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2-8高中数学核动力


第2章

第8节

1.二次函数 y=ax2+bx+c 中 a· c<0,则函数的零点个数是( A.1 个 C.0 个 B.2 个 D.无法确定

)

【解析】 求函数的零点个数即求与 x 轴交点的个数,利用 Δ=b2-4ac 判断.∵a· c< 0,∴Δ>0, ∴有两个交点即有两个零点. 【答案】 B 2. (2012· 东北三校联考)已知函数 f(x)=xex-ax-1, 则关于 f(x)零点叙述正确的是( A.当 a=0 时,函数 f(x)有两个零点 B.函数 f(x)必有一个零点是正数 C.当 a<0 时,函数 f(x)有两个零点 D.当 a>0 时,函数 f(x)只有一个零点 1 f(x)=0?ex=a+ . x )

【解析】

1 在同一坐标系中作出 y=ex 与 y= 的图象, x 可观察出 A、C、D 项错误,选项 B 正确. 【答案】 B 3.若函数 f(x)在(1,2)内有一个零点,要使零点的近似值满足 精确度为 0.01,则对区间(1,2)至少二等分( A.5 次 C.7 次 ) B.6 次 D.8 次

【解析】 设对区间(1,2)至少二等分 n 次,此时区间长为 1,第 1 次二等分后区间长为 1 1 1 ,第 2 次二等分后区间长为 2,第 3 次二等分后区间长为 3,…,第 n 次二等分后区间长 2 2 2 1 1 为 n.依题意得 n<0.01,∴n>log2100.由于 6<log2100<7,∴n≥7,即 n=7 为所求. 2 2 【答案】 C 4.若函数 f(x)=ax-x-a(a>0,且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围为________. 【解析】 函数 f(x)=ax-x-a(a>0 且 a≠1)有两个零点, 即方程 ax-x-a=0 有两个根, 即函数 y=ax 与函数 y=x+a 的图象有两个交点.

当 0<a<1 时,图象如图(1)所示,此时只有一个交点. 当 a>1 时,图象如图(2)所示,此时有两个交点. ∴实数 a 的取值范围为(1,+∞). 【答案】 (1,+∞)

5. 若函数 f(x)=ax+b(a≠0)有一个零点是 2, 那么函数 g(x)=bx2-ax 的零点是________. 【解析】 由已知条件 2a+b=0,即 b=-2a, 1 g(x)=-2ax2-ax=-2ax?x+2? ? ? 1 则 g(x)的零点是 x=0,x=- . 2 1 【答案】 0,- 2 课时作业 【考点排查表】 考查考点及 角度 函数零点的 判定 二分法 函数零点的 综合应用 一、选择题 1.设 f(x)=x3+bx+c 是[-1,1]上的增函数,且 1 1 f(- )· )<0,则方程 f(x)=0 在[-1,1]内( f( 2 2 A.可能有 3 个实数根 C.有唯一的实数根 ) B.可能有 2 个实数根 D.没有实数根 4 7,10 12 1,2 3 5,6,9 8 11,13 基础 难度及题号 中档 稍难 错题记录

1 1 1 1 【解析】 由 f(x)在[-1,1]上是增函数且 f(- )· )<0,知 f(x)在[- , ]上有唯一实数 f( 2 2 2 2 根,所以方程 f(x)=0 在[-1,1]上有唯一实数根. 【答案】 C 2.(2013· 烟台模拟)如图是函数 f(x)=x2+ax+b 的图象,则函数 g(x)=ln x+f′(x)的零

点所在区间是(

)

1 1 A.?4,2? ? ? 1 C.?2,1? ? ?

B.(1,2) D.(2,3)

【解析】 由 f(x)的图象知 0<b<1,f(1)=0,从而-2<a<-1,g(x)=ln x+2x+a,g(x) 1 1 1 在定义域内单调递增,g?2?=ln +1+a<0,g(1)=2+a>0,g?2?·(1)<0,故选 C. ? ? ? ?g 2 【答案】 C 3.若函数 f(x)的零点与 g(x)=4x+2x-2 的零点之差的绝对值不超过 0.25,则 f(x)可以 是( ) A.f(x)=4x-1 C.f(x)=ex-1 B.f(x)=(x-1)2 1 D.f(x)=ln(x- ) 2

【解析】 ∵4 个选项中的零点是确定的. 1 3 A:x= ,B:x=1;C:x=0;D:x= . 4 2 又∵g(0)=40+2×0-2=-1<0, 1 1 1 g( )=4 +2× -2=1>0, 2 2 2 1 ∴g(x)=4x+2x-2 的零点介于(0, )之间.从而选 A. 2 【答案】 A 4.若函数 f(x)=2ax2-x-1 在(0,1)内恰有一个零点,则 a 的取值范围是( A.(-1,1) C.(1,+∞) B.[1,+∞) D.(2,+∞) )

【解析】 当 a=0 时,函数的零点是 x=-1;当 a≠0 时,若 Δ>0,f(0)· f(1)<0,则 a 1 >1;若 Δ=0,即 a=- ,函数的零点是 x=-2,故选 C. 8 【答案】 C 5.(2012· 湖北高考)函数 f(x)=xcos 2x 在区间[0,2π]上的零点个数为( A.2 C.4 B.3 D.5 )

【解析】 由 f(x)=xcos 2x=0,得 x=0 或 cos 2x=0;其中,由 cos 2x=0,得 2x=kπ

π kπ π + (k∈Z),故 x= + (k∈Z). 2 2 4 π 3π 5π 7π 又因为 x∈[0,2π],所以 x= , , , ,所以零点的个数为 1+4=5 个.故选 D. 4 4 4 4 【答案】 D
1 1 6.(2012· 北京高考)函数 f(x)=x2-?2?x 的零点个数为( ? ?

)

A.0 C.2

B.1 D.3

1 1 1 1 【解析】 f(x)=x2-?2?x 的零点,即令 f(x)=0,根据此题可得 x2=?2?x,在平面直角坐 ? ? ? ? 1 1 标系中分别画出幂函数 y=x2和指数函数 y=?2?x 的图象, 可得交点只有一个, 所以零点只有 ? ?

一个,故选 B. 【答案】 B 二、填空题 7.已知函数 f(x)=x|x-4|-5,则当方程 f(x)=a 有三个根时,实数 a 的取值范围是 ________. 【解析】
? 2 ?x -4x-5,x≥4 f(x)=x|x-4|-5=? 2 ,在平面直角坐标系中画出该函数的 ? ?-x +4x-5,x<4

图象,可得当直线 y=a 与该函数的图象有三个交点时,a 的取值范围是-5<a<-1. 【答案】 -5<a<-1 8.(2013· 济南模拟)若函数 f(x)=x3+x2-2x-2 的一个正数零点附近的函数值用二分法 计算,其参考数值如下: f(1)=-2 f(1.375)=- 0.260 f(1.5)=0.625 f(1.437 5) = 0.162 f(1.25)=-0.984 f(1.406 25) =- 0.0054

那么方程 x3+x2-2x-2=0 的一个近似根(精确度 0.1)为________. 【解析】 通过参考数据可以得到: f(1.375)=-0.260<0,f(1.437 5)=0.162>0,且 1.4375-1.375=0.062 5<0.1, 所以,方程 x3+x2-2x-2=0 的一个近似根为 1.437 5. 【答案】 1.437 5 9.若函数 f(x)=x2+ax+b 的两个零点是-2 和 3,则不等式 af(-2x)>0 的解集是 ________ 【解析】 ∵f(x)=x2+ax+b 的两个零点是-2,3. ∴-2,3 是方程 x2+ax+b=0 的两根,

?-2+3=-a ?a=-1 ? ? 由根与系数的关系知? ,∴? , ? ? ?-2×3=b ?b=-6

∴f(x)=x2-x-6. ∵不等式 af(-2x)>0, 即-(4x2+2x-6)>0?2x2+x-3<0,
? ? 3 解集为?x?-2<x<1 ?. ? ? ? ? ? 3 【答案】 ?x?-2<x<1 ? ? ? ?

三、解答题 10.函数 f(x)=x3-3x+2. (1)求 f(x)的零点; (2)求分别满足 f(x)<0,f(x)=0,f(x)>0 的 x 的取值范围. 【解】 f(x)=x3-3x+2=x(x-1)(x+1)-2(x-1)=(x-1)(x2+x-2)=(x-1)2(x+2). (1)令 f(x)=0,函数 f(x)的零点为 x=1 或 x=-2. (2)令 f(x)<0,得 x<-2; 所以满足 f(x)<0 的 x 的取值范围是(-∞,-2); 满足 f(x)=0 的 x 的取值集合是{1,-2}; 令 f(x)>0,得-2<x<1 或 x>1,满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是(-2,1)∪(1,+∞). 11.若关于 x 的方程 3x2-5x+a=0 的一个根在(-2,0)内,另一个根在(1,3)内,求 a 的 取值范围. 【解】 设 f(x)=3x2-5x+a, 则 f(x)为开口向上的抛物线(如图所示). ∵f(x)=0 的两根分别在区间(-2,0),(1,3)内,

?f?-2?>0, ?f?0?<0, ∴? f?1?<0, ?f?3?>0, ?

?3×?-2? -5×?-2?+a>0, ?a<0, 即? 3-5+a<0, ?3×9-5×3+a>0, ?
∴所求 a 的取值范围是(-12,0).

2

解得-12<a<0.

12.已知函数 f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),满足 f(1)=0. (1)若函数 f(x)有两个不同的零点,求 b 的取值范围; 1 (2)若对 x1,x2∈R,且 x1<x2,f(x1)≠f(x2),方程 f(x)= [f(x1)+f(x2)]有两个不相等的实根, 2 证明必有一实根属于(x1,x2). 【解】 (1)由题意知:b+c+1=0,即 c=-(1+b), ∴f(x)=x2+bx-(1+b), 若 f(x)有两个零点, 则 f(x)=0 有两个不相等的实根, ∴b2+4(1+b)=(b+2)2>0,∴b≠-2. 即 b 的取值范围是{b|b∈R 且 b≠-2}. 1 (2)证明:设 g(x)=f(x)- [f(x1)+f(x2)] 2 1 则 g(x1)= [f(x1)-f(x2)], 2 1 g(x2)=- [f(x1)-f(x2)], 2 1 ∴g(x1)· 2)=- [f(x1)-f(x2)]2, g(x 4 ∵f(x1)≠f(x2),∴g(x1)· 2)<0, g(x ∴g(x)必有一根属于(x1,x2), 1 即方程 f(x)= [f(x1)+f(x2)]必有一实根属于(x1,x2). 2 四、选做题 1 ? ? 13.(2013· 菏泽模拟)若 A={a,0,-1},B=?c+b,b+a,1?,且 A=B,f(x)=ax2+bx
? ?

+c. (1)求 f(x)零点的个数; (2)当 x∈[-1,2]时,求 f(x)的值域; (3)若 x∈[1,m]时,f(x)∈[1,m],求 m 的值.

【解】

?a=1 ?0=c+b (1)∵A=B,∴? 1 ?-1=b+a ?

?a=1 ? ,∴?b=-2 ?c=2 ?

.

∴f(x)=x2-2x+2. 又 Δ=4-4×2=-4<0,所以 f(x)没有零点. (或因为 f(x)=(x-1)2+1>0,所以 f(x)没有零点.) (2)∵f(x)的对称轴 x=1,

∴当 x∈[-1,2]时,f(x)min=f(1),f(x)max=f(-1)=5, ∴f(x)∈[1,5]. (3)∵f(x)在 x∈[1,m]上为增函数,
?f?1?=1 ?1=1, ? ? ∴? ?? 2 ? ? ?f?m?=m ?m -2m+2=m.

∴m=1 或 m=2,m=1 不成立,则 m=2.


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