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高三数学下学期第三次模拟考试试题理(包头一中三模)

高三年级数学(理科)试题
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的 四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把答案涂在答题纸相应的位置)

1.设集合U ? ? 1,2,3,4,5? ,A ? ? 1,2,3? ,B ? ?2,5?则A ? (CU B) ? ( A)?2? ( B)?2,3? (C )?3? ( D)? 1,3?
1 f ( x) ? ( ) x ? sin x 2 2. 已知函数 ,则 f ( x) 在[0,2 ? ]上的零点个数为
A.1 B.2 C.3 D.4

3.已知a, b均为单位向量,它们的 夹角为60?,那么a ? 3b ? ( A) 7 ( B) 10 (C ) 13
?y ? x ?1 ? ?y ? x ? 2 ?y ? 0 ?

( D)4

4.设实数 x,y 满足不等式组

,则 z ? x ? 2 y 的最小值是

7 A. 2 ?

B.-2

C.1

5 D. 2

5.已知三棱锥 S—ABC 的三条侧棱两两垂直,且 SA=2,SB=SC=4,则该三棱锥的 外接球的半径为 A.3 B.6 C.36 D.9

x?
6.设复数 A.i

2i 2 3 2013 2013 C1 x ? C2013 x 2 ? C2013 x 3 ? ?? C2013 x = 1 ? i (i 是虚数单位) , 2013
C. -1 +i D.1+i

B. -i

7. 在△ABC 中,若 3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,则角 C 为 A.30°或 150° B. 30° C. 150° D. 60°

8 . 设 F1 , F2 是 离 心 率 为

2 的 双 曲 线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2 的左、右两个焦点,若在双曲
上 存 在 点 P , 使 | OP |?| OF2 | ( O 为 坐 标 原 点 ) 且

线左支

1

| PF2 |? ? | PF1 | ,则 ? 的值为
(A) 2 ? 3 (B)4 (C) 2 ? 5 (D) 2 ? 6 9.如右图所示,输出的 n 为 A. 10 B. 11 C. 12 D. 13

10.如上图,已知函数 y ? sin x, x ? [?? , ? ] 与 x 轴围成的区域记为 M(图中阴影部分),若 随机向圆 O:x2+y2= ? 2 内投入一米粒,则该米粒落在区域 M 内的概率是

4 2 A. ?

4 3 B. ?

2 2 C. ?

2 3 D. ?

11.某班要从 A,B,C,D,E 五人中选出三人担任班委中三种不同的职务,则上届任职的 A,B,C 三人都不再连任原职务的方法种数为 (A)30 (B)32 (C)36 (D)48 12.设集合 A ? [0,1), B ? [1,2] ,函数 f ( x) ? ? 则

2 x , ( x ? A), 4 ? 2 x, ( x ? B), x0 ? A, 且 f [ f ( x0 )]? A,

x0 的取值范围是
log 2 3 ,1 2 )

A.(

log3 2,1 ) B.(

2 ,1 C.( 3 )

3 D.[0, 4 ]

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填写在答题纸相应位置的横 线上) 13.经调查某地若干户家庭的年收入 x (万元)和年饮食支出 并得到

y (万元)具有线性相关关系,

? =0.254 x +0.321,由回归直线方程可知,家庭年 y 关于 x 的线性回归直线方程: y
万元.

收入每增加 l 万元,年饮食支出平均增加

2

14.点 P(4,-2)与圆 x ? y ? 4 上任一点所连线段的中点的轨迹方程是
2 2



15.已知数列

?an ?中 a1 ? 1 ,

a n ?1 ?

an b ? an ? an?1( n ? N? ) 2a n ? 1 ( n ? N ? ) .设 n ,数列

?bn ?的前 n 项和为 S n ,则 S n 为

______ .

? 16.对于三次函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) 给出定义:设 f ( x ) 是函数 y ? f ( x)
3 2

x ( x , f ( x0 )) ? ?? ?? 的导数, f ( x) 是函数 f ( x ) 的导数,若方程 f ( x) ? 0 有实数解 0 ,则称点 0
为函数 y ? f ( x) 的“拐点”,某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任 何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心。给定函数

f ( x) ?

1 3 1 2 5 x ? x ? 3x ? 3 2 12

, 请 你 根 据 上 面 探 究 结 果 , 计 算

f(

1 2 3 2012 )? f( )? f( ) ? ... ? f ( ) 2013 2013 2013 2013 =____________.

三.解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ), 其中 ? ? 0 ,

| ? |?

?
2

cos
(Ⅰ)若

?
4

cos ? ? sin

?? sin ? ? 0, ? 4 求 的值;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(Ⅱ)在(I)的条件下,若函数 f ( x ) 的图像的相邻两条对称轴之间的距离

? 等于 3 ,求函数 f ( x ) 的解析式;并求最小正实数 m ,使得函数 f ( x ) 的图像象
左平移 m 个单位所对应的函数是偶函数.

3

18. (本小题满分 12 分) 2012 年“双节”期间,高速公路车辆较多。某调查公司在一服务 区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾 驶 员 进 行 询 问 调 查 , 将 他 们 在 某 段 高 速 公 路 的 车 速 ( km/t ) 分 成 六 段 : [60,65),[65,70),[70,75), [75,80),[80,85), [85,90)后得到如下图的频率分布直 方图.问: (1)某调查公司在采样中,用到的是什么抽样方法? (2)求这 40 辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值. (3)若从车速在[60,70)的车辆中任抽取 2 辆,求抽出的 2 辆车中车速在 [65,70)的车辆 数 X 的分布列及其均值(即数学期望) .

19. (本小题满分 12 分)如图,直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABE 所在 的平面互相垂直. AB ∥ CD , AB ? BC , AB ? 2CD ? 2 BC , EA ? EB . (1)求证: AB ? DE ; (2)求直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值.

E

B C D

A

20.(本小题满分 12 分)

3 y2 x2 ? 2 2 y b =1 经过 A(1,0)点,且离心率为 2 . 已知焦点在 轴上的椭圆 C1: a
4

(I)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)过抛物线 C2: y ? x ? h (h∈R)上 P 点的切线与椭圆 C1 交于两点 M、N,
2

记线段 MN 与 PA 的中点分别为 G、H,当 GH 与

y 轴平行时,求 h 的最小值.

3 2 ) 的切线方程为 21. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 函 数 f ( x) ? ax ? bx 在 点 ( 3, f ( 3)处

12 x ? 2 y ? 27 ? 0 ,且对任意的 x ??0, ??? , f ?( x) ? k ln( x ? 1) 恒成立.
(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)求实数 k 的最小值;

考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用 2B 铅笔在答题纸上把所选题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4 一 1:几何证明选讲 如图,AB 是 过点 F 作 E. 的弦,C、F 是 上的点, OC 垂直于弦 AB, 结 CF 交 AB 于点 的切线,交 AB 的延长线于 D,连

(1) 求证: ; (2) 若 BE = 1,DE = 2AE,求 DF 的长.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.

已知直线 l 的参数方程为 , (1)求曲线 C 的直角坐标方程;

(t 为参数,

) ,曲线 C 的极坐标方程为

(2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,当 ? 变化时,求|AB|的最小值.

5

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设 (1)求不等式 (2 )若关于 x 不等式 校三模参考答案 一.选择题:1-5 DBCAA . 的解集 S; 有解,求参数 t 的取值范围.

6-10 CBADB
2

11-12 BA
2

填空题: 13.0.254.

14. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 1

n 15. 2n ? 1 16.2012

cos
三.17.解(I)由

?
4

cos ? ? sin

3? ? ? sin ? ? 0 cos cos ? ? sin sin ? ? 0 4 4 4 得

2分

cos( ? ? ) ? 0 | ? |? ,?? ? 4 2 4 即 又 f ( x) ? sin(? x ? ) 4 (Ⅱ)由(I)得, T?


?

?

?

4分

?

T ? ? 依题意, 2 3

2?

? 故

,

? ? ? 3,? f ( x) ? sin(3x ? )
4
6分

函数 f ( x ) 的图像向左平移 m 个单位后所对应的函数为

?? ? g ( x) ? sin ?3( x ? m) ? ? 4? ?
g ( x) 是偶函数当且仅当
m?


8分

3m ?

?
4

? k? ?

?
2

(k ? Z )

k? ? ? (k ? Z ) 3 12 m?

10 分

从而,最小正实数

? 12

12 分

18.解:(1)系统抽样 (2 分) (2)众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值等于 77.5 (4 分) 设 图 中 虚 线 所 对 应 的 车 速 为 x , 则 中 位 数 的 估 计 值 为 :

0 . ? 0 1? 5

0 ?. 0 ?2

5? 0 ?. x 0 4? 5 ? 0 .解得 ? 0 6 ( 7 5 ) x ? 77.5

0 . 5

6

即中位数的估计值为 77.5

(6 分)

19 解: (1)证明:取 AB 中点 O ,连结 EO , DO . 因为 EB ? EA ,所以 EO ? AB 因为四边形 ABCD 为直角梯形, 2分

AB ? 2CD ? 2 BC , AB ? BC ,
所以四边形 OBCD 为正方形,所以 AB ? OD . 所以 AB ? 平面 EOD . 所以 AB ? ED . (2)因为平面 ABE ? 平面 ABCD ,且 EO ? AB , 所以 EO ? 平面 ABCD ,所以 EO ? OD . 由 OB, OD, OE 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz . 因为三角形 EAB 为等腰直角三角形,所以 OA ? OB ? OD ? OE ,设 OB ? 1 , 则 O(0,0,0), A(?1,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), E (0,0,1) . 所以 EC ? (1,1,?1) ,平面 ABE 的一个法向量为 OD ? (0,1,0) . 设直线 EC 与平面 ABE 所成的角为 ? , 6分 4分

7

sin ? ? | cos? EC, OD? | ?
所以

| EC ? OD | 3 ? | EC || OD | 3 ,

3 即直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值为 3

12 分

?1 ? b 2 ? 1, ? 3 ?c , ? ? 2 ?a ?a 2 ? b 2 ? c 2 . y2 ? x2 ? ?1 C 4 20.解: (Ⅰ)由题意 ? ,得 a ? 2, b ? 1,椭圆 1 的方程为 .…4
分 (Ⅱ)设

P ?t, t 2 ? h ?

k ? y? C ? ,由 y ? 2 x ,抛物线 2 在点 P 处的切线的斜率为
2

x ?t

? 2t

,

所以 MN 的方程为 y ? 2tx ? t ? h ,……………5 分 代入椭圆方程得 化简得

4 x 2 ? ? 2tx ? t 2 ? h ? ? 4 ? 0
2 2

,

4 ?1 ? t 2 ? x 2 ? 4t ? t 2 ? h ? x ? ? t 2 ? h ? ? 4 ? 0


? ? 16 ? ?t 4 ? 2 ? h ? 2 ? t 2 ? h 2 ? 4 ? C ? ??0 MN 1 又 与椭圆 有两个交点,故


M ? x1, y1 ? , N ? x2 , y2 ?

, MN 中点横坐标为

x0 ,则

2 x1 ? x2 t ? t ? h ? x0 ? ? 2 2 ?1 ? t 2 ?

,

…………………8 分

设线段 PA 的中点横坐标为

x3 ?

1? t 2 ,

由已知得

x0 ? x3 即 2 ?1 ? t

t ?t 2 ? h ?
2

?

?

1? t 2

, ②………………10 分

? 1 ? h ? ? ? t ? ? 1? ? t ? 显然 t ? 0 ,



1 t? ?2 t 当 t ? 0 时, ,当且仅当 t ? 1 时取得等号,此时 h ? ?3 不符合①式,故舍去;

当 t ? 0 时,

? ?t ? ? ? ??

1? ??2 ? t? ,当且仅当 t ? ?1 时取得等号,此时 h ? 1 ,满足①式。

8

综上, h 的最小值为 1.………………12 分

21. 解: (Ⅰ)将 x ? 3 代入直线方程得 分

y??

9 9 27a ? 9b ? ? 2 ,∴ 2 ① --------------1
--------------2 分

f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx, f ?(3) ? ?6 ,∴ 27 a ? 6b ? ?6 ②

1 1 1 1 a ? ? ,b ? f ( x) ? ? x3 ? x 2 3 2∴ 3 2 ①②联立,解得
2 2

--------------4 分

x ??0, ??? ? (Ⅱ) f ( x)= ? x ? x ,∴ ? x ? x ? k ln( x ? 1) 在 上恒成立;

x ??0, ?? ? 即 x ? x ? k ln( x ? 1) ? 0 在 恒成立;
2
2

-------------5 分

x ??0, ?? ? g ( x) ? g (0) 设 g ( x) ? x ? x ? k ln( x ? 1) , g (0) ? 0 ,∴只需证对于任意的 有
g ?( x) ? 2 x ? 1 ?
-----------7 分 1)当 ?=1 ? 8(k ? 1) ? 0 ,即

k 2x2 ? x ? k ?1 ? , x ? ? 0, ?? ? x ?1 x ?1



h( x) ? 2x2 ? x ? k ?1



k?

9 8 时, h( x) ? 0 ,∴ g ?( x) ? 0
--------------8 分

g ( x) 在 ?0, ?? ? 单调递增,∴ g ( x) ? g (0)
2)当 ?=1 ? 8(k ? 1) ? 0 ,即

k?

9 8 时,设 x1 , x2 是方程 2 x 2 ? x ? k ? 1 ? 0 的两根且 x1 ? x2



x1 ? x2 ? ?

1 2 ,可知 x1 ? 0 ,

分析题意可知当

x2 ? 0 时 对 任 意 x ??0, ?? ? 有 g ( x) ? g (0) ; ∴ k ? 1 ? 0, k ? 1 , ∴

1? k ?

9 8

--------------10 分 ---------12 分

综 上 分 析 , 实 数 k 的 最 小 值 为 1 .

9

10


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