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【步步高】第三章 3.2.2(二)导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)检测试题 新人教A版选修1-1


3.2.2

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)

课时目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.能综合利用求导公式和导数的 四则运算法则求解导函数.

导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′=____________; (2)[cf(x)]′=________ (c 为常数); (3)[f(x)·g(x)]′=______________; ?f?x??′=________________ (g(x)≠0). (4)? ? ?g?x??

一、选择题 3 x 1.已知 f(x)=x +3 +ln 3,则 f′(x)为( A.3x +3
2

)
2

1 x B.3x +3 ·ln 3+ 3 2 x 3 x C.3x +3 ·ln 3 D.x +3 ·ln 3 x 2.曲线 y=xe +1 在点(0,1)处的切线方程是( ) A.x-y+1=0 B.2x-y+1=0 C.x-y-1=0 D.x-2y+2=0 4 2 3. 已知函数 f(x)=x +ax -bx, 且 f′(0)=-13, f′(-1)=-27, 则 a+b 等于( ) A.18 B.-18 C.8 D.-8 sin θ 3 3cos θ 2 ? 5π ? 4.设函数 f(x)= x+ x +tan θ ,其中 θ ∈?0, ?,则导数 f′(1) 12 ? 3 2 ? 的取值范围是( ) A.[-2,2] B.[ 2, 3] C.[ 3,2] D.[ 2,2] x 2 5.曲线 y=e 在点(2,e )处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) 1 2 9 2 A. e B. e 2 4 2 2 C.2e D.e 3 6.曲线 y=x -2x+1 在点(1,0)处的切线方程为( ) A.y=x-1 B.y=-x+1 C.y=2x-2 D.y=-2x+2 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 x 7.曲线 C:f(x)=sin x+e +2 在 x=0 处的切线方程为________. 3 2 8.某物体作直线运动,其运动规律是 s=t + (t 的单位:s,s 的单位:m),则它在第
x

t

4 s 末的瞬时速度应该为________ m/s. 2 9.已知函数 f(x)=x ·f′(2)+5x,则 f′(2)=______. 三、解答题 10.求下列函数的导数.

1

x+cos x ; x-cos x x (2)y=2 cos x-3xlog2 009x; (3)y=x·tan x.
(1)y=

11.求过点(1,-1)与曲线 y=x -2x 相切的直线方程.

3

能力提升 12.已知点 P 在曲线 y= 围是( ) 4 上,α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 α 的取值范 x e +1

π π π A.[0, ) B.[ , ) 4 4 2 π 3π 3π C.( , ] D.[ ,π ) 2 4 4 2 13.求抛物线 y=x 上的点到直线 x-y-2=0 的最短距离.

1.理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件.
2

2.应用和、差、积的求导法则和常见函数的导数公式求导数时,在可能的情况下,应 尽量少用甚至不用乘商的求导法则,应在求导之前,先利用代数、三角恒等变形对函数进行 化简,然后再求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,避免差错.

3.2.2

基本初等函数的导数公式及 导数的运算法则(二) 答案

知识梳理 (1)f′(x)±g′(x) (2)c·f′(x) (3)f′(x)g(x)+f(x)g′(x) f′?x?g?x?-f?x?g′?x? (4) 2 [g?x?] 作业设计 1 1.C [(ln 3)′=0,注意避免出现(ln 3)′= 的错误.] 3 x x 2.A [y′=e +xe ,当 x=0 时,导数值为 1,故所求的切线方程是 y=x+1, 即 x-y+1=0.] 3 3.A [∵f′(x)=4x +2ax-b, ? ? ?f′?0?=-13 ?-b=-13, 由? ?? ?f′?-1?=-27 ?-4-2a-b=-27. ? ? ∴?
? ?a=5, ?b=13. ?

∴a+b=5+13=18.]
2

4.D [由已知 f′(x)=sin θ ·x + 3cos θ ·x, π? ? ∴f′(1)=sin θ + 3cos θ =2sin?θ + ?, 3? ? π 3π ? 5π ? π 又 θ ∈?0, ?.∴ ≤θ + ≤ , 12 ? 3 3 4 ? π? 2 ? ≤sin?θ + ?≤1,∴ 2≤f′(1)≤2.] 3? 2 ? x x 2 5.A [∵y′=(e )′=e ,∴k=y′|x=2=e . 2 ∴曲线在点(2,e )处的切线方程为 y-e2=e2(x-2), 2 2 即 y=e x-e . 2 当 x=0 时,y=-e , 当 y=0 时,x=1. 1 1 2 2 ∴S△= ×1×|-e |= e .] 2 2 2 6.A [y′=3x -2,∴k=y′|x=1=3-2=1, ∴切线方程为 y=x-1.] 7.y=2x+3 x 解析 由 f(x)=sin x+e +2 x 得 f′(x)=cos x+e , 从而 f′(0)=2,又 f(0)=3, 所以切线方程为 y=2x+3. 125 8. 16 ∴

3

3 解析 ∵s′=2t- 2,

t

3 125 ∴v=s′|t=4=8- = (m/s). 16 16 5 9.- 3 解析 ∵f′(x)=f′(2)·2x+5, ∴f′(2)=f′(2)×2×2+5, 5 ∴3f′(2)=-5,∴f′(2)=- . 3 ?x+cos x?′?x-cos x?-?x+cos x??x-cos x?′ 10.解 (1)y′= 2 ?x-cos x? ?1-sin x??x-cos x?-?x+cos x??1+sin x? = 2 ?x-cos x? -2?cos x+xsin x? = . 2 ?x-cos x? x x (2)y′=(2 )′cos x+(cos x)′2 -3[x′log2 009 x+(log2 009x)′x] ?1 ? x x =2 ln 2·cos x-sin x·2 -3[log2 009 x+? log2 009 e?x]

?x

?

=2 ln 2·cos x-2 sin x-3log2 009 x-3log2 009 e. ?xsin x?′ (3)y′=(xtan x)′=? ? ? cos x ? ?xsin x?′cos x-xsin x?cos x?′ = 2 ?cos x? 2 ?sin x+xcos x?cos x+xsin x = 2 ?cos x? 2 2 sin xcos x+x?cos x+sin x? = 2 ?cos x? 1 sin 2x+x 2 sin 2x+2x = . 2= 2 ?cos x? 2cos x 11.解 设 P(x0,y0)为切点, 2 则切线斜率为 k=y′|x=x0=3x0-2. 2 故切线方程为 y-y0=(3x0-2)(x-x0). 3 ∵(x0,y0)在曲线上,∴y0=x0-2x0. 又∵(1,-1)在切线上, ∴将②式和(1,-1)代入①式得 3 2 -1-(x0-2x0)=(3x0-2)(1-x0). 1 解得 x0=1 或 x0=- . 2 故所求的切线方程为 5 y+1=x-1 或 y+1=- (x-1). 4 即 x-y-2=0 或 5x+4y-1=0. x 4e 4 12.D [y′=- 2x =- , x e +2e +1 1 x e +2+ x e 1 x ∵e + x≥2,∴-1≤y′<0,即-1≤tan α <0, e

x

x

① ②

4

∴α ∈?

?3π ,π ?.] ? ? 4 ?
2

13.解 依题意知与直线 x-y-2=0 平行的抛物线 y=x 的切线的切点到直线 x-y-2=0 的距离最短,设切点坐标为(x0,x2 0). 1 2 ∵y′=(x )′=2x,∴2x0=1,∴x0= . 2 ?1 1? 切点坐标为? , ?. ?2 4? ?1-1-2? ?2 4 ? ? ? 7 2 ∴所求的最短距离 d= = . 8 2

5


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