 ? ,可令 x0
y ? f ?x0 ? ? f ??x0 ??x ? x0 ?

? a 有:

令 y ? 0 ,则:
x1 ? x0 ? f ?x0 ? f ??x0 ?

其中 x1 比 x 0 更接近方程的根 ? 。 如此,继续应用,有:
x 2 ? x1 ? f ?x1 ? f ??x1 ? f ?x n ?1 ? f ??x n ?1 ?

x n ? x n ?1 ?

当 x n ? x n ?1 ? ? 时,即可认为 x n 为方程的根 ? 。

12

例题 1-3 某脱乙烷塔的釜液组成和 22℃时的平衡常数见下表,其 汽化率 e 和进料组成、平衡常数关系为 ? 率 组分 i zi
Ki

Zi ? 1 ,试确定其气化分 1 ? ? Ki ? 1? e

C2= 0.002 6.2

C20 0.002 4.0

C3= 0.680 1.45

C30 0.033 1.25

iC40 0.196 0.5

C50 0.087 0.11

解:1) 设 f (e) ? ?
Zi ? Z i ( K i ? 1) ? 1 则 f ?(e) ? ? 1 ? ( K i ? 1)e (1 ? ( K i ? 1)e) 2

2)数据代入
f (e) ? 0.002 0.002 0.68 0.033 0.196 0.087 ? ? ? ? ? ?1 1 ? 5.2e 1 ? 3e 1 ? 0.45e 1 ? 0.25e 1 ? 0.5e 1 ? 0.89e
0.002 ? 5.2 0.002 ? 3 0.68 ? 0.45 0.033 ? 0.25 0.196 ? 0.5 0.087 ? 0.89 ? ? ? ? ? (1 ? 5.2e) 2 (1 ? 3e) 2 (1 ? 0.45e) 2 (1 ? 0.25e) 2 (1 ? 0.5e) 2 (1 ? 0.89e) 2

f ?(e) ?

3)取 e0 ? 0.45 4)
f (0.45) ? 0.002 0.002 0.68 0.033 0.196 0.087 ? ? ? ? ? ?1 1 ? 5.2 ? 0.45 1 ? 3 ? 0.45 1 ? 0.45 ? 0.45 1 ? 0.25 ? 0.45 1 ? 0.5 ? 0.45 1 ? 0.89 ? 0.45

? ?0.0057
f ?(0.45) ? 0.002 ? 5.2 0.002 ? 3 0.68 ? 0.45 0.033 ? 0.25 0.196 ? 0.5 0.087 ? 0.89 ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 (1 ? 5.2 ? 0.45) (1 ? 3 ? 0.45) (1 ? 0.45 ? 0.45) (1 ? 0.25 ? 0.45) (1 ? 0.5 ? 0.45) (1 ? 0.89 ? 0.45) 2

? 0.18
e1 ? e0 ? f ?e0 ? 0.0057 ? 0.45 ? ? 0.482 f ??e0 ? 0.18

5)
13

f (0.482 ) ?

0.002 0.002 0.68 0.033 0.196 0.087 ? ? ? ? ? ?1 1 ? 5.2 ? 0.482 1 ? 3 ? 0.482 1 ? 0.45 ? 0.482 1 ? 0.25 ? 0.482 1 ? 0.5 ? 0.482 1 ? 0.89 ? 0.482

? 0.0002
f ?(0.482 ) ? 0.002 ? 5.2 0.002 ? 3 0.68 ? 0.45 0.033 ? 0.25 0.196 ? 0.5 0.087 ? 0.89 ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 (1 ? 5.2 ? 0.482 ) (1 ? 3 ? 0.482 ) (1 ? 0.45 ? 0.482 ) (1 ? 0.25 ? 0.482 ) (1 ? 0.5 ? 0.482 ) (1 ? 0.89 ? 0.482 ) 2

? 0.2117
e2 ? e1 ? f ?e1 ? 0.0002 ? 0.482 ? ? 0.481 f ??e1 ? 0.2117

即在 22℃、0.7MPa 下的汽化率 e ? 0.481 迭代法:设 f (x) 为实数函数,需求解方程 f ( x) ? 0 的实根,先将方 程改写为等价形式:
x ? ? (x)

例如 f ( x) ? x 2 ? 3e ? x ? 7.2 ? 0 ,其等价函数 x ? ? (x) 可写成如下形式:
x ? ? 7.2 ? 3e ? x

x ? x 2 ? 3e ? x ? 7.2 ? x
x ? ? ln 2.4 ? x 2 / 3

?

?

假设 x 0 是方程的根的初始近似值, 将其代入 (1-18) 右端, 求得 x1 , 再将 x1 代入(1-18)右端,求得 x 2 ,…,如此重复循环,即:
x1 ? ? ( x0 )

x 2 ? ? ( x1 )

……
xn?1 ? ? ( xn )

(1-19) 如数列 x0 , x1 , x2 ?, xn 存在极限,则就是方程 f ( x) ? 0 的根。 例 1-4 用 RK 方程计算异丙醇蒸气在 473 K、 ? 10 5 Pa 压力下的摩尔体 10
14

积。已知异丙醇的临界常数 TC 解;1)计算 RK 常数:

? 508 .3K 、 PC ? 47.64 Pa 。

0.42748 R 2TC2.5 0.42748 ? 8.314 2 ? 508 .3 2.5 a? ? ? 36 .130 Pa ? m 3 ? K 0.5 ? mol ?1 5 PC 47 .64 ? 10

b?

0.08664 RTC 0.08664 ? 8.314 ? 508 .3 ? ? 7.686 ? 10 ?5 m 3 ? mol ?1 5 PC 47.64 ? 10

2)计算 B 、 A / B
B? bP 7.686 ? 10 ?5 ? 10 ? 10 5 ? ? 1.954 ? 10 ?2 m 2 ? N ?1 RT 8.314 ? 373

A a 36.130 ? ? ? 5.496 1.5 ?5 B bRT 7.686 ? 10 ? 8.314 ? 4731.5

3)计算 Z 由Z ?
1 5.496 h B B 1 5.496 h 和 h ? 有: ? 迭代计算 ? ? 1? h 1? h Z h 1? h 1? h

(1)设 Z1 ? 1 , (2)左边: h1 ? B / Z ? 1.954 ? 10 ?2 / 1 ? 1.954 ? 10 ?2 ; ( 3 ) 由
h1 ? 1.954 ? 10 ?2

, 代 入 右 边 , 得 :

B 1 5.496 ? 1.594 ? 10 ?2 ? ? ? 0.93 h2 1 ? 1.594 ? 10 ? 2 1 ? 1.594 ? 10 ? 2

得: h2 ( 4

? 1.954 ? 10 ?2 / 0.93 ? 2.101 ? 10 ?2





h2 ? 2.101 ? 10 ?2













B 1 5.496 ? 2.101 ? 10 ?2 ? ? ? 0.9084 h3 1 ? 2.101 ? 10 ? 2 1 ? 2.101 ? 10 ? 2

得: h3 ? 1.954 ? 10 ?2 / 0.9084 ? 2.151 ? 10 ?2 ( 5 ) 由
h3 ? 2.151 ? 10 ?2













B 1 5.496 ? 2.151 ? 10 ?2 ? ? ? 0.9063 h4 1 ? 2.151 ? 10 ?2 1 ? 2.151 ? 10 ? 2

15

得: h4 ( 6

? 1.954 ? 10 ?2 / 0.9063 ? 2.156 ? 10 ?2





h4 ? 2.156 ? 10 ?2











B 1 5.496 ? 2.156 ? 10 ?2 ? ? ? 0.9060 h5 1 ? 2.156 ? 10 ?2 1 ? 2.156 ? 10 ? 2

得; h5

? 1.954 ? 10 ?2 / 0.9060 ? 2.1567 ? 10 ?2 ,已与 h4 接近,

故: h ? 2.156 ?10 ?2 4)计算体积
V?

Z ? 0.9060

ZRT 0.9060 ? 8.314 ? 473 ? ? 0.00356 m 3 / mol P 10 ? 10 5

1.3.3 多元线性方程组求解 工程上遇到多元线性方程组求解时多将其转化为矩阵形式解之, 因为解矩阵方法多且可采用计算机计算。 所谓矩阵就是由 m? n 个数 aij (i ? 1,2,?, m; j ? 1,2,? n) 所排成的 m 行 n 列 的数表:
? a11 ? ?a A ? ? 21 ? ? ?a ? m1 a12 a 22 ? am2 ? a1n ? ? ? a2n ? ? ?? ? ? a mn ? ?

叫做 m 行 n 列矩阵,简称 m? n 矩阵。上面矩阵也可简记为:
A ? ?aij ?m?n 或 A ? ?aij ?

对于 n 元线性方程组:
?a11 x1 ? a12 x 2 ? ? ? a1n x n ? b1 ? a x ? a x ? ?a x ? b ? 21 1 22 2 2n n 2 ? ? ??????????? ? a m1 x1 ? a m 2 x 2 ? ? a mn x n ? bn ?

亦可以用矩阵:
AX ? b
16

b 表示。 其中 A 为系数矩阵, A ? ?aij ?m?n ; 是右端向量, ? ?b1 , b2 ,?, bn ?T ; b

X

是未知向量, X ? ?x1 , x2 ,? xn ?T 。若系数矩阵 A 非奇异,即 det A ? 0 ,则

方程组(1-20)有唯一解。并可用克莱母法则求解,即:
xi ? det Ai det A
(i ? 1,2,?, n)

其中 det Ai 是把矩阵 A 中的第 i 列换成 b 后所得到的阶行列式。由于 该方法计算工作量巨大, 故多其他方法解之。 本节仅介绍高斯消元法。 高斯消元法的基本方法是通过变换,消去一个未知数,经过多次 变换,得到一个等阶的(三角形)方程组,再通过回代,解得向量 X 。 例 1-5 解方程组
? 11x1 ? 3 x 2 ? x3 ? 3 ? ?? 23 x1 ? 11x 2 ? x3 ? 0 ? x ? 2 x ? 2 x ? ?1 2 3 ? 1

解:1)上述方程组可用下面矩阵表示
? 11 ? 3 ? 2? ? x1 ? ? 3 ? ?? 23 11 1 ? ? x ? ? ? 0 ? ? ?? 2 ? ? ? ? 1 ? 2 2 ? ? x3 ? ?? 1? ? ?? ? ? ?

2)将矩阵的第二行 ? 11 ,加到第一行;第二行 ?
23

1 ,加到第 23

三行:
52 35 ? ? ? 3? ? 0 23 23 ?? 23 11 1 0? ? ? 35 47 ? 0 ? ? 1? 23 23 ? ? ? ? 35 3)第一行 ? ,加到第三行,得: 52

17

52 ? ? 0 23 ?? 23 11 ? ? 0 0 ? ?

?

35 23 1 53 52

? 3? 0? 53 ? ? 52 ? ?

4)第一行与第二行互换:
? ?? 23 ? ? 0 ? ? 0 ? ? 11 52 23 0 1 35 ? 23 53 52 ? 0? ? 3? ? 53 ? 52 ? ?

5)还原方程组为:
? ?? 23 x1 ? 11x 2 ? x3 ? 0 ? 52 35 ? x2 ? x3 ? 3 ? 23 23 ? 53 53 ? x3 ? ? 52 52 ?

即 x3 ? 1 , x 2

? 2 , x1 ? 1

例 1-6 假设物系服从 Beer 定律,试确定下列混合物中组分的浓度。 设光程长度为 1cm ,观测数据如下: 波长 对二甲苯 间甲苯 邻二甲苯 乙笨 总吸收率

12.5 1.502 13.0 0.0261 13.4 0.0343 14.3 0.0340

0.0514 0 1.1516 0 0.0355 2.532 0.0684 0

0.0408 0.1013 0.0820 0.09943 0.2933 0.2194 0.3470 0.0339

解:1)根据 Beer 定律,有:
Atoti ? ? ? ij C j
j ?1 4

18

2) 设组分浓度为 c1 、 c 2 、 c 3 、 c 4 ,根据数据和上式,有下 列方程组:
1.502 c1 ? 0.0514 c 2 ? 0.0408 c4 ? 0.1013 ? ? 0.0261c1 ? 1.1516 c2 ? 0.0820 c4 ? 0.09943 ? ? ?0.0342 c1 ? 0.0355 c 2 ? 2.532 c3 ? 0.2933 c 4 ? 0.2194 ? 0.0340 c1 ? 0.0684 c2 ? 0.3470 c4 ? 0.03396 ?

3)用矩阵表示,有:
? 1.502 ? 0.0261 ? ?0.0342 ? ?0.0340 0.0514 1.1516 0.0355 0.0684 0.0408 ? ? c1 ? ? 0.1013 ? 0 0.0820 ? ?c2 ? ? 0.0993 ? ?? ? ? ? ? 2.352 0.2933 ? ?c3 ? ? 0.2194 ? ?? ? ? ? 0 0.3470 ? ?c4 ? ?0.03396 ? 0

4)第一行 ? ? ? 二、三、四行,得:
?1.502 ? 0 ? ? 0 ? ? 0

? 0.0261 ? ? ? 0.0342 ? ? ? 0.0340 ? ? 、? ? ? 、? ? ? ,分别加到第 ? 1.502 ? ? 1.502 ? ? 1.502 ?

0.0514 1.1507 0.0343 0.0672

0.0408 ? ? c1 ? ?0.1013 ? 0 0.0820 ? ?c2 ? ?0.0977 ? ?? ? ? ? ? 2.352 0.2924 ? ?c3 ? ? 0.2171 ? ?? ? ? ? 0 0.3470 ? ?c4 ? ?0.0317 ? 0

5)第二行 ? ? ?

? 0.0343 ? ? ? 0.0672 ? ? 、? ? ? ,分别加到第三、四行,得: ? 1.1507 ? ? 1.1507 ?

?1.502 0.0514 ? 0 1.1507 ? ? 0 0. ? 0. ? 0

0.0408 ? ? c1 ? ?0.1013 ? 0 0.0820 ? ?c2 ? ?0.0977 ? ?? ? ? ? ? 2.352 0.2899 ? ?c3 ? ?0.2142 ? ?? ? ? ? 0 0.3413 ? ?c4 ? ?0.0260 ? 0

6)通过回代,得:
c4 ? 0.0260 / 0.3413 ? 0.0762
c3 ? (0.2142 ? 0.2899 ? 0.0762 ) / 2.532 ? 0.0759

c2 ? (0.0977 ? 0.0813 ? 0.0762 ) / 1.1507 ? 0.0795 c1 ? (0.1013 ? 0.0514 ? 0.095 ? 0.0408 ? 0.0762 ) / 1.502 ? 0.0627

19

在复杂精馏计算中经常遇到三对角方程组。若线性方程组 AX

?d

的系数矩阵 A 是一个三对角矩阵(主对角线和相邻的两条对角线上具 有非零元素,其余皆为零的矩阵),称方程组 AX 组。即:
? b1 c1 0 ?a b c 2 2 ? 1 ? 0 a b3 ? ? ? ? A?? ? ? ?0 ? ? ?0 ?0 0 ? 0 ? ? ? ? ? 0 0 ? ? ? c n ?1 bn ?1 a n ?1 ? ? ? ? ? 0? ? ? ? ? 0? ? ? ? 0? ? cn ? bn ? ?

? d 为三对角线方程

? ? bn ? 2 ? a n?2 0 0

d ? ( d 1 , d 2 ,? , d n ) T
X ? ( x1 , x 2 ,? , x n ) T

解三对角线方程组一般采用 T homas 法。 其原则是将对角线上的元 素化为,下对角元素化为 0,然后回代。 设 a i 、 bi 、 c i 、 d i 为原来元素 wi 、 g i 为消元后新元素,则消元过程 为:
w1 ? c1 / b1 ? ? wi ? ci /(bi ? ai ?1 wi ?1 )(i ? 1, 3, ,n ? 1) 2,? ? ? g1 ? d i / bi ? ? g i ? (d i ? ai ?1 g i ?1 ) /(bi ? ai ?1 wi ?1 )(i ? 1, 3, ,n ? 1) 2,? ?

回代过程为:
xn ? g n ? ? ? xi ? g i ? wi xi ?1

20

例 1-7 用固定床反应器的拟均相二维模型求解乙苯脱氢反应器中 沿径向反应物浓度分布时,得到一组有关沿反应器内径向六点处乙苯 转化率的方程组
x1 ? 0.333 x 2 ? 0.0296 ? ? 0.05 x ? x ? 0.15 x ? ?0.0356 1 2 3 ? ? 0.075 x 2 ? x3 ? 0.125 x 4 ? ?0.0356 ? ? ?0.0833 x3 ? x 4 ? 0.1167 x5 ? ?0.0356 ? 0.087 x 4 ? x5 ? 0.1125 x6 ? ?0.0356 ? ? 0.2 x5 ? x6 ? ?0.0472 ?

试求沿反应器径向上各点转化率 解:1)将方程组化为矩阵形式
? 1.0 ? 0.333 ?0.05 ? 1.0 0.15 ? ? 0.075 ? 1.0 0.125 ? 0.0833 ? 1.0 ? ? 0.0875 ? ? ? ? ? x1 ? ? 0.0296 ? ? ? x ? ?? 0.0356 ? ?? 2 ?? ? ? ? x3 ? ?? 0.0356 ? ?? ?? ? ? ? x 4 ? ?? 0.0356 ? 0.1125 ? ? x5 ? ?? 0.0356 ? ?? ?? ? ? 1.0 ? ? x6 ? ?? 0.0472 ? ?? ?? ?

0.1167 ? 1.0 0.2

2)消元
w1 ? c1 / b1 ? ?0.333 g1 ? d1 / b1 ? 0.0296

w2 ? c2 /(b2 ? a1 w1 ) ? 0.15 /(?1 ? 0.05 ? 0.333) ? ?0.1525 g 2 ? (d 2 ? a1 g1 ) /(b2 ? a1 w1 ) ? (?1 ? 0.05 ? 0.0296 ) /(?1 ? 0.05 ? 0.333) ? 0.0377

消元结果为:
?1.0 ? 0.333 ?0 1.0 0.1256 ? ? 0 1.0 ? 0 ? ? ? ? ? ? ? x1 ? ?0.0296 ? ? ? x ? ?0.0377 ? ?? 2 ?? ? ? ? x3 ? ?0.0389 ? ?? ?? ? ? ? x 4 ? ?0.0392 ? ? 0.1137 ? ? x5 ? ?0.0394 ? ?? ?? ? 1.0 ? ? x6 ? ?0.0564 ? ?? ?? ?

? 0.1265 1.0 0 ? 0.1179 1.0 0

21

3)回代,得:
x6 ? 0.0564 , 5 ? 0.0548 , 4 ? 0.0477 , 3 ? 0.0445 , 2 ? 0.0445 , 1 ? 0.0444 x x x x x

(三)小结 1、分离工程的意义作用和分类 2、物料衡算 3、数学计算:插值法、迭代法、牛顿法 (四)作业

1-1


?


1.0588


0.0588







0.4667 ? 5.667 0.07527

?

?1 ? x ?? 1 ? x ? ? ? ? x ?

1-2 牛顿法解方程
ln ? 2.1 1 ? ? 0.073 ? ? ? 2.48 ln ?0.073 ? ?1 ? 0.073 ?Q ?? ? ?ln ?1 ? 0.073 ? ? ? 0.5 2.48 ? 1 ? ? Q ? ?

22


赞助商链接
更多相关文档:
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com