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高二数学-空间向量与立体几何测试题


高二数学 空间向量与立体几何测试题
第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 一、选择题: (本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1.在下列命题中:①若 a、b 共线,则 a、b 所在的直线平行;②若 a、b 所在的直线是异面直线,则 a、b 一定不共面;③若 a、b、c 三向量两两共面,则 a、b、c 三向量一定也共面;④已知三向量 a、b、c, 则 空 间 任 意 一个 向 量 p 总 可 以 唯 一 表示 为 p = xa + yb + zc,x,y,z ? R . 其 中 正 确 命 题 的个 数为 ( A.0 ) B.1 C.2 D.3 )

2.若三点 A ,B,C 共线, P 为空间任意一点,且 PA ? ? PB ? ? PC ,则 ? ? ? 的值为( A.1 B. ?1 C.
1 2

D. ?2 )

3.设 a ? ( x, 4,, 3) b ? (3, 2,z) ,且 a ∥ b ,则 xz 等于( A. ?4 B.9 C. ?9 D.

64 9 4.已知 a=(2,-1,3) ,b=(-1,4,-2) ,c=(7,5,λ) ,若 a、b、c 三向量共面,则实数λ等

于 A.





62 7

B.

63 7

C.

64 7

D.

65 7
( )

5.若 a、b 均为非零向量,则 a ? b ?| a || b | 是 a 与 b 共线的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

6.已知点 O 是△ABC 所在平面内一点,满足 OA ·OB = OB · OC = OC ·OA ,则点 O 是△ABC 的( A.三个内角的角平分线的交点 C.三条中线的交点 B.三条边的垂直平分线的交点 D.三条高的交点 )



7.已知 a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|= 19 ,则向量 a 与 b 之间的夹角为( A.30° B.45° C.60° D.以上都不对

8.已知 OA ? (1,2,3) , OB ? (2,1,2) , OP ? (1,1,2) ,点 Q 在直线 OP 上运动,则当 QA ? QB 取得最小值时,点 Q 的坐标为 ( )

1 3 1 A. ( , , ) 2 4 3

1 2 3 B. ( , , ) 2 3 4

4 4 8 C. ( , , ) 3 3 3

4 4 7 D. ( , , ) 3 3 3

第Ⅱ卷(非选择题,共 60 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 9.已知△ABC 的三个顶点为 A(3,3,2) ,B(4,-3,7) ,C(0,5,1) ,则 BC 边上的 中线长为 ,B,C 三点不共线, O 为平面 ABC 外一点,若由向量 10.已知 A
1 2 ,B,C 共面,那么 ? ? OP ? OA ? OB ? ? OC 确定的点 P 与 A 5 3



11.已知 a,b,c 是空间两两垂直且长等的基底,m=a+b,n=b-c,则 m,n 的夹角为
D

.
E C M

12.在空间四边形 ABCD 中,AC 和 BD 为对角线, G 为△ABC 的重心,E 是 BD 上一点,BE=3ED, 以{ AB , AC , AD }为基底,则 GE =
0



G A B

13.在平行四边形 ABCD 中,AB=AC=1,∠ACD=90 ,将它沿对角线 AC 折起,使 AB 与 CD 成 60 0 角,则 B,D 两 点间的距离为 三、解答题(本大题共3小题,满分35分) , 14.(10 分)如图,二面角α-ι-β的棱上有 A,B 两点,直线 AC,BD 分别在这 α 个二面角的两个半平面内,且都垂直于 AB,已知 AB=4,AC=6,BD=8,CD= 68 , 求二面角α-ι-β的大小. A B D ι A C

β

15. (12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD ? 底面 ABCD,

PD ? DC ,E 是 PC 的中点,作 EF ? PB 交 PB 于点 F. (1)证明 PA ∥平面 EDB ; (2)证明 PB ? 平面 EFD; (3)求二面角 C - PB - D 的大小.

16(13 分)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB⊥AC,顶点 A1 在底面 ABC 上的射影 恰为点 B,且 AB=AC=A1B=2. (1) 求棱 AA1 与 BC 所成角的大小; C1 (2) 在棱 B1C1 上确定一点 P,使 AP= 14 ,并求出二面角 P-AB-A1 的平面角的 余弦值.

A1 B1

A C B

附加题:如图,已知 PA ? 面 ABC , AD ? BC 于 D, BC ? CD ? AD ? 1 。 (1)令 PD ? x , ?BPC ? ? ,试把 tan? 表示为 x 的函数,并求其最大值; (2)在直线 PA 上是否存在一点 Q,使得 ?BQC ? ?BAC ?
P

B C D

A

一、选择题: (本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.已知 A、B、C 三点不共线,对平面 ABC 外的任一点 O,下列条件中能确定点 M 与点 A、B、C 一定共面 的是 A. OM ? OA ? OB ? OC C. OM ? OA ? B. OM ? 2OA ? OB ? OC ( )

1 1 1 1 1 D. OM ? OA ? OB ? OC OB ? OC 2 3 3 3 3 2.在空间直角坐标系中,已知点 P( x, y, z ) ,那么下列说法正确 的是 ..
A. 点 p 关于 x 轴对称的坐标是 p1 ? x, ? y, z ? B. 点 p 关于 yoz 平面对称的坐标是 p2 ? x, ? y, ? z ? C. 点 p 关于 y 轴对称点的坐标是 p3 ? x, ? y, z ? D. 点 p 关于原点对称点的坐标是 p4 ? ? x, ? y, ? z ?





3.已知向量 a=(1,1,0) ,b=(-1,0,2) ,且 k a+b 与 2 a-b 互相垂直,则 k 的值是(
1 B. 5
3 7



A.1

C. 5

D. 5 )

? ?? 1 4.已知空间四边形 ABCD,M、G 分别是 BC、CD 的中点,连结 AM、AG、MG,则 AB + ( BD ? BC ) 等于( 2

A. AG

? ??

B.

CG

? ??

C. BC

? ??

D. 2 BC

1

? ??

5.在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 和 N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点,那么直线 AM 与 CN 所成角的余 弦值是 A. ? ( B. )

2 5

2 5

C.

3 5
D.

D.

10 10
( )

6.已知向量 a ? (0,2,1) , b ? (?1,1, ?2) ,则 a 与 b 的夹角为 A. 0° B. 45° C. 90° 180°

7.已知点 p ? ?1,3, ?4 ? ,且该点在三个坐标平面 yoz 平面, zox 平面, xoy 平 面上的射影的坐标依次为 ? x1 , y1 , z1 ? , ? x2 , y2 , z2 ? 和 ? x3 , y3 , z3 ? ,则 ( )

2 2 2 A. x1 ? y2 ? z3 ?0

2 2 B. x2 ? y3 ? z12 ? 0

C.

2 2 x3 ? y12 ? z2 ?0

D. 以上结论都不对

8 、 已 知 点 A(4,1,3),B(2,-5,1),C 为 线 段 AB 上 一 点 , 且 3 |A C ?| |A B, |则 点 的 坐 标 是 ( )
7 1 5 A. ( , ? , ) 2 2 2 3 B. ( , ?3,2) 8 10 7 C. ( , ?1, ) 3 3 5 7 3 D. ( , ? , ) 2 2 2

9、设 A、B、C、D 是空间不共面的四点,且满足 AB ? AC ? 0, AB ? AD ? 0, AC ? AD ? 0 则△BCD 是 A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不确定 ( )

10、已知正方形 ABCD 的边长为 4,E、F 分别是 AB、AD 的中点,GC⊥平面 ABCD,且 GC=2,则点 B 到平面

EFG 的距离为
A.





10 10

B.

2 11 11

C.

3 5

D.1

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 11、若 a ? (1,1,0), b ? (?1,0, 2), 则a ? b 同方向的单位向量是_________________. 12.已知 S 是△ABC 所在平面外一点,D 是 SC 的中点, 若 BD = xAB ? y AC ? z AS ,则 x+y+z= . 。 . 。

13、已知 a ? ? 2, 4, x ? , b ? ? 2, y, 2 ?,若 a ? 6且a ? b ,则 x ? y 的值为

14、已知向量 a 和 c 不共线,向量 b≠0,且 (a ? b) ? c ? (b ? c) ? a ,d=a+c,则 ?d , b? = 15.已知三角形的顶点是 A(1, ?1,1) , B(2,1, ?1) , C (?1, ?1, ?2) ,这个三角形的面积是 16. (如图)一个结晶体的形状为平行六面体,其中,以顶点 A 为端点的 三条棱长都等于 1,且它们彼此的夹角都是 60 ,那么以这个顶点 为端点的晶体的对角线的长为 。
?

三、解答题(用向量方法求解下列各题,共 70 分) 17、在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为 DD1 和 BB1 的中点. (1)证明:AEC1F 是平行四边形; (2)求 AE 和 AF 之间的夹角的余弦; (3)求四边形 AEC1F 的面积.
A1 E F C B B1 D1 C1

D

A

18.如图,四边形 ABCD 是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°, SA⊥平面 ABCD, SA=AB=BC=1,AD= (1)求 SC 与平面 ASD 所成的角余弦; (2)求平面 SAB 和平面 SCD 所成角的余弦.

z S y

1 . 2

B

C

A

D

x

19、 如图, 在底面是菱形的四棱锥 P—ABCD中, ∠ABC=60 , PA=AC=a, PB=PD= 2a ,点 E 在 PD 上, 且 PE:ED=2:1. (I)证明 PA⊥平面 ABCD; P (II)求以 AC 为棱,EAC 与 DAC 为面的二面角 ? 的大小; (Ⅲ)在棱 PC 上是否存在一点 F,使 BF//平面 AEC?证明你的结论.
0

E A B C

D

20.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°.侧棱 AA1=2,D、E 分别是 CC1 与 A1B 的中点,点 E 在平面 ABD 上的射影是△ABD 的重心 G. (1)求 A1B 与平面 ABD 所成角的大小. (2)求 A1 到平面 ABD 的距离.
A1 D E C G x A B y z C1 B1

21.P 是平面 ABCD 外的点,四边形 ABCD 是平行四边形, AB ? ? 2, ?1, ?4 ? , AD ? ? 4, 2,0 ? ,

AP ? ? ?1, 2, ?1? .
(1)求证:PA ? 平面 ABCD. (2)对于向量 a ? ( x1 , y1 , z1 ), b ? ( x2 , y2 , z2 ) ,定义一种运算:

(a ? b) ? c ? x1 y2 z3 ? x2 y3 z1 ? x3 y1 z2 ? x1 y3 z2 ? x2 y1 z3 ? x3 y2 z1 ,试计算 ( AB ? AD) ? AP 的绝对值;说明其
与几何体 P-ABCD 的体积关系,并由此猜想向量这种运算 ( AB ? AD) ? AP 的绝对值的几何意义(几何体 P-ABCD 叫四棱锥,锥体体积公式:V= ? 底面积 ? 高 ).

1 3

空间向量与立体几何(2) 参考答案 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 D 2 D 3 D 4 A 5 B 6 C 7 A 8 C 9 C 10 B

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 11. (0,

1 2 , ) 12.0 5 5

13. 1,-3

14.90°

15。 S?ABC ?

1 101 16。 AC1 ? 6 | AB | ? | AC | ? sin A ? 2 2
1 5

三、解答题(本大题共 6 题,共 76 分) 17. (1)略 18. (1) (2) (3) s ?
6 2 a 2

6 6 (2) 3 3 19. (Ⅰ)证明 因为底面 ABCD 是菱形,∠ABC=60°, 所以 AB=AD=AC=a, 在△PAB 中, 2 2 2 2 由 PA +AB =2a =PB 知 PA⊥AB. 同理,PA⊥AD,所以 PA⊥平面 ABCD. (Ⅱ)解 作 EG//PA 交 AD 于 G, 由 PA⊥平面 ABCD. 知 EG⊥平面 ABCD.作 GH⊥AC 于 H,连结 EH, 则 EH⊥AC,∠EHG 即为二面角 ? 的平面角.

又 PE : ED=2 : 1,所以 EG ? 从而

1 2 3 a, AG ? a, GH ? AG sin 60? ? a. 3 3 3

tan? ?

EG 3 ? , GH 3

? ? 30?.

(Ⅲ)解法一 以 A 为坐标原点,直线 AD、AP 分别为 y 轴、z 轴,过 A 点垂直平面 PAD 的直线为 x 轴, 建立空间直角坐标系如图.由题设条件,相关各点的坐标分别为

3 1 3 1 a,? a,0), C ( a, a,0). 2 2 2 2 2 1 D(0, a,0), P(0,0, a), E (0, a, a). 3 3 2 1 3 1 所以 AE ? (0, a, a), AC ? ( a, a,0). 3 3 2 2 3 1 AP ? (0,0, a), PC ? ( a, a,?a). 2 2 3 1 BP ? (? a, a, a). 2 2 3 1 a? , a? ,?a? ), 其中0 ? ? ? 1, 则 设点 F 是棱 PC 上的点, PF ? ? PC ? ( 2 2 3 1 3 1 BF ? BP ? PF ? (? a, a, a ) ? ( a? , a? ,?a? ) 2 2 2 2 A(0,0,0), B(

?(

3 1 a(? ? 1), a(1 ? ? ), a(1 ? ? )). 2 2

令 BF ? ?1 AC ? ?2 AE



? 3 3 a?1 , ? a(? ? 1) ? 2 ? 2 1 2 ?1 ? a(1 ? ? ) ? a?1 ? a? 2 , 2 3 ?2 1 ? ?a(1 ? ? ) ? 3 a? 2 . ?
解得

? ?? ? 1 ? ?1 , ? 4 ? 即?1 ? ? ? ?1 ? ? 2 , 3 ? 1 ? 1 ? ? ? ?2 . ? 3 ?
3 2
即 ??

? ? , ?1 ? ? , ?2 ? .

1 2

1 2

1 3 1 时, BF ? ? AC ? AE. 2 2 2

亦即,F 是 PC 的中点时, BF 、 AC 、 AE 共面. 又 BF ? 平面 AEC,所以当 F 是棱 PC 的中点时,BF//平面 AEC. 20.(14 分) 解: (1)连结 BG,则 BG 是 BE 在面 ABD 的射影,即∠A1BG 是 A1B 与平面 ABD 所成的角. 如图 所示建立坐标系,坐标原点为 O,设 CA=2a, 则 A(2a,0,0) ,B(0,2a,0) ,D(0,0,1) A1(2a,0,2) E(a,a,1) G(

2a 2a 1 , , ). 3 3 3

a a 2 ? GE ? ( , , ), BD ? (0,?2a,1) , 3 3 3 2 2 ? GE ? BD ? ? a 2 ? ? 0 ,解得 a=1. 3 3 2 4 1 ? BA1 ? (2,?2,2), BG ? ( ,? , ), 3 3 3
? cos ?A1 BG ? BA1 ? BG ? | BA1 || BG | 14 / 3 7. ? 1 3 2 3? 21 3

A1B 与平面 ABD 所成角是 arccos

7 . 3

(2)由(1)有 A(2,0,0) ,A1(2,0,2) ,E(1,1,1) ,D(0,0,1)

AE ? ED ? (?1,1,1) ? (?1,?1, 0) ? 0, AA1 ? ED ? (0,0,2) ? (?1,?1,0) ? 0 ? ED ? 平面 AA1E,又 ED ? 平面 AED. ∴平面 AED⊥平面 AA1E,又面 AED ? 面 AA1E=AE,
∴点 A 在平面 AED 的射影 K 在 AE 上. 设 AK ? ? AE , 则 A1 K ? A1 A ? AK ? (?? , ? , ? ? 2) 由 A1 K ? AE ? 0 ,即 ? ? ? ? ? ? 2 ? 0 , 解得 ? ?

2 . 3

4 4 16 2 2 2 4 ? ? ? 6 ? A1 K ? (? , ,? ) ,即 A1 K ? 9 9 9 3 3 3 3

即点 A1 到平面 AED 的距离为

2 6. 3

21.解: (1) AP ? AB ? (2, ?1, ?4) ? (?1, 2, ?1) ? ?2 ? (?2) ? 4 ? 0

? AP ? AB即AP ? AB
AP ? AD ? (?1, 2, ?1) ? (4, 2,0) ? ?4 ? 4 ? 0 ? 0

? AP ? AD即PA ? AD ? AD ? 面ABCD
(2) AB ? AD ? AP ? 48, 又cos AB ? AD ?

?

?

3 105

V=

1 AB ? AD ? sin AB ? AD ? AP ? 16 3

猜测: AB ? AD ? AP 在几何上可表示以 AB,AD,AP 为棱的平等六面体的体积(或以 AB,AD,AP 为棱的四棱柱的体积)

?

?


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