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扬州市江都市大桥中学2012-2013学年高一下学期期中考试数学试题


2012-2013 学年江苏省扬州市江都市大 桥中学高一(下)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题 1. 分) (4 (2012?广州二模)在平行四边形 ABCD 中,点 E 是 AD 的中点,BE 与 AC 相交 于点 F,若 ,则 的值为 ﹣2 .

考点: 向量的线性运算性质及几何意义. 专题: 计算题. 分析: BC 的中点 M,连接 DM,交 AC 于 N,由平行四边形 ABCD 中,点 E 是 AD 的中 取 点,BE 与 AC 相交于点 F,知 AF=FN=CN,故 = ﹣ ,由此能求出结果.

解答: 解:取 BC 的中点 M,连接 DM,交 AC 于 N, ∵平行四边形 ABCD 中,点 E 是 AD 的中点,BE 与 AC 相交于点 F, ∴AF=FN=CN, ∴ = ∵ ∴m= ,n=﹣ , =﹣ ﹣ + , ,





故答案为:﹣2.

点评: 本题考查向量的线性运算性质及其几何意义,是基础题.解题时要认真审题,仔细解 答,注意合理地进行等价转化.

1

2. 分)电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I=Asin(ωt+ (4 图象如图所示,则当 时,电流强度是 5 .

) (A>0,ω≠0)的

考点: y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 由 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由函数的最值求出 A,由周期求出 ω,即可求得函数的解析式,再把 t= 得所求. 解答: 解:由函数的图象可得 故函数 I=10sin(100πt+ ) ,当

代入,即

=

,解得 ω=100π,且 A=10, )=10sin =5,

时,电流强度是 I=10sin(2π+

故答案为 5. 点评: 本题主要考查由函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,由函数的最值求出 A, 由周期求出 ω,属于中档题.

3. 分)如果一弧度的圆心角所对的弦长为 2,那么这个圆心角所对的弧长是 (4



考点: 弧长公式. 专题: 计算题. 分析: 连接圆心与弦的中点,可得半弦长 AD=1,∠AOD= ,解得半径为

,代入弧长

公式求弧长即可. 解答: 解:连接圆心 O 与弦的中点 D, 则由题意可得 AD=1,∠AOB=1,∠AOD= , 在 RT△ AOD 中,半径 OA= = ,

2

由弧长公式可得所求弧长 l=1×

=

故答案为:

点评: 本题考查弧长公式,求解本题的关键是利用弦心距,弦长的一半,半径构成一个直角 三角形求半径,属基础题. 4. 分)某小组有三名女生,两名男生,现从这个小组中任意选出一名组长,其中女生当 (4 选为组长的概率是 .

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: 所有的选法有 5 种,而女生当选为组长的选法有 3 种,由此求得女生当选为组长的概 率. 解答: 解:所有的选法有 5 种,而女生当选为组长的选法有 3 种,故女生当选为组长的概率 等于 , .

故答案为

点评: 本题考查古典概型及其概率计算公式的应用,属于基础题.

5. 分) (4 (2012?信阳模拟)已知函数



值为



考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: 首先求出 f( )=﹣2,再求出 f(﹣2)的值即可. 解答: 解:∵ >0

3

∴f( )=log3 =﹣2 ∵﹣2<0 ∴f(﹣2)=2 = 故答案为 . 点评: 本题考查了对数的运算性质,以及分段函数求值问题,分段函数要注意定义域,属于 基础题.
﹣2

6. 分)若数列{an}是等差数列,对于 (4

,则数列{bn}也是等差

数列.类比上述性质,若数列{cn}是各项都为正数的等比数列,对于 dn>0,则 dn= 时,数列{dn}也是等比数列.

考点: 等差数列与等比数列的综合;类比推理. 专题: 计算题. 分析: 本题考查的知识点是类比推理,在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时,我们 一般的思路有:由加法类比推理为乘法,由减法类比推理为除法,由算术平均数类比 推理为几何平均数等,故我们可以由数列{an}是等差数列,则对于 ,则数列{bn}也是等差数列.类比上述性质,若数列{cn} 是各项均为正数的等比数列,则当 dn= 解答: 解:在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时, 我们一般的思路有: 由加法类比推理为乘法,由减法类比推理为除法, 由算术平均数类比推理为几何平均数等, 故我们可以由数列{cn}是等差数列,则对于 也是等差数列. 类比推断:若数列{cn}是各项均为正数的等比数列,则当 dn= {dn}也是等比数列. 故答案为: 点评: 类比推理的一般步骤是: (1)找出两类事物之间的相似性或一致性; (2)用一类事物 的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想) . 时,数列 ,则数列{bn} 时,数列{dn}也是等比数列.

7. 分) (4 已知空间四边形 OABC, M, 分别为 OA, 的中点, 点 N BC 且 用 , , 表示 ,则 = .

= , = , = ,

4

考点: 向量加减混合运算及其几何意义. 专题: 计算题. 分析: 作出图象,由向量的运算法则易得答案,其中 解答: 解:如图结合向量的运算法则可得: = = = 故答案为: = ﹣

是解决问题的关键.

点评: 本题考查向量的加减混合运算及几何意义,属基础题.

8. 分)中心在原点,准线方程为 (4

,离心率等于 的椭圆方程是



考点: 椭圆的标准方程. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设椭圆方程是 (a>b>0) ,根据准线方程和离心率等于 ,建立关于 a、c 的方程组,解之得 a=2 且 c=1,再用平方关系算出 b =3,从而得到该椭圆的方程. 解答: 解:设椭圆方程是 (a>b>0) ∵椭圆的准线方程为 ,且离心率等于
2



,解之得 a=2,c=1,从而 b =a ﹣c =3

2

2

2

5

因此,该椭圆的方程为

故答案为: 点评: 本题给出椭圆的准线方程和离心率的值,求椭圆的标准方程.着重考查了椭圆的标准 方程和简单几何性质等知识,属于基础题. 9. 分)函数 y=f(x)是定义在 a,b 上的增函数,其中 a,b∈R 且 0<b<﹣a,已知 y=f (4 2 2 (x)无零点,设函数 F(x)=f (x)+f (﹣x) ,则对于 F(x)有以下四个说法: ①定义域是[﹣b,b];②是偶函数;③最小值是 0;④在定义域内单调递增. 其中正确的有 ①② (填入你认为正确的所有序号) 考点: 函数的单调性及单调区间; 函数的定义域及其求法; 函数的值域; 函数奇偶性的判断. 专题: 阅读型. 分析: 根据题意,依次分析 4 个命题:对于①,根据 F(x)的解析式以及 f(x)的定义域, 可得 a≤x≤b,a≤﹣x≤b,又由 0<b<﹣a,可得 F(x)定义域,可得①正确;对于②, 先求出 F(﹣x) ,可得 F(﹣x)=F(x) ,再结合 F(x)的其定义域,可得 F(x)为 偶函数,②正确;对于③,举出反例,当 f(x)>1 时,可得 F(x)的最小值不是 0, 故③错误; 对于④,由于 F(x)是偶函数,结合偶函数的性质,可得④错误;综合可得答案. 解答: 解:根据题意,依次分析 4 个命题: 对于①,对于 F(x)=f (x)+f (﹣x) ,有 a≤x≤b,a≤﹣x≤b, 2 2 而又由 0<b<﹣a,则 F(x)=f (x)+f (﹣x)中,x 的取值范围是﹣b≤x≤b,即其 定义域是[﹣b,b],则①正确; 2 2 对于②,F(﹣x)=f (﹣x)+f (x)=F(x) ,且其定义域为[﹣b,b],关于原点对 称, 则 F(x)为偶函数,②正确; 对于③,由 y=f(x)无零点,假设 f(x)=2 ,F(x)=2 +2
x 2x
﹣2x

2

2

=2 +

2x

≥2,其最小

值为 2,故③错误; 对于④,由于 F(x)是偶函数,则 F(x)在[﹣b,0]上与[0,b]上的单调性相反,故 F(x)在其定义域内不会单调递增,④错误; 故答案为①②. 点评: 本题考查函数的性质,涉及函数的定义域、奇偶性、单调性、最值等性质,判断②时, 注意要结合函数 F(x)的定义域.

10. 分)若 =(2,1) =(﹣3,﹣4) (4 , ,则向量 在向量 方向上的正射影是 ﹣2 .

考点: 平面向量数量积的含义与物理意义. 专题: 平面向量及应用.

6

分析: 根据所给的两个向量的坐标,写出向量 在向量 方向上的射影的表示式,即 的模长 乘以两个向量夹角的余弦, 变化一下不用求两个向量夹角的余弦, 代入数据得到结果. 解答: 解:∵ =(2,1) =(﹣3,﹣4) , , | |cosθ= ? ? = (2,1)?(﹣3,﹣4)= ×(﹣10)=﹣2,

则向量 在向量 方向上的正射影是﹣2. 故答案为:﹣2. 点评: 本题考查向量的投影,是一个基础题,这种题目单独考查的机会不大,遇到的机会也 不多,希望引起注意. 11. 分) (4 (2010?山东)若对任意 x>0, ≤a 恒成立,则 a 的取值范围是 a≥ .

考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 计算题. 分析: 根据 x+ ≥2 代入 中求得 解答: 解:∵x>0, ∴x+ ≥2(当且仅当 x=1 时取等号) , ∴ = ≤ = ,即

的最大值为 进而 a 的范围可得.

的最大值为 ,

故答案为 a≥ 点评: 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用.属基础题.

12. 分) (4 (2013?虹口区一模)关于 z 的方程

(其中 i 是虚数单位) ,

则方程的解 z= 1﹣2i . 考点: 三阶矩阵. 专题: 计算题. 分析: 利用矩阵的意义,将方程化简,再利用复数的除法运算,即可得到结论. 解答: 解:由题意得, (1+i)z﹣ z(1﹣i)=2+i, ∴iz=2+i, ∴z= =1﹣2i.

7

故答案为:1﹣2i. 点评: 本题考查三阶矩阵的意义,考查复数的除法运算,属于中档题. 13. 分) (4 (2013?虹口区一模)在下面的程序框图中,输出的 y 是 x 的函数,记为 y=f(x) , 则 = ﹣

1 . 考点: 程序框图;反函数. 专题: 图表型. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用 是计算分段函数 y= 的函数值,根据反函数的意义,只须将 y= 代入后分

类讨论,即可求出对应的自变量 x 的值即为 解答: 解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序,可知: 该程序的作用是计算分段函数 y= ①当 x>2 时 由 y=x = , ∴x= ,不满足要求;
2



的函数值,

②当 x≤2 时 由 y=2 = , ∴x=﹣1,满足要求 则 =﹣1.
x

故答案为:﹣1. 点评: 本题主要考查了流程图及反函数的概念, 解答关键是得出这是一个计算并输出分段函 数函数值的程序,属于基础题. 14. 分) (4 (2012?湖南模拟)某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出 7 名学生参加数学 竞赛,他们取得的成绩(满分 100 分)的茎叶图如图 1,其中甲班学生的平均分是 85,乙班 学生成绩的中位数是 83,则 x+y 的值为 8 .

8

考点: 茎叶图. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 根据茎叶图分别写出两组数据,由平均数公式求出 x,83 是乙班 7 名学生成绩的中位 数,所以 83 应是 7 个成绩从小到大排列后的中间位置上的数,据此可求出 y. 解答: 解:由茎叶图可得甲班 7 名学生的成绩为:79,78,80,80+x,85,92,96; 乙班 7 名学生的成绩为:76,81,81,80+y,91,91,96; 由 ,得:x=5,

因为乙班共有 7 名学生,所以中位数应是 80+y=83,所以 y=3, 所以 x+y=8, 故答案为 8. 点评: 本题考查了茎叶图,求中位数和平均数的关键是根据定义仔细分析.另外茎叶图的茎 是高位,叶是低位,这一点一定要注意,此题是基础题. 二、解答题 15. (15 分)如图,三棱锥 P﹣ABC 中,平面 PAC⊥平面 BAC,AP=AB=AC=2, ∠BAC=∠PAC=120°. (I)求棱 PB 的长; (II)求二面角 P﹣AB﹣C 的大小.

考点: 二面角的平面角及求法;点、线、面间的距离计算. 专题: 计算题;证明题;空间角. 分析: (I)作 PO⊥AC,垂足为 O,连接 OB.根据△ POC≌△BOC 得到对应高线相等,即 PO=0B=PAsin60°= . 由面面垂直的性质定理, 证出 PO⊥平面 BAC, 可得 PO⊥OB, 从而得到 PB= PO= ; (II)如图,作 OD⊥AB 于 D,连接 OD,根据 PO⊥平面 BAC 结合三垂直线定理, 得到∠PDO 就是二面角 P﹣AB﹣O 的平面角,等于二面角 P﹣AB﹣C 的补
9

角.Rt△ BOD 中利用解三角形的知识,结合题中数据算出 tan∠PDO,从而得到二面 角 P﹣AB﹣C 的大小. 解答: (I)如图,作 PO⊥AC,垂足为 O,连接 OB 解: 由已知得△ POC≌△BOC,可得 BO⊥AC. ∵AP=AB=AC=2,∠BAC=∠PAC=120°. ∴PO=0B=PAsin60°= ∵平面 PAC⊥平面 BAC,平面 PAC∩平面 BAC=AC,PO⊥AC ∴PO⊥平面 BAC,结合 OB?平面 BAC,可得 PO⊥OB 由此可得 PB= PO= (II)如图,作 OD⊥AB 于 D,连接 OD, ∵PO⊥平面 BAC,可得 OD 是 PD 在平面 ABC 内的射影 ∴PD⊥AB, 得∠PDO 就是二面角 P﹣AB﹣O 的平面角, 等于二面角 P﹣AB﹣C 的补 角 ∵Rt△ BOD 中,OD=BOsin∠OBD=POsin30°= PO ∴tan∠PDO= =2,可得∠PDO=arctan2

由此可得二面角 P﹣AB﹣O 的平面角等于 arctan2, 即得二面角 P﹣AB﹣C 的大小为 π﹣arctan2.

点评: 本题给出顶角为 120°的两个等腰三角形有公共的腰且所在的平面相互垂直,求线段 PB 之长并求二面角的大小,着重考查了面面垂直、线面垂直的判定与性质、利用三 垂线定理作二面的平面角和解直角三角形等知识,属于中档题. 16. 15 分) ( 如图, P﹣ABCD 是正四棱锥, ABCD﹣A1B1C1D1 是正方体, 其中 AB=2, PA= (1)求证:PA⊥B1D1; (2)求平面 PAD 与平面 BDD1B1 所成锐二面角的余弦值. .

10

考点: 用空间向量求直线与平面的夹角;向量语言表述线线的垂直、平行关系. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 如图,以 D1 为原点,D1A1 所在直线为 x 轴,D1C1 所在直线为 y 轴,D1D 所在直线 为 z 轴建立空间直角坐标系,给出图中各点的坐标, (1)先计算出 , 的坐标,验证其内积为 0 即可得出 PA⊥B1D1; =(﹣2,2,0) .故再求出平面 PAD 的法向量 ,

(2)平面 BDD1B1 的法向量为

设所求锐二面角为 θ,由公式 cosθ= 解答: 解:以 D1 为原点,D1A1 所在直线为 x 轴,D1C1 所在直线为 y 轴,D1D 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系, 则 D1(0,0,0) 1(2,0,0) 1(2,2,0) 1(0,2,0) ,A ,B ,C , D(0,0,2) ,A(2,0,2) ,B(2,2,2) ,C(0,2,2) , P(1,1,4) . (1)证明:∵ ∴ ? =(﹣1,1,2) , =(2,2,0) ,

=﹣2+2+0=0,

∴PA⊥B1D1. (2)平面 BDD1B1 的法向量为 =(﹣2,2,0) . =(2,0,0) , . =(1,1,2) .

设平面 PAD 的法向量为 =(x,y,z) ,则 ⊥ ∴ ∴

, ⊥

.取 =(0,﹣2,1) ,

设所求锐二面角为 θ,则 cosθ= = = .

11

点评: 本题考查用空间向量求直线与平面的夹角以及用空间向量证明面面垂直, 正确解题的 前提是理解向量内积与两直线位置的对应关系及两平面法向量的夹角的余弦的绝对 值即两平面夹角的余弦值,了解知识之间的衔接点,是正确转化的关键.

17. (16 分)矩阵与变换.已知矩阵 是 ,求矩阵 A 与其逆矩阵.

,A 的一个特征值 λ=2,属于 λ 的特征向量

坐标系与参数方程已知直线 l 的极坐标方程是 ρcosθ+ρsinθ﹣1=0.以极点为平面直角坐标系 的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,在曲线 上求一点,使它到直线 l 的距离最小,并求出该点坐标 和最小距离. 考点: 特征值与特征向量的计算;逆变换与逆矩阵;点的极坐标和直角坐标的互化;参数方 程化成普通方程. 专题: 计算题. 分析: A:根据特征值的定义可知 Aα=λα,利用待定系数法建立等式关系,从而可求矩阵 A, 再利用公式求逆矩阵. B:将直线的参数方程化为普通方程,曲线 C 任意点 P 的坐标为(﹣1+cosθ,sinθ) , 利用点到直线的距离公式 P 到直线的距离 d,分子合并后利用两角和与差的正弦函数 公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数,与分母约分化简后,根据正弦函 数的值域可得正弦函数的最小值,进而得到距离 d 的最小值,并求出此时 θ 的度数, 即可确定出所求点 P 的坐标. 解答: 解:A:由题意知 , 得 解得 ∴A= , , ,

12

∴A =

﹣1



B:将直线 l 化为普通方程得:x+y﹣1=0, 设所求的点为 P(﹣1+cosθ,sinθ) , 则 P 到直线 l 的距离 d= 当 θ+ = ,即 θ= 时,sin(θ+ , ) . =|sin(θ+ )=1,d 取得最小值 )﹣ ﹣1, |,

此时点 P 的坐标为(﹣1+

点评: A:本题主要考查了二阶矩阵,以及特征值与特征向量的计算,同时考查了逆矩阵求 解公式,属于基础题. B:此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有直线与圆的参数方程与普通方程 的互化,点到直线的距离公式,两角和与差的正弦函数公式,正弦函数的定义域与值 域,以及特殊角的三角函数值,根据曲线 C 的参数方程设出所求 P 的坐标,根据点到 直线的距离公式表示出 d,进而利用三角函数来解决问题是解本题的思路. 18. (16 分)△ ABC 中, ,A 是锐角,求 tan2A 的值.

考点: 二倍角的正切. 专题: 解三角形. 分析: 已知等式左边分解因式后,利用两数相乘积为 0,得到两因式中至少有一个为 0 求出 sinA 的值,由 A 为锐角,利用同角三角函数间的基本关系求出 cosA 的值,进而求出 tanA 的值,再利用二倍角的正切函数公式即可求出 tan2A 的值. 解答: 解:由条件,得( sinA﹣1) (sinA﹣2)=0, ∵sinA≠2,∴ ∵A 是锐角, ∴cosA= ∴tanA= = , = . = , sinA﹣1=0,即 sinA= ,

则 tan2A=

点评: 此题考查了二倍角的正切函数公式,同角三角函数间的基本关系,熟练掌握公式是解 本题的关键. 19. (16 分) (2010?邯郸二模)已知向量 ,函数

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(Ⅰ)求 f(x)的单调增区间; (Ⅱ)若 x∈[0,π]时,f(x)的最大值为 4,求 k 的值. 考点: 平面向量数量积坐标表示的应用;复合三角函数的单调性. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 直接利用向量的数量积求出函数的表达式, 通过二倍角公式与两角和的正弦函数化简 函数的表达式, (Ⅰ)利用正弦函数的单调增区间,求出函数的单调增区间即可. (Ⅱ) 结合 x 的范围, 求出 2x+ 解答: 解:由 =2cos x+2 (Ⅰ)令 2kπ﹣ ≤2x+
2

的范围, 然后利用函数的最大值, 求出 k 的值即可. ,

sinxcosx=1+cos2x+ 得 kπ﹣ ,kπ+ ],

sin2x+k=2sin(2x+ ,k∈Z,

)+1+k.

≤2kπ+

≤x≤kπ+

从而可得函数的单调增区间为[kπ﹣ (Ⅱ)由 x∈[0,π],2x+ 故 sin(2x+ ∈[ ,

],k∈Z.

)∈[﹣1,1],

f(x)的最大值为 4,所以 1+1+k=4, 所以 k=2. 点评: 本题考查向量的数量积,二倍角公式两角和的正弦函数,三角函数的基本性质,考查 计算能力.
2

20. (16 分)已知抛物线 C:x =2py(p>0)上一点 A(a,4)到其准线的距离为



(Ⅰ)求 p 与 a 的值; (Ⅱ)设抛物线 C 上动点 P 的横坐标为 t(0<t<2) ,过点 P 的直线交 C 于另一点 Q,交 x 轴于 M 点(直线 PQ 的斜率记作 k) .过点 Q 作 PQ 的垂线交 C 于另一点 N.若 MN 恰好是 2 2 C 的切线,问 k +tk﹣2t 是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.

14

考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (I)利用抛物线的定义和点在抛物线上满足的条件即可得出; 2 2 (II)由题意可知:过点 P(t,t )的直线 PQ 的斜率 k 不为 0,则直线 PQ:y﹣t =k (x﹣t) ,即可求出点 M 的坐标,把直线 PQ 的方程与抛物线的方程联立即可得出点 Q 的坐标.由 QN⊥QP,即可得出直线 QN 的方程,与抛物线方程联立即可得出点 N 的坐标,利用导数和斜率的计算公式即可得出直线 MN 两种形式的斜率,化简即可证 明结论. 解答: 解: (I)可得抛物线的准线方程为 ,由题意可得 ,解得 . ∴抛物线的方程为 x =y.把点 A(a,4)代人此方程得 a =4,解得 a=±2. ∴a=±2, .
2 2 2 2

(II)由题意可知:过点 P(t,t )的直线 PQ 的斜率 k 不为 0,则直线 PQ:y﹣t =k (x﹣t) , 当 y=0 时, 联立 ,∴M .

消去 y 得(x﹣t)[x﹣(k﹣t)]=0,
2

解得 x=t,或 x=k﹣t.∴Q(k﹣t, (k﹣t) ) , ∵QN⊥QP,∴ ,∴直线 NQ: ,

联立

,消去 y 化为

,解得 x=k﹣t,或



15

∴N

,∴抛物线在点 N 处的切线的斜率为 = ,

另一方面 kMN=









,∴

,化为 k +tk﹣2t =﹣1 为定值.

2

2

点评: 熟练掌握抛物线的定义及其性质、 直线与抛物线相交问题转化为方程联立即可得到交 点的坐标、导数的几何意义与切线的斜率关系、斜率的计算公式设解题的关键.

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