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bq-elckj高考数学难点突破 难点16 三角函数式的化简与求值


、 .~ ① 我们‖打〈败〉了敌人。 ②我们‖〔把敌人〕打〈败〉了。

难点 16 三角函数式的化简与求值
三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简 和求值问题的解题规律和途径, 特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧, 以优化我们的解 题效果,做到事半功倍. ●难点磁场 (★★★★★)已知 _________. ●案例探究 [例 1]不查表求 sin220°+cos280°+ 3 cos20°cos80°的值. 命题意图:本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法,对计算能力的要求较 高.属于★★★★级题目. 知识依托:熟知三角公式并能灵活应用. 错解分析:公式不熟,计算易出错. 技巧与方法:解法一利用三角公式进行等价变形;解法二转化为函数问题,使解法更简 单更精妙,需认真体会. 解法一:sin220°+cos280°+ 3 sin220°cos80°

π
2

<β<α<

3π 12 3 ,cos(α-β)= ,sin(α+β)=- ,求 sin2α的值 4 13 5

1 1 (1-cos40°)+ (1+cos160°)+ 3 sin20°cos80° 2 2 1 1 =1- cos40°+ cos160°+ 3 sin20°cos(60°+20°) 2 2 1 1 =1- cos40°+ (cos120°cos40°-sin120°sin40°)+ 3 sin20°(cos60°cos20° 2 2 -sin60°sin20°)
= =1-

1 1 3 3 3 cos40°- cos40°- sin40°+ sin40°- sin220° 2 4 4 4 2 3 3 1 =1- cos40°- (1-cos40°)= 4 4 4
解法二:设 x=sin220°+cos280°+ 3 sin20°cos80° y=cos220°+sin280°- 3 cos20°sin80°,则

x+y=1+1- 3 sin60°=

1 ,x-y=-cos40°+cos160°+ 3 sin100° 2

=-2sin100°sin60°+ 3 sin100°=0

∴x=y=

1 1 ,即 x=sin220°+cos280°+ 3 sin20°cos80°= . 4 4

试确定满足 f(a)= [例 2] 设关于 x 的函数 y=2cos2x-2acosx-(2a+1)的最小值为 f(a),

1 2

的 a 值,并对此时的 a 值求 y 的最大值. 命题意图:本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维 能力.属★★★★★级题目 知识依托:二次函数在给定区间上的最值问题. 错解分析:考生不易考查三角函数的有界性,对区间的分类易出错. 技巧与方法:利用等价转化把问题化归为二次函数问题,还要用到配方法、数形结合、 分类讲座等. 解:由 y=2(cosx-

a 2 a 2 ? 4a + 2 )- 及 cosx∈[-1,1]得: 2 2

( a ≤ ?2) ?1 ? 2 ? a f(a) ?? ? 2a ? 1 ( ?2 < a < 2) ? 2 ( a ≥ 2) ?1 ? 4a ?
∵f(a)= 故-

1 1 1 ,∴1-4a= ? a= ? [2,+∞ ) 2 2 8

a2 1 -2a-1= ,解得:a=-1,此时, 2 2 1 2 1 y=2(cosx+ ) + ,当 cosx=1 时,即 x=2kπ,k∈Z,ymax=5. 2 2
[例 3]已知函数 f(x)=2cosxsin(x+

π
3

)- 3 sin2x+sinxcosx

(1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的最小值及取得最小值时相应的 x 的值;

7π - - ]时,f(x)的反函数为 f 1(x),求 f- 1(1)的值. 12 12 命题意图: 本题主要考查三角公式、 周期、 最值、 反函数等知识,还考查计算变形能力, 综合运用知识的能力,属★★★★★级题目. 知识依托:熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识. - 错解分析:在求 f- 1(1)的值时易走弯路. 技巧与方法:等价转化,逆向思维.
(3)若当 x∈[ , 解:(1)f(x)=2cosxsin(x+ =2cosx(sinxcos

π

π
3

)- 3 sin2x+sinxcosx

π
3

+cosxsin

π
3

)- 3 sin2x+sinxcosx

=2sinxcosx+ 3 cos2x=2sin(2x+ ∴f(x)的最小正周期 T=π (2)当 2x+

π
3

)

π
3

=2kπ-

π
2

,即 x=kπ-

5π (k∈Z)时,f(x)取得最小值-2. 12

(3)令 2sin(2x+

], 2 π π 3π π 5π ],∴2x+ = ,则 ∴2x+ ∈[ , 3 3 2 3 6

π

3

)=1,又 x∈[

π 7π
2 ,

. 4 4 ●锦囊妙计 本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有: 1.求值问题的基本类型:1°给角求值,2°给值求值,3°给式求值,4°求函数式的最 值或值域,5°化简求值. 2.技巧与方法: 1°要寻求角与角关系的特殊性,化非特角为特殊角,熟练准确地应用公式. 2°注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用. 3°对于条件求值问题,要认真寻找条件和结论的关系,寻找解题的突破口,很难入手 的问题,可利用分析法. 4°求最值问题,常用配方法、换元法来解决. ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★★)已知方程 x2+4ax+3a+1=0(a>1)的两根均 tanα、tanβ,且α,β∈ π π α+β (- , ),则 tan 的值是( ) 2 2 2 1 4 1 A. B.-2 C. D. 或-2 2 3 2 二、填空题 3 π 1 2.(★★★★)已知 sinα= , ∈( , ), π-β)= α π tan( , tan(α-2β)=_________. 则 5 2 2 π 3π π π 3 3π 5 3.(★★★★★)设α∈( , ),β∈(0, ),cos(α- )= ,sin( +β)= ,则 4 4 4 4 5 4 13 sin(α+β)=_________. 三、解答题 4.不查表求值:

x=

π

,故 f- 1(1)=



π

2 sin 130° + sin100°(1 + 3 tan 370°) 1 + cos10°

.

3 17π 7π sin 2 x + 2 sin 2 x ,( <x< ),求 的值. 4 5 12 4 1 ? tan x 1 ? cos(π ? α ) π β 8 6.(★★★★★)已知α-β= π,且α≠kπ(k∈Z).求 ? 4 sin 2 ( ? ) 的 α α 4 4 3 csc ? sin 2 2 最大值及最大值时的条件. 7.(★★★★★)如右图,扇形 OAB 的半径为 1,中心角 60°,四 边形 PQRS 是扇形的内接矩形,当其面积最大时,求点 P 的位置,并 求此最大面积.
5.已知 cos( +x)= sin 8.(★★★★★)已知 cosα+sinβ= 3 , α+cosβ的取值范围是

π

D,x∈D,求函数 y= log 1
2

2x + 3 的最小值,并求取得最小值时 x 4 x + 10
参考答案

的值.

难点磁场 解法一:∵

π 3π π 3π <β<α< ,∴0<α-β< .π<α+β< , 2 4 4 4 5 4 ∴sin(α-β)= 1 ? cos 2 (α ? β ) = , cos(α + β ) = ? 1 ? sin 2 (α + β ) = ? . 13 5 ∴sin2α=sin[(α-β)+(α+β)] =sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β) 5 4 12 3 56 = × (? ) + × ( ? ) = ? . 13 5 13 5 65 5 4 解法二:∵sin(α-β)= ,cos(α+β)=- , 13 5 72 ∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α-β)=- 65 40 sin2α-sin2β=2cos(α+β)sin(α-β)=- 65 1 72 40 56 ? )=? ∴sin2α= (? 2 65 65 65 歼灭难点训练 一、1.解析:∵a>1,tanα+tanβ=-4a<0. π π π α+β π tanα+tanβ=3a+1>0,又α、β∈(- , )∴α、β∈(- ,θ),则 ∈(- ,0),又 2 2 2 2 2
2 tan

α+β tan α + tan β ? 4a 4 4 2 = = , 又 tan(α + β) = = , tan(α+β)= α+β 3 1 ? tan α tan β 1 ? (3a + 1) 3 1 ? tan 2 2 α+β α+β α+β 整理得 2tan2 2 + 3 tan 2 ? 2 =0.解得 tan =-2. 2
答案:B 2.解析:∵sinα=

3 π 4 ,α∈( ,π),∴cosα=- 5 2 5 3 1 1 则 tanα=- ,又 tan(π-β)= 可得 tanβ=- , 4 2 2

1 2 × (? ) 2 tan β 2 = ? 4. tan 2β = = 2 3 1 ? tan β 1 ? (? 1 ) 2 2 3 4 ? ? (? ) 7 tan α ? tan 2 β 4 3 tan(α ? 2β) = = = 1 + tan α ? tan 2β 1 + (? 3 ) × (? 4 ) 24 4 3
答案:

7 24

π 3π π π π 3 3.解析:α∈( , ),α- ∈(0, ),又 cos(α- )= . 4 4 4 2 4 5
π 4 π 3π 3π 3π 5 3π 12 ∴ sin(α ? ) = , β ∈ (0, ).∴ + β ∈ ( , π).sin( + β) = ,∴ cos( + β) = ? . 4 5 4 4 4 4 13 4 13 π 3π π ∴ sin(α + β) = sin[(α ? ) + ( + β) ? ] 4 4 2 3π π = ? cos[(α ? ) + ( + β)] 4 4 π 3π π 3π 3 12 4 5 56 = ? cos(α ? ) ? cos( + β) + sin(α ? ) ? sin( + β) = ? × (? ) + × = . 4 4 4 4 5 13 5 13 65 56 即sin(α + β) = 65 56 65 三、4.答案:2
答案:

5.解 :Q cos(

3 π 7 + x ) = ,∴ sin 2 x = ? cos 2( + x ) = . 4 5 4 25 17π 7 5π 4 π π 又 < x < π ,∴ < x + < 2π ,∴ sin( x + ) = ? 12 4 3 4 4 5 2 2 sin 2 x + 2 sin x 2 sin x cos x + 2 sin x 2 sin x (sin x + cos x ) cos x = = sin x 1 ? tan x cos x ? sin x 1? cos x 7 4 π × (? ) sin 2 x sin( + x ) 5 = 28 4 = = 25 π 3 75 cos( + x ) 4 5

π

1 ? cos(π ? α) π β ? 4 sin 2 ( ? ) α α 4 4 csc ? sin 2 2 α π β α α sin (1 + cos α) 1 ? cos( ? ) sin ? 2 cos 2 2 2 2 = 2 2 ? 4( 1 ? 1 sin β ) = ?4 α α 2 2 2 2 1 ? sin 2 cos 2 2 2 α β α+β α ?β = 2(sin + sin ) ? 2 = 4 sin cos ?2 2 2 2 2 8 2α ? π 8 α?β 3 = α ? 2π . Q α ? β = π,∴ = 3 4 4 2 3 α 2 1 α 2π ∴ t = 4 sin( ? π) × (? ) ? 2 = ?2 sin( ? ) ? 2 2 3 2 2 3 α 2 kπ 2π Q α ≠ kπ (k∈Z),∴ ? π ≠ (k∈Z) ? Z Z 2 3 2 3 α 2π π π α 2 ∴当 ? = 2kπ ? , 即 α = 4kπ + (k∈Z)时, sin( ? π) 的最小值为-1. Z 2 3 2 3 2 3 7.解:以 OA 为 x 轴.O 为原点,建立平面直角坐标系,并设 P 的坐标为(cosθ,sinθ), 6.解 : 令t =
则 |PS|=sinθ.直线 OB 的方程为 y= 3 x,直线 PQ 的方程为 y=sinθ.联立解之得 Q(

3 sin 3

θ;sinθ),所以|PQ|=cosθ-
于是 SPQRS=sin θ (cos θ -

3 sinθ. 3

3 3 3 3 sin θ )= ( 3 sin θ cos θ -sin2 θ )= ( sin2 θ - 3 3 3 2 1 ? cos 2θ 3 3 1 1 3 π 3 )= ( sin2θ+ cos2θ- )= sin(2θ+ )- . 2 3 2 2 2 3 6 6 π π π 5 1 π ∵0<θ< ,∴ <2θ+ < π.∴ <sin(2θ+ )≤1. 3 6 6 6 2 6
∴sin(2θ+ 中点,P(

π 3 π )=1 时,PQRS 面积最大,且最大面积是 ,此时,θ= ,点 P 为 6 6 6



3 1 , ). 2 2

8.解:设 u=sinα+cosβ.则 u2+( 3 )2=(sinα+cosβ)2+(cosα+sinβ)2=2+2sin(α+β)≤4. ∴u2≤1,-1≤u≤1.即 D=[-1,1],设 t= 2 x + 3 ,∵-1≤x≤1,∴1≤t≤ 5 .x=

t2 ? 3 . 2

∴M =

t 2x + 3 1 1 2 = 2 = ≤ = . 4 4 2 4 x + 10 2t + 4 8 2t + t

4 2 当且仅当2t = ,即t = 2时, M max = .Q y = log 0.5 M在M > 0时是减函数, t 8 ∴ y min = log 0.5 2 5 1 = log 0.5 2 ? log 0.5 8 = 时, 此时t = 2 , 2 x + 3 = 2 , x = ? . 8 2 2


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