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高一数学 函数奇偶性知识点归纳25


函数奇偶性知识点归纳考点分析配经典案例分析 函数的奇偶性定义: 1.偶函数:一般地,对于函数 f ( x) 的定义域内的任意一个 x ,都有 f (? x) ? f ( x) ,那么 f ( x) 就 叫做偶函数. 2.奇函数:一般地,对于函数 f ( x) 的定义域的任意一个 x ,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,那么 f ( x) 就 叫做奇函数. 二、函数的奇偶性的几个性质 1、对称性:奇(偶)函数的定义域关于原点对称; 2、整体性:奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个 x 都必须成立; 3、可逆性: f (? x) ? f ( x) ? f ( x ) 是偶函数; f (? x) ? ? f ( x) ? f ( x ) 奇函数; 4、等价性: f (? x) ? f ( x) ? f (? x) ? f ( x) ? 0 ? f (| x |) ? f ( x) ; f ( ? x) ? ? f ( x) ? f ( ? x) ? f ( x) ? 0 ; 5、奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于 y 轴对称; 6、可分性:根据函数奇偶性可将函数分类为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇 非偶函数。 7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。 8、如果一个奇函数 f(x)在 x=0 处有意义,则这个函数在 x=0 处的函数值一定为 0。并且关于原点对 称。 三、关于奇偶函数的图像特征 一般地: 奇函数的图像关于原点对称,反过来,如果一个函数的图像关于原点对称,那么这个函数是奇函数; 即:f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称 点(x,y)→(-x,-y) 偶函数的图像关于 y 轴对称,反过来,如果一个函数的图像关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数。 即: f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于 Y 轴对称 点(x,y)→(-x,y) 奇函数对称区间上的单调性相同(例:奇函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上也是单 -1- 调递增。 ) 偶函数对称区间上的单调性相反(例:偶函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上单调递 减) 。 2.函数奇偶性与单调性(最值)之间的关系 (1)若奇函数 f(x)在[a,b]上是增函数,且有最大值 M,则 f(x)在[-b,-a]上是增函数,且有最 小值-M. (2)若偶函数 f(x)在(-∞,0)上是减函数,则 f(x)在(0,+∞)上是增函数. 五、关于函数奇偶性的简单应用 1、函数的对称性 如果函数 f(x)满足 f(a+x)=f(a-x)或 f(x)=f(2a-x), 则函数 f(x)的图象关于直线? ______ 对称. 一般的,若 f(a+x)=f(b-x),则函数 f(x)的对称轴方程是? ______. 两个函数 y ? f ( x ? a) 与 y ? f (b ? x) 的图象关于直线 x ? 2、函数的周期性 函数的周期性的定义:设函数 y=f(x),x∈D,若存在非零常数 T,使得对任意的 x∈D 都有? ________,则函数 a?b 对称. 2 f(x)为周期函数,T 为 y=f(x)的一个周期. (1)周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值时,都 有 f(x+T)=f(x),那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫 做 f(

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