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2.3直线、平面垂直的判定及其性质_图文

2.3 直线、 直线、平面垂直的 判定及其性质 主要内容 2.3.1 直线与平面垂直的判定 2.3.2 平面与平面垂直的判定 2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质 2.3.1 直线与平面垂直的 判定 复习1 复习1 直线和平面的位置关系 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行 观察 旗杆与地面的位置关系 大桥的桥柱与水面的位置关系 线面垂直 直线和平面垂直 思考1 思考 旗杆与地面中的直线的位置关系如何? 旗杆与地面中的直线的位置关系如何? 思考2 思考2 将一本书打开直立在桌面上, 将一本书打开直立在桌面上, 观察书脊 想象成一条直线) (想象成一条直线)与桌面的位置关系呈什么 状态?此时书脊与每页书和桌面的交线的位置 状态? 关系如何? 关系如何? 思考3 思考3 一条直线与一平面垂直的特征是什么? 一条直线与一平面垂直的特征是什么? 特征:直线垂直于平面内的任意一条直线. 特征:直线垂直于平面内的任意一条直线. A α C′ C B′ B 直线和平面垂直 定义 如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都 垂直,我们说直线 l 与平面α 互相垂直. 记为l ⊥ α 平面 α的垂线 垂足 l P 直线 l 的垂面 α 平面内任意一 条直线 思考4 思考4 如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线, 那么这条直线是否与这个平面垂直? l α 探究 如图,准备一块三角形的纸片,做一个试验: A A D C B D C α B 过?ABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后 的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC于桌面接触). (1)折痕AD与桌面垂直吗? (2)如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面α垂直. A A D C B D C α B 边上的高时, 当且仅当折痕AD 是BC 边上的高时,AD 所在 直线与桌面所在平面α垂直 垂直. 直线与桌面所在平面 垂直. 思考5 思考 (1)有人说,折痕AD所在直线与桌面所在平面α 上的一条直线垂直,就可以判断AD 垂直平面α ,你 同意他的说法吗? (2)如图,由折痕 AD ⊥ BC ,翻折之后垂直关系 不变, AD ⊥ CD , AD ⊥ BD .由此你能得到什么结 论? A A D C B D C α B 线面垂直的判定 一条直线与一个平面内的两条 判定定理 一条直线与一个平面内的两条 直线都垂直, 相交直线都垂直 则该直线与此平面垂直. 相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直. l⊥a l ⊥b a ?α b ?α aIb = A ? ? ? ?? l ⊥ α ? ? ? l b α A a 作用: 作用: 判定直线与平面垂直. 判定直线与平面垂直. 思想: 思想: 直线与平面垂直 直线与直线垂直 例1. 如图,已知 a // b, a ⊥ α,求证 b ⊥ α . a 证明:在平面 α 内作 两条相交直线m,n. 因为直线 a ⊥ α , b n 根据直线与平面垂直的定义知 a ⊥ m, a ⊥ n. 又因为 b // a 所以 b ⊥ m, b ⊥ n. α m 又 m ? α , n ? α , m, n 是两条相交直线, 所以 b ⊥ α . 例2 已知:正方体中,AC是面对角线,BD'是 与AC 异面的体对角线. 求证:AC⊥BD' D′ A′ D A B B′ C′ C 证明: 证明:连接BD 因为正方体ABCD-A'B'C'D' 因为正方体 所以DD‘⊥平面ABCD ⊥ 又因为 AC ? 平面ABCD AC ⊥ DD ' 所以 AC、 因为AC、BD 为对角线 所以AC⊥BD 因为DD'∩BD=D 所以AC⊥平面D'DB 所以AC⊥BD' D′ C′ B′ A′ D A B C 例3 在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC, AB⊥BC,PA=AB,D为PB的中点,求证:AD⊥PC. P D A B C 探究 如图,直四棱柱 A′B′C ′D′ ? ABCD (侧棱与底面垂 直的棱柱称为直棱柱)中,底面四边形 ABCD 满足 什么条件时,A′C ⊥ B′D′ ? A′ D′ B′ C′ A D B C 答:底面四边形ABCD对角线相互垂直. 底面四边形ABCD对角线相互垂直. ABCD对角线相互垂直 小结 直线与平面垂直的判定定理可简述为 “线线垂直,则线面垂直” 思想方法 通过直线间的垂直,推证直线与平面垂 直,即将直线与平面的垂直关系(空间问题) 转化为直线间的垂直关系(平面问题). 问题提出 前面讨论了直线与平面垂直的问题,那么直 线与平面不垂直时情况怎么样呢? 第2课时 课时 直线与平面所成的角 线面角相关概念 平面的斜线 平面的垂线 P 斜足A l α A B 垂足B 斜线PA在平面内的射影 斜线PA与平面α所成的角为∠PAB 1.斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的 1.斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的 射影所成的角 (0,90 0 ) 2.平面的垂线与平面所成的角为直角 2.平面的垂线与平面所成的角为直角 一条直线与平面平行或在平面内, 3. 一条直线与平面平行或在平面内,则这 条直线与平面所成的角的0 条直线与平面所成的角的00角 一条直线与平面所成的角的取值范围是 [0,900 ] 例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中. (1)求直线A1B和平面ABCD所成的角; (2)求直线A1B和平面A1B1CD所成的角. D1 A1 B1 O D A B C C1 例2 如图,AB为平面α的一条斜线,B为斜足, AO⊥平面α,垂足为O,直线BC在平面α内,已知 ∠ABC=60°,∠OBC=45°,求斜线AB和平面α所 成的角. A B D O C

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