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重庆市第一中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学(文)试题


秘密★启用前

2015 年重庆一中高 2016 级高二下期期末考试

数 学 试 题 卷(文科)

2015.7

数学试题共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。

一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.下列函数是奇函数的是( A. ). C. f ( x) ? 2 x ? 2? x D. f ( x) ? x3 ?1 ) D.

f ( x) ? x x

B. f ( x) ? lg x

2.已知 a, b ? R , i 是虚数单位,若 (a ? i )(1 ? i) ? bi ,则 a ? bi ? ( A.

? 1 ? 2i

B.

1 ? 2i

C.

1 ? 2i
2

1? i

3.已知命题 p : ?x0 ? R,sin x0 ? 2 ;命题 q : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 .则下列结论正确的是 ( ) A.命题 p ? q 是假命题 C.命题 (?p) ? (?q) 是真命题 4.已知 ? ? ? 0, B. 命题 p ? q 是真命题 D.命题 (?p) ? (?q) 是真命题 ) D. ? 1 ? ) D.0 ) D. ?? 1,1?

? 3 ? ?? , 则 cos( ? ? ) 等于( ?, cos? ? 6 3 ? 2? 1 6 6 1 6 A. ? B. 1 ? C. ? ? 2 6 6 2 6
A.-2 A. ?0,??? B. 4 B. ?? 1, ,0) ? (0,??? C. -1

6 6

5.设 x ? R ? , 向量 a ? (1,1), b ? ( x,?2), 且 a ? b ? 10, 则 a ? b ? ( 6.函数 y ? ln ax2 ? 2 x ? 1 的值域为 R ,则实数 a 的取值范围是( C. ?? ?,?1?

7.已知函数 f ( x) ? ?

?sin x, sin x ? cos x ,则下列结论正确的是( ?cos x, sin x ? cos x ? ?? A. f ( x) 是奇函数 B. f ( x) 在 ?0, ? 上递增 ? 2? C. f ( x) 是周期函数 D. f ( x) 的值域为 ? ?1,1?

)

8.在 ?ABC 中,若 AB ? AC ? AB ? AC , AB ? 2, AC ? 1, E, F 为 BC 边的三等分点,则

AE ? AF =( 8 A. 9

) B.

10 9

C.

25 9


D.

26 9

9.函数 f ( x) ? 1 ? 2 cos(2 x ?

?
3

) 的单调增区间为(
B. ?k? ?

A. ?k? ?

? ?

?
6

, k? ?

2? ? (k ? Z ) 3 ? ?

? ?

?

? , k? ? (k ? Z ) 3 ?

C. ?k? ? 10.曲线 y ?

? ?

?
6

, k? ?

??

(k ? Z ) 3? ?

D. ?k? ?

? ?

?
3

, k? ?

2? ? (k ? Z ) 3 ? ?


sin x 1 ? ? 在点 M ( ,0) 处的切线斜率为( 4 sin x ? cos x 2

A.

2 2

B.

?

2 2

C.

1 2

D. ?

1 2

11.若定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足: 对任意的 x1 ? x2 ,都有 x1 f ( x1 ) + x2 f ( x2 ) > x1 f ( x2 ) + x2 f ( x1 ) ,则称函数 f ( x ) 为“Z 函数”. 给出下列函数: ① f ( x) ? ? x 3 ? x ? 1 ; ② f ( x) ? 3x ? 2(sin x ? cos x) ;
? ?ln x , x ? 0, ③ f ( x ) ? e x ? 1 ;④ f ( x) ? ? 其中函数 f ( x ) 是“Z 函数”的个数是( x ? 0, ? ?0,

)

A.1

B.2

C.3

D.4

12.已知点 A(0,1) ,曲线 C : y ? a ln x 恒过定点 B , P 为曲线 C 上的动点且 AP ? AB 的最小 值为 2 ,则 a ? ( A. ?2 ) B.-1 C.2 D.1

二、 填空题: (本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 把答案填在题中横线上.) 10? ? _____________ 13. cos 3 1 1 14.函数 f ( x ) ? 在区间 ?a, b? 的最大值为 1,最小值为 ,则 a ? b ? _________ x ?1 3

15.小王在做一道数学题目时发现:若复数 z1 ? cos ?1 ? i sin?1 , z2 ? cos ?2 ? i sin?2 ,

z3 ? cos ?3 ? i sin?3 ( 其 中 ?1 , ?2 , ? ? R), 则 z1 ? z2 ? cos(?1 ? ?2 ) ? i sin(?1 +?2 ) , 3
z2 ? z3 ? cos(?2 ? ?3 ) ? i sin(?2 +?3 )
z1· z2· z3= . , 根 据 上 面 的 结 论 , 可 以 提 出 猜 想 :

16.已知 G 点为△ABC 的重心,且 AG ? BG , 若

????

??? ?

A

1 1 2? ? ? ,则实数 ? 的值为 tan A tan B tan C

.
B

D

G C

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤.)
17.(本小题满分 10 分)已知 p : x 2 ? 8x ? 20 ? 0; (Ⅰ)若 p 是 q 的必要条件,求 m 的取值范围; (Ⅱ)若 ?p 是 ?q 的必要不充分条件,求 m 的取值范围.

q :1 ? m2 ? x ? 1 ? m2 .

18.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,满足:

c ? cos B sin C ?

? 3a ? c sin B?cosC ? 0 .

(Ⅰ) 求 C 的大小; (Ⅱ)若 c ? 3 , 求 a ? b 的最大值,并求取得最大值时角 A,B 的值. 19.本小题满分 12 分)学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中, 发现其在 40 分钟的一节课中,注意力指数 y 与听课时间 x (单位:分钟)之间的关系满足如 图所示的图像, 当 x ? ? 0,12? 时, 图像是二次函数图像的一部分, 其中顶点 A(10,80) ,过点 B (12, 78) ;当 x ? ?12,40 ? 时,图像是 线段 BC ,其中 C (40,50) ,根据专家研究,当注意力指数大于 62 时,学习效果最佳. (Ⅰ)试求 y ? f ? x ? 的函数关系式; (Ⅱ)教师在什么时段内安排内核心内容,能使得学生学习效果 最佳?请说明理由. 20.(本题满分 12 分)

某同学用“五点法”画函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? B( A ? 0, ? ? 0,| ? |? 内的图象 时,列表并填入的部分数据如下表:

?
2

) 在某一个周期

x
?x ??
A sin(? x ? ? ) ? B

x1
0 0

1 3 ? 2
3

x2

?
0

7 3 3? 2
? 3

x3
2?
0

(Ⅰ)请求出上表中的 x1 , x2 , x3 ,并直接写出函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)将 f ( x) 的图象沿 x 轴向右平移

2 个单位得到函数 g ( x) ,若函数 g ( x) 在 x ? [0, m] 3 (其中 m ? (2, 4) )上的值域为 [? 3, 3] ,且此时其图象的最高点和最低点分别为 P, Q , ???? ??? ? 求 OQ 与 QP 夹角 ? 的大小.

21.(本题满分 12 分)定义在 R 上的奇函数 f ( x) 有最小正周期 4,且 x ? ? 0, 2 ? 时, f ( x ) ? (Ⅰ)求 f ( x) 在 ? ?2, 2? 上的解析式; (Ⅱ)判断 f ( x) 在 ? 0, 2 ? 上的单调性,并给予证明; (Ⅲ)当 ? 为何值时,关于方程 f ( x) ? ? 在 ? ?2, 2? 上有实数解?

3x . 9x ? 1

22.(本题满分 12 分)设函数 f ( x) ? ln x ? (Ⅰ)当 a ? b ?

1 2 ax ? bx . 2

1 时,求函数 f ( x) f(x)的单调区间; 2 1 2 a (Ⅱ)令 F ( x) ? f ( x) ? ax ? bx ? (0 ? x ? 3) ,其图象上任意一点 P( x0 , y0 ) 处切线的 2 x 1 斜率 k ? 恒成立,求实数 a 的取值范围; 2 2 (Ⅲ)当 a ? 0, b ? ?1 时,方程 f ( x) ? m x在区间 1, e 内有唯一实数解,求实数 m 的取值范围.

? ?

命题人:杨春权

审题人:黄 艳


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